1椭圆知识点总结
椭圆知识点 一(椭圆及其标准方程
1(椭圆的定义:平面内与两定点F,F距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭,,2a,FF1212圆,即点集M={P| |PF|+|PF|=2a,2a,|FF|=2c}; 1212
这里两个定点F,F叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 12
(时为线段,无轨迹)。 2a,FF2a,FFFF121212
222cab,,2(标准方程:
22xy
,,1?焦点在x轴上:(a,b,0); 焦点F(?c,0) 22ab
22yx,,1?焦点在y轴上:(a,b,0); 焦点F(0, ?c) 22ab
注意:?在两种标准方程中,总有a,b,0,并且椭圆的焦点总在长轴上;
22xy22,,1 或者 mx+ny=1 ?两种标准方程可用一般形式
表
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示:mn二(椭圆的简单几何性质:
1.范围
22xy (1)椭圆(a,b,0) 横坐标-a?x?a ,纵坐标-b?x?b ,,122ab
22yx (2)椭圆(a,b,0) 横坐标-b?x?b,纵坐标-a?x?a ,,122ab
2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称
中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
3.顶点
(1)椭圆的顶点:A(-a,0),A(a,0),B(0,-b),B(0,b) 1212
(2)线段AA,BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭1212
圆的长半轴长和短半轴长。
1
4(离心率
2cc (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率, a2a
2cb22e,,,1()新疆王新敞奎屯0,e,1记作e(), 2aa
e0, 是圆;
e越接近于0 (e越小),椭圆就越接近于圆;
e越接近于1 (e越大),椭圆越扁;
注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。
(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数
|PF|e,e,(0,e,1)的点的轨迹为椭圆。() d
222axy,,x?焦点在x轴上:(a,b,0)准线方程: ,,122cab
222ayx,,?焦点在y轴上:(a,b,0)准线方程:y ,,122cab
小结一:基本元素
(1)基本量:a、b、c、e、(共四个量), 特征三角形 (2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) (3)基本线:对称轴(共两条线)
5(椭圆的的内外部
22xy2200xy,,,1,,,,1(0)ab1)点(Pxy(,)在椭圆的内部. 220022abab
2222xy00xy,,,1,,,,1(0)abPxy(,)(2)点在椭圆的外部. 220022abab
6.几何性质
,,,FPFFBF,(1) 最大角 ,,12122max
(2)最大距离,最小距离
例题讲解:
一.椭圆定义:
2222,,,,x,2,y,x,2,y,10,(方程化简的结果是
2
,ABC,ABC18C2(若的两个顶点,的周长为,则顶点的轨迹方程是 AB,4,0,4,0,,,,
22xy3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 ,169
二(利用标准方程确定参数
22xy1.若方程+=1(1)表示圆,则实数k的取值是 . 5,kk,3
(2)表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是 . (3)表示焦点在y型上的椭圆,则实数k的取值范围是 . (4)表示椭圆,则实数k的取值范围是 .
222.椭圆的长轴长等于 ,短轴长等于 , 顶点坐标425100xy,,
是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离
心率等于 ,
22xy2,,13(椭圆的焦距为,则= 。 m4m
22k,4(椭圆的一个焦点是,那么 。 (0,2)5x,ky,5
三(待定系数法求椭圆标准方程
1(若椭圆经过点,,则该椭圆的标准方程为 。 (4,0),(0,3),
22a,13c,122(焦点在坐标轴上,且,的椭圆的标准方程为
a:b,2:1c,63(焦点在轴上,,椭圆的标准方程为 x
4. 已知三点P(5,2)、(,6,0)、(6,0),求以、为焦点且过点P的椭圆的标FFFF1212准方程;
22变式:求与椭圆共焦点,且过点(3,2),的椭圆方程。 4936xy,,
3
四(焦点三角形
22xy1(椭圆的焦点为、,是椭圆过焦点的弦,则的周长是 。 AB,,1FFF,ABF1212925
222(设,为椭圆的焦点,为椭圆上的任一点,则的周长是多PFF,PFF16x,25y,4001212少,的面积的最大值是多少, ,PFF12
22xy3(设点P是椭圆上的一点,是焦点,若是直角,则的面积,,1FF,,FPF,FPF1212122516
为 。
22变式:已知椭圆P,焦点为、,是椭圆上一点( 若, FF,FPF,60:9x,16y,1441212求的面积( ,PFF12
五(离心率的有关问题
22xy1,,11.椭圆的离心率为,则 m,24m
01202.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为,则此椭圆的离心率为 e3(椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F、F,过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若?FPF为等腰1、2212直角三角形,求椭圆的离心率。
0?ABCAB,C5.在中,(若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆,A,30,|AB|,2,S,3,ABC
e,的离心率 (
最值问题:
2x2,,y11.椭圆两焦点为F、F,点P在椭圆上,则|PF|?|PF|的最大值为_____,最小12124
值为_____
22xy,,12、椭圆两焦点为F、F,A(3,1)点P在椭圆上,则|PF|+|PA|的最大值为_____,1212516
4
最小值为 ___
2x23、已知椭圆,A(1,0),P为椭圆上任意一点,求|PA|的最大值 最小,,y14
值 。
22yx4.设F是椭圆,=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最2432
小,求P点坐标 最小值 . 同步测试
1已知F(-8,0),F(8,0),动点P满足|PF|+|PF|=16,则点P的轨迹为( ) 1212
A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线
22xy 2、椭圆左右焦点为F、F,CD为过F的弦,则,CDF的周长为______ ,,11211169
22xy 3已知方程表示椭圆,则k的取值范围是( ) ,,111,,kk
A -1
0 C k?0 D k>1或k<-1
4、求满足以下条件的椭圆的标准方程
(1)长轴长为10,短轴长为6
(2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,1)
(3) 经过点(5,1),(3,2) 5、若?ABC顶点B、C坐标分别为(-4,0),(4,0),AC、AB边上的中线长之和为30,则?ABC的重心
G的轨迹方程为______________________
22xy,,,,1(0)ab6.椭圆的左右焦点分别是F、F,过点F作x轴的垂线交椭圆于P点。 12122ab
若?FPF=60?,则椭圆的离心率为_________ 12
7、已知正方形ABCD,则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______
椭圆方程为 ___________________.
22xy,,1,PFF,,:FPF608已知椭圆的方程为,P点是椭圆上的点且,求的面积 121243
9.若椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为F,则满足?ABF为等边三角形的椭圆的离心率为 11
22xy,,110.椭圆上的点P到它的左焦点的距离是12,那么点P到它的右焦点的距离是 10036
22xy,,1(a,5)FF,8FFFABF11(已知椭圆的两个焦点为、,且,弦AB过点,则?的周121212225a
长
5
22xy12.在椭圆+=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍 259
13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为,那么这个椭圆的方程为 。 x,4
e14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率=___________.
15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,y,,18
则椭圆方程为 ___________________.
2216.已知P是椭圆上的点,若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为_________. 9x,25y,900
22xy517(椭圆内有两点,,P为椭圆上一点,若使最小,则最小值为 A,,2,2,,,,1B3,0PAPB,25163
2222yxxy18、椭圆,=1与椭圆,=,(,,0)有 3223
(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对
2222yyxx19、椭圆与(0
分析
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:动圆满足的条件为:?与圆C相内切;?与圆C相外切(依据两圆相切的充要条件建立关系式( 12
y解:设动圆圆心,(x,),半径为,如图所示,由题意动圆,内切于圆C, r1
MC,13,rMC,3,r?,圆,外切于圆C,?, 212
y MC,MC,16?, 12
? 动圆圆心,的轨迹是以C、C为焦点的椭圆, 12
2a,16,2c,8且, , C 2
6 C1x ,
222 , b,a,c,64,16,48
22xy 故所求轨迹方程为: ,,16448
二、待定系数法
例,已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,求该椭圆的方程( P(6,1),P(,3,,2)12
分析:已知两点,椭圆标准方程的形式不确定,我们可以设椭圆方程的一般形式:
22,,(,进行求解,避免讨论。 m,0,n,0)mx,ny
22解:设所求的椭圆方程为,,(( m,0,n,0)mx,ny
?椭圆经过两点, P(6,1),P(,3,,2)12
1,m,,22,6m,n,1,,xy,9? 解得 ,故所求的椭圆标准方程为,,1( ,,1933m,2n,1.,,n,.,3,
三、直接法
22xyll,,1例, 设动直线垂直于轴,且交椭圆于,、,两点,,是上线段AB外一点,且满足x42
PA,PB,1,求点,的轨迹方程(
l分析:如何利用点,的坐标与椭圆上,,,两点坐标的关系,是求点,的轨迹的关键,因直线垂直
于轴,所以,、,、,三点的横坐标相同,由,、,在椭圆上,所以,、,两点的纵坐标互为相反数,x
PA,PB,1因此,紧紧抓住等式即可求解(
y解:设,(,),,(,),,(,) , xxyxyAABB
由题意:,,,,,, xxxyyABAB
PA,y,yPB,y,yyy ?,,?,在椭圆外,?,y与,y同号, ABAB
2PA,PByy?=(,y)(,y), y,(y,y)y,yy,1ABABAB
22xx2A,,,,2(1,),,2(1,) ? yyyABA44
222xyx2y,2(1,),1,,1(,2,x,2) ,即为所求( 463
7
四、相关点法
,ABC例, 的底边BC,16,AC和AB两边上的中线长之和为30,求此三角形重心,和定点,的轨迹方程(
分析:由题意可知,到,、,两点的距离之和为定值,故可用定义法求解,,点和,点的关系式好建立,故可用相关点法去求(
解(,)以BC边所在直线为轴,BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系, x
2 设,(,),由GC,GB,,30,知,点的轨迹是以,、,为焦点, yx3
22xy 长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点,方程为( ,,1(y,0)x10036
22xy00 (,)设,(,),,(,则由(,)知,的轨迹方程是 yx,y),,1(y,0)x00010036
x,x,220,xy,3,ABC ? ,为的重心 ?代入得:,,1(y,0) ,y900324,y,0,3,
其轨迹是中心为原点,焦点在轴上的椭圆,除去长轴上的两个端点( x
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