娄底蓝圃学校 卢立新
中心词:归纳,猜想,构造
数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法倍受高考命题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容,作为常归的等差数
列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造来形成
等差数列或等比数列,之后再应用各自的的通项公式求解。 例1:(06年福建高考题)数列,,a中,a,1,a,2a,1则a, n1n,1nn
( )
nnnn,1 A.22,12,12 B. C. D.
解:a,2a,1 n,1n
?a,1,2a,2,2(a,1) n,1nn
,1an,1?,2a,1,2 又 1,1an
,,a,1是首项为2公比为2的等比数列 n
n,1nna,1,2,2,2,?a,2,1,所以选C nn
归纳
总结
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:若数列,,a,pa,q(p,1,qa满足为常数),则令n,1nn
a,,,p(a,,)来构造等比数列,并利用对应项相等求的值,求通项公式。 ,n,1n
例2:数列,,a,1,a,3,a,3a,2aaa,中,,则 。 12n,2n,1nnn解:a,a,2(a,a) n,2n,1n,1n
,,?a,a?a,a,2 为首项为2公比也为2的等比数列。 nn,121
n,1a,a,2, nn,1
,(,),(,),,(,),aaaaa??aaannn,1n,1n,2211
n,1n,2,2,2,,2,1 ??
n1,2n,,2,11,2
小结:先构造,,a,a等比数列,这是化归思想的具体应用,再用叠加法求出通n,1n
项公式,当然本题也利用了等比数列求和公式。
例3:(必修5教材69页) 已知数列,,a,5,a,2,a,2a,3a,(n,3)a中求这个数列的通项公式。 12nn,1n,2n
解:?a,2a,3a nnn,2?a,a,3(a,a) nn,1n,1n,2又,,a,a,7,a,a形成首项为7,公比为3的等比数列, 12nn,1
n,2则a,a,7,3………………………? nn,1
又a,3a,,(a,3a), nn,1n,1n,2
,,a,3aa,3a,,13,形成了一个首项为—13,公比为—1的等比数列 nn,121
n,2 则a,a3,(,13),(,1)………………………? nn,1
n,1n,1 ?4a,7,3,13,(,1)? ,3,n
713n,1n,1 ?a,,3,(,1) n44
小结:本题是两次构造等比数列,属于构造方面比较级,最终用加减消元的方法确
定出数列的通项公式。 例4:(2008四川省高考题)
n设数列,,S,若b,a,2,(b,1)Sa的前项和为成立,求证:当nnnn
n,1,,b,2时,a,n,2是等比数列。 n
n,1,b,a,2,(b,1)a,?a,2111
n证明:当 又?b,a,2,(b,1),S………………………? nn
n,1 ?b,a,2,(b,1),S………………………? n,1n,1
n?—? b,a,b,a,2,(b,1),a n,1nn,1
n?a,b,a,2 nn,1
n当a,2a,2时,有 b,2nn,1
nnnn,1?a,(n,1),2,2a,2,(n,1),2,2,(a,n,2) n,1nn
1,1又a,2,1 1
n,1?,,a,n,2为首项为1,公比为2的等比数列, n
n,1n,1n,1a,n,2,2,?a,(n,1),2 nn
小结:本题构造非常特殊,要注意恰当的化简和提取公因式,本题集中体现了构造
等比数列的价值与魅力,同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。
n,1例5:数列,,a,3,a,2a,3,2aa,满足,则 nn1n,1n
nn,1n,1n,1A.(3n,1),2(6n,3),23(2n,1),2(3n,2),2 B. C. D.
aan,1n,1n解:,2,3,2,?,,3?aa n,1nn,1n22
aaa3n,n11 ?,,3,又, n,n12222
a,,3n 构成了一个首项这,公差为3的等差数列, ?,,n22,,
a33n ?,,(n,1),3,3n, n222
3n,1n,1 所以选B。 a,2,2,(3n,),(6n,3),2n2
aann,1小结:构造等比数列,注意形,当时,变为。 n,n,1nn,122
2例6:已知函数,,f(x),(x,2),(x,0)an,又数列中,其前项和a,2n1
,为,,S,S,f(S)(n,N)an,对所有大于1的自然数都有,求数列的通项nnn,1n
公式。
22解: ?f(x),(x,2),S,f(S),(S,2)11nn,n,
?S,S,2,?S,S,2nn,1nn,1
?S,a,211
,,是首项为2,公差为2的等差数列。 ?Sn
2。 S,2,(n,!)2,2n,?S,2nnn
22a,S,S,2n,2(n,1),4n,2时, n,21nnn,
且当a,2,4,1,2时, 符合条件 n,11
?a,4n,2通项公式为 n
例7:(2006山东高考题)
2已知a,af(x),x,xa,2n,1,2,3,??,点()在函数的图象上,其中求nn,11
数列,,a的通项公式。 n
2解:?f(x),x,2x
又?(a,a)在函数图象上 nn,1
2 a,a,2a1,nnn
22 a,1,a,2a,1,(a,1)1n,nnn
?lg(a,1),2lg(a,1),1nn
lg(a,1),1n,2,?lg(a,1),lg31lg(a,1)n
,,lg(a,1)是首项为公比为2的等比数列 lg3n
n,1n,12 lga,2,lg3,lg3n,1
n,12 ?a,1,3n
n,12 a,3,1n
小结:前一个题构造出为等差数列,并且利用通项与和的关系来确定数列的通Sn
项公式,后一个题构造,,,,lga,1为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的n
综合运用是当今高考的重点与热点,因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有
关知识,以它的概念与性质为纽带,架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系,从而有效地解决数列问题。
n,1n例8:(2007天津高考题)已知数列,,a,2,a,,a,,,(2,,),2a满足,n1n,1n
*()其中,求数列的通项公式 n,N,,0
方法指导:将已知条件中的递推关系变形,应用转化成等差数列形式,从而为求,,an
的通项公式提供方便,一切问题可迎刃而解。
n,1n解:a,,a,,,(2,,),2,(n,N*,,,0) n,1n
aa22n,1nn,1n?,,(),(),1 n,1n,,,,
aa22n,1nn,1n?,(),,(),1,。 n,1n,,,,
aaa222,,,,n,n1n,n11 ,(),,(),1,?,,0n,1n,,,,,,,,,,,,,,
所以
a2,,nn所以为等差数列,其首项为0,公差为1; (),,,n,,,,
a2nnnn?,(),n,1,?a,(n,1),,2 nn,,
an例9:数列,,a中,若a,2,,则a, a,n,114n1,3an21683A. B. C. D. 191554
1,311aann解:,,?,,,3 ?an,11,3aaaann,1nn
,,1111 又是首项为公差3的等差数列。 ,,?,,2a2a1n,,
1156n,52,,(n,1),3,3n,,,?a, na2226n,5n
22?a,, 所以选A 46,4,519
2an变式题型:数列,,aa,中,,求 a,2,a,n1,1nn1,3an
,2a13a1311nn解:?,?,,,, a,,1n,13aa2a22an,1nnn
111,3?令,,,(,,),则,,,?,,,3 aa222n,1n
11115?,3,(,3),又,3,, a2aa2n,1n1
,,115是首项为公比为的等比数列 ?,3,,,22an,,
151151n,1n,1,3,,(),?,3,() aa2222nn
1 a?,n51n,13,()22
小结:a,f(a)且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加n,1n
常数成等比数列,发散之后,两种构造思想相互联系,相互渗透,最后融合到一起。
总之,构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式,是求通项公式的重要方
法也是高考重点考查的思想,当然题是千变万化的,构造方式也会跟着千差万别,要
具体问题具体
分析
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,需要我们反复推敲归纳,从而确定其形式,应该说构造方法的
形成是在探索中前进,在前进中探索。
参考文献《中学教材全解》
《五年高考,三年模拟》
《专题攻略》