2010江苏高考数学真题

2010江苏高考数学真题 绝密?启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学?试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本 注意事项 软件开发合同注意事项软件销售合同注意事项电梯维保合同注意事项软件销售合同注意事项员工离职注意事项 及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题——第14题)、解答题(第15题——第20题)。本卷满分 160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 参考公式: 1锥体的体积公式: V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。 锥体3 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.((((((((( 21、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a+4},A?B={3}，则实数a=___________. 【解析】 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1. , 2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位)，则z的模为___________. 【解析】 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。 3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __. 31【解析】考查古典概型知识。 p,,62 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长 度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其 频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有____根在棉花纤维的长度 小于20mm。 【解析】考查频率分布直方图的知识。 100×(0.001+0.001+0.004)×5=30 x-x5、设函数f(x)=x(e+ae)(xR)是偶函数，则实数a=________________ , x-x【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e+ae为奇函数，由g(0)=0，得=,1。 a 22xy,,16、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________ 412 MF4dx,1d【解析】考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。 ,,,e2d2 7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是_____________ 2524S,，，，，,122263？【解析】考查流程图理解。输出。 12223133,，，，，,,？ 228、函数y=x(x>0)的图像在点()处的切线与x轴交点的横坐标为为正整数，=16，则=_________ a,aa,kaa+a+akkk+11135 【解析】考查函数的切线方程、数列的通项。 a22ky,0在点(a,a)处的切线方程为:当时，解得， yaaxa,,,2(),kkx,kkk2 ak所以。 ,，，,，，,,164121aaaa，1135k2 229、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是x，y,4 ___________ 【解析】考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， ||c圆心(0，0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是(-13，13)。 c,113 ,,,10、定义在区间,上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP?x轴于点P，直线PP与y=sinx的图0111,,2,, 像交于点P,则线段PP的长为____________。 212 【解析】考查三角函数的图象、数形结合思想。线段PP的长即为sinx的值， 12 22且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段PP的长为 1233 2,2xx，,1,011、已知函数,则满足不等式的x的范围是_____。 fxfx(1)(2),,fx(),,1,0x,, 2,12,,xx,【解析】考查分段函数的单调性。 ,,,,x(1,21),210,,x,, 23xx212、设实数x,y满足3??8，4??9，则的最大值是 。xy4yy 【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。 2323xx1xx11122,,,()[2,27]()[16,81],，,[,]，，的最大值是27。 4422yyxyyyxy83 batantanCC13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=_________。 ，,6cosC，abtantanAB【解析】考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。 C21CC1cos1,2当A=B或a=b时满足题意，此时有:，，， tan,cosC,tan,,22321cos2，C 1tantanCC，= 4。 tantan2AB,,,，CtantanABtan2 2222baabcc，,32222226,ababab,,，，,(方法二)， ，,,,，6cos6cosCabCab22abab 2tantansincossinsincossinsin()1sinCCCBABACABC，，由正弦定理，得:上式，,,,,,,tantancossinsincossinsincossinsinABCABCABCAB 2221ccc= ,,,,,42113ccosCab22()ab，,662 2(梯形的周长)14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是S,梯形的面积 ________。 【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 22(3)4(3),,xx设剪成的小正三角形的边长为，则: xSx,,,,,(01)21,x133,，,,,(1)(1)xx22 (方法一)利用导数求函数最小值。 2224(3),x4(26)(1)(3)(2)xxxx,,,,,,,,Sx(),,Sx(),,， 2221,x(1),x33 224(26)(1)(3)(2)42(31)(3)xxxxxx,,,,,,,,,,,,,, 2222(1)(1),,xx33 1,， Sxxx()0,01,,,,,3 11,,Sx()0,,Sx()0,,当时，递减;当时，递增; x,(0,]x,[,1)33 3231故当时，S的最小值是。 x,33 (方法二)利用函数的方法求最小值。 2441t111S,,,,令，则: 3,(2,3),(,),,,,xtt286,，,tt68t3233,，,12tt 323131故当时，S的最小值是。 ,,,x3t83 二、解答题:本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步 骤. 15、(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中，点A(,1,,2)、B(2,3)、C(,2,,1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t满足()?=0，求t的值。 AB,tOCOC 【解析】本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。 ,,,,,,,, (1)(方法一)由题设知，则 ABAC,,,(3,5),(1,1),,,,,,,,,,,,,,,, ABACABAC，,,,(2,6),(4,4). ,,,,,,,,,,,,,,,, 所以 ||210,||42.ABACABAC，,,, 故所求的两条对角线的长分别为、。 21042 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则: E为B、C的中点，E(0，1) 又E(0，1)为A、D的中点，所以D(1，4) 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=; 21042 ,,,,,,,,,,,,(2)由题设知:=(,2,,1)，。 ABtOCtt,,，，(32,5)OC (32,5)(2,1)0，，,,,,tt由()?=0，得:， AB,tOCOC 11511,t,,从而所以。 t,,5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2ABOC,11ABOCtOC? ,或者:， AB,(3,5),,,,,t,,,25||OC 16、(本小题满分14分) 0如图，在四棱锥P-ABCD中，PD?平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB?DC，?BCD=90。 (1)求证:PC?BC; (2)求点A到平面PBC的距离。 【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。 满分14分。 (1)证明:因为PD?平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD?BC。 , 0由?BCD=90，得CD?BC， :又PDDC=D，PD、DC平面PCD， , 所以BC?平面PCD。 因为PC平面PCD，故PC?BC。 , (2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则: 易证DE?CB，DE?平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由(1)知:BC?平面PCD，所以平面PBC?平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF?PC，所以DF?平面PBC于F。 2，故点A到平面PBC的距离等于。 易知DF=22 (方法二)体积法:连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。 00因为AB?DC，?BCD=90，所以?ABC=90。 ,ABC从而AB=2，BC=1，得的面积。 S,1,ABC 11由PD?平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。 VSPD,,,,ABC33因为PD?平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD?DC。 , 22PCPDDC,，,2。 又PD=DC=1，所以 2,PBCS,由PC?BC，BC=1，得的面积。 ,PBC2 11由，，得， VV,ShV,,,h,2APBCPABC,, PBC33 故点A到平面PBC的距离等于。 2 17、(本小题满分14分) ,某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角?ABE=，?ADE=。 , ,,(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值; ,, 使与,(2)该小组 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m)，,之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时， ,-最大, , 【解析】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 HhHHBD,,,tan,AD,(1)，同理:AB，。 ,tan,ADtantan,, htan41.24,，HHh,, AD—AB=DB，故得，解得:H,,,124。 tantantan,,,tantan1.241.20,,,,因此，算出的电视塔的高度H是124m。 HHhHh,dAB,(2)由题设知，得， tan,tan,,,,,,dADDBd HHh,,tantan,,hdh,ddtan() ,,,,,,,2HHhHHh(),,1tantan()dHHh，,，,,,1d，,，ddd HHh(),dHHh,,,，,()125121555，(当且仅当时，取等号) dHHh，,,2()d tan(),,,故当时，最大。 d,555 ,,,因为，则，所以当时，-最大。 d,555,0,,,0,,,,,,,22 d故所求的是m。 555 18、(本小题满分16分) 22xyt,m，,1在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与xoy95 椭圆分别交于点M、，其中m>0,。 (x,y)N(x,y)y,0,y,0112212 22PF,PB,4(1)设动点P满足,求点P的轨迹; 12,(2)设，求点T的坐标; x,x,123 t,9(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。 【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查 运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。 (1)设点P(x，y)，则:F(2，0)、B(3，0)、A(-3，0)。 9222222PF,PB,4由，得 化简得。 (2)[(3)]4,xyxy,，,,，,x,2 9故所求点P的轨迹为直线。 x,2 151202,(2)将分别代入椭圆方程，以及得:M(2，)、N(，) x,x,y,0,y,0,12123933 yx,，031直线MTA方程为:，即， ,yx,，1523，3,03 yx,,0355直线NTB 方程为:，即。 ,yx,,20162,,,0393 x,7,,联立方程组，解得:， ,10y,,3, 10所以点T的坐标为。 (7,)3 (9,)m(3)点T的坐标为 myx,，03直线MTA方程为:，即， yx,，(3),12m,，093 myx,,03直线NTB 方程为:，即。 yx,,(3),6m,,093 22xy，,1分别与椭圆联立方程组，同时考虑到， xx,,,3,31295 223(80)40,mm3(20)20mm,解得:、。 N(,),M(,)22222020，，mm8080，，mm 2203(20)mm,yx，,222020，，mm(方法一)当时，直线MN方程为: xx,,12224020mm3(80)3(20),,mm，,22228020，，mm8020，，mm x,1y,0 令，解得:。此时必过点D(1，0); x,1当时，直线MN方程为:，与x轴交点为D(1，0)。 xx,12 所以直线MN必过x轴上的一定点D(1，0)。 222403360,,mmm,0(方法二)若，则由及，得， ,m,210xx,12228020，，mm x,1此时直线MN的方程为，过点D(1，0)。 40m 210m80，mk,,若，则，直线MD的斜率， m,210xx,MD12222403,m40,m,1280，m ,20m 210m20，m直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。 k,,kk,NDMDND22360m,40,m,1220，m 因此，直线MN必过轴上的点(1，0)。 x 19、(本小题满分16分) ,,dS设各项均为正数的数列,,的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。 aS2a,a，annn213 ,,(1)求数列a的通项公式(用表示); n,dn 9m，n,3k且m,n(2)设c为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证:c的最大值为。 S，S,cSm,n,kmnk2 【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。 d,0SSndand,，,,，,(1)(1)(1)由题意知:， n11 2223[()](2),adaad，,,，， 233()aaaaSSSS,，,,,,,11121323213 22aaddadad,,，,,,20,,化简，得: 1111 22SdndndSnd,，,,,(1),， nn 22222n,1n,2当时，，适合情形。 aSSndndnd,,,,,,,(1)(21)nnn,1 2故所求 and,,(21)n (2)(方法一) 22mn，222222222， 恒成立。 c,SScSmdndckdmnck，,,，,,,，,,mnk2k 22mn，92222m，n,3k且m,n 又，， 2()()9mnmnk，,，,,,2k2 99故，即的最大值为。 cc,22 22ad,Sand,，,(1)d,0(方法二)由及，得，。 Snd,1n1n于是，对满足题设的，，有 mn,m,n,k 2()99mn，222222。 SSmndddkS，,，,,,()mnk222 9所以的最大值。 cc,max2 933k另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且a,m,n,kmknk,，,,1,1222 33122222222。 SSmnddkkdk，,，,，，,,，()[(1)(1)](94)mn222 212222942kak，,于是，只要，即当时，。 k,SSdakaS，,,,2mnk229a, 99所以满足条件的，从而。 c,c,max22 9因此c的最大值为。 2 20、(本小题满分16分) 设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的af(x)(1,，,)f'(x)h(x)h(x)x,(1,，,) 2都有>0，使得，则称函数具有性质。 f'(x),h(x)(x,ax，1)h(x)f(x)P(a) b，2b(1)设函数，其中为实数。 f(x),，,ln(1)xxx，1 (i)求证:函数具有性质; (ii)求函数的单调区间。 f(x)P(b)f(x) 具有性质。给定设为实数， (2)已知函数xxxx,(1,),,,，,,mg(x)P(2)1212 ，，且， ,,mx，(1,m)x,,(1,m)x，mx,,1,,,11212 g(,),g(,)若||<||，求的取值范围。 mg(x),g(x)12 【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析 与解决问题的综合能力。满分16分。 121b，2fx'()(1)(i) ,,,,，(1)xbx22xxxx(1)(1)，， 1?时，恒成立， hx()0,,x,12xx(1)， ?函数具有性质; f(x)P(b) 2bb22,()x(ii)(方法一)设，与的符号相同。 ,()1()1xxbxx,,，,,，,f'(x)24 2b,0,0,()x当时，，，故此时在区间上递增; 10,22,,,,,bf'(x)f(x)(1,，,)4 x,1,0当时，对于，有，所以此时在区间上递增; b,,2f'(x)f(x)(1,，,) bb,,2,()x,(0)1,当时，图像开口向上，对称轴，而， x,,,12 x,1,0,0,()x对于，总有，，故此时在区间上递增; f'(x)f(x)(1,，,) 222b,2x,1(方法二)当时，对于， ,()121(1)0xxbxxxx,,，,,，,,, ,0 所以，故此时在区间上递增; f'(x)f(x)(1,，,) 22bbbb，,,,44b,b,2,()x,()0x,当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为:，而x,,1222 22bbbb，,,,442 ,,,1,(0,1)222bb，,4 22bb，,4bb，,4(1,)x,(1,),0,0,()x 当时，，，故此时在区间 上递减;同理得:在f'(x)f(x)f(x)22 2bb，,4[,)，,区间上递增。 2 b,2综上所述，当时，在区间上递增; f(x)(1,，,) 22bb，,4bb，,4b,2 当时，在上递减;在上递增。 f(x)f(x)[,)，,(1,)22 22(2)(方法一)由题意，得: gxhxxxhxx'()()(21)()(1),,，,, 又对任意的都有>0， h(x)x,(1,，,)h(x) ,gx()0,gx()(1,)，,所以对任意的都有，在上递增。 x,(1,，,) 又。 ,,,,，,，,,,,xxmxx,(21)()1212 1,,,当时，，且， ,,,,,，,,,,，,xmxmxxmxmx(1)(1),(1)(1)mm,,,11122122 综合以上讨论，得:所求的取值范围是(0，1)。 m 2gx()hx()0,(方法二)由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当gxhxxx'()()(21),,，x,(1,，,) 2x,1gx()时，，从而在区间上单调递增。 gxhxx'()()(1)0,,,(1,，,) m,(0,1)?当时，有， ,,，,,，,,mxmxmxmxx(1)(1)12111 gx()g(),，得，同理可得，所以由的单调性知、,,，,,，,,mxmxmxmxx(1)(1),,(,)xx,,(,)xx122221212g(),， ,((),())gxgx12 g(,),g(,)从而有||<||，符合题设。 g(x),g(x)12 m,0?当时，， ,,，,,，,,mxmxmxmxx(1)(1)12222 ,,,,1,1gx()，于是由及的单调性知，所,,,，,,，,(1)(1)mxmxmxmxxggxgxg()()()(),,,,,1211112 g(,),g(,)以||?||，与题设不符。 g(x),g(x)12 m,1g(,),g(,)?当时，同理可得，进而得||?||，与题设不符。 ,,,,xx,g(x),g(x)1212 因此综合?、?、?得所求的的取值范围是(0，1)。 m 数学?(附加题) 21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时(((((((((((((((((((应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A( 选修4-1:几何证明选讲 D(本小题满分10分) CBAB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求A O证:AB=2BC。 【解析】 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。 ，则:OD?DC， (方法一)证明:连结OD 又OA=OD，DA=DC，所以?DAO=?ODA=?DCO， ?DOC=?DAO+?ODA=2?DCO， 00所以?DCO=30，?DOC=60， 所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 (方法二)证明:连结OD、BD。 0因为AB是圆O的直径，所以?ADB=90，AB=2 OB。 0因为DC 是圆O的切线，所以?CDO=90。 又因为DA=DC，所以?DAC=?DCA， 于是?ADB??CDO，从而AB=CO。 即2OB=OB+BC，得OB=BC。 故AB=2BC。 B( 选修4-2:矩阵与变换 (本小题满分10分) k001，，，，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵,,,,1001，，，，MN对应的变换下得到点分别为A、B、C，?ABC的面积是?ABC面积的2倍，求k的值。 111111 【解析】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。 kk0010，，，，，，由题设得 MN,,,,,,,,011010，，，，，， 002200kk,,，，，，，，k由，可知A(0，0)、B(0，-2)、C(，-2)。 ,111,,,,,,10001022,,，，，，，， ||k||212k,，,计算得?ABC面积的面积是1，?ABC的面积是，则由题设知:。 111 所以k的值为2或-2。 C( 选修4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分10分) 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。 【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 22222，圆ρ=2cosθ的普通方程为:， ,,,,2cosxyxxy，,,，,2,(1)1 340xya，，,直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为:， |3140|,，,，aa,2a,,8又圆与直线相切，所以解得:，或。 ,1,2234， D( 选修4-5:不等式选讲 (本小题满分10分) 3322设a、b是非负实数，求证:。 ababab，,，() 【解析】 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。 332222(方法一)证明: abababaaabbbba，,，,,，,()()() 55 ,,,()[()()]abab 2432234 ,,，，，，()[()()()()()()()()]abaabababb 2432234因为实数a、b?0， ()0,[()()()()()()()()]0abaabababb,,，，，，, 3322所以上式?0。即有。 ababab，,，() (方法二)证明:由a、b是非负实数，作差得 33222255 abababaaabbbba，,，,,，,()()(),,,()[()()]abab 5555ab,当时，，从而，得; ab,()()ab,()[()()]0abab,,, 5555ab,当时，，从而，得; ab,()()ab,()[()()]0abab,,, 3322所以。 ababab，,，() [必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ((((((( 22、(本小题满分10分) 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产 品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损 2万元。设生产各种产品相互独立。 (1)记X(单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列; (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 (1)由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72， P(X=5)=0.2×0.9=0.18， P(X=2)=0.8×0.1=0.08， P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。 由此得X的分布列为: X 10 5 2 -3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 4,n(2)设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。 n 144(4)10nn,,, 由题设知，解得， n,5 nN,n,3n,4 又，得，或。 334所求概率为 PC,，，，,0.80.20.80.81924 答:生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。 23、(本小题满分10分) 已知?ABC的三边长都是有理数。 (1)求证cosA是有理数;(2)求证:对任意正整数n，cosnA是有理数。 【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。 222bca，,abc,,abc,,(方法一)(1)证明:设三边长分别为，，?是有理数， cosA,2bc 222bca，,2bc是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， 222bca，,?必为有理数，?cosA是有理数。 2bc n,1(2)?当时，显然cosA是有理数; 2cos22cos1AA,,n,2当时，?，因为cosA是有理数， ?也是有理数; cos2A nkk,,(2)cos(1)kA,?假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。 cos(1)coscossinsinkAkAAkAA，,,当时，， nk,，1 1， cos(1)coscos[cos()cos()]kAkAAkAAkAA，,,,,，2 11， cos(1)coscoscos(1)cos(1)kAkAAkAkA，,,,，，22 cos(1)2coscoscos(1)kAkAAkA，,,,解得: cos(1)kA,2coscoscos(1)kAAkA,,?cosA，，均是有理数，?是有理数， coskA cos(1)kA，?是有理数。 即当时，结论成立。 nk,，1 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 (方法二)证明:(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 222ABACBC，,是有理数。 cosA,2ABAC, sinsinAnA,(2)用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。 2sinsin1cosAAA,,,n,1cosA?当时，由(1)知是有理数，从而有也是有理数。 nkk,,(1)coskAsinsinAkA,?假设当时，和都是有理数。 cos(1)coscossinsinkAAkAAkA，,,,,时，由， 当nk,，1 sinsin(1)sin(sincoscossin)(sinsin)cos(sinsin)cosAkAAAkAAkAAAkAAkAA,，,,,，,,,,，,,， cos(1)kA，sinsin(1)AkA,，和都是有理数。 及?和归纳假设，知 即当时，结论成立。 nk,，1 综合?、?可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。