全等三角形
证明
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题专项练习60题（有答案）
1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC= _________ ．
2．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB．
3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE的道理．
4．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由．
（1）∠DBH=∠DAC；
（2）△BDH≌△ADC．
5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由．
6．如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？
7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AF=BD，AE=BC，且AE∥BC．
求证：△AEF≌△BCD．
8．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，△ABE与△ACD全等吗？说明你的理由．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．
10．如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．
11．已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明：△ABC≌△FDE．
12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．
13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB，AC于E，F，在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．（△ABC与△A1B1C1全等除外）
14．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．
15．如图，AB=AC，AD=AE，AB，DC相交于点M，AC，BE相交于点N，∠DAB=∠EAC．求证：△ADM≌△AEN．
16．将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连接DC．
求证：△ABE≌△ACD．
17．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌”
表
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示，并选择一对加以证明．
18．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD．
（1）求证：△ABD≌△EBC．
（2）你可以从中得出哪些结论？请写出两个．
19．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．
（1）若AD=2，求AF的长；
（2）求当AD取何值时，DE=EF．
20．巳知：如图，AB=AC，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，BE与CD相交于G．
（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来．
（Ⅱ）请你选出一对三角形，说明它们全等的理由（根椐所选三角形说理难易不同给分，即难的说对给分高，易的说对给分低）
21．已知：如图，AB=DC，AC=BD，AC、BD相交于点E，过E点作EF∥BC，交CD于F，
（1）根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．
（2）EF平分∠DEC吗？为什么？
22．如图，己知∠1=∠2，∠ABC=∠DCB，那么△ABC与△DCB全等吗？为什么？
23．如图，B，F，E，D在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE．试证明：
（1）△DFC≌△BEA；
（2）△AFE≌△CEF．
24．如图，AC=AE，∠BAF=∠BGD=∠EAC，图中是否存在与△ABE全等的三角形？并证明．
25．如图，D是△ABC的边BC的中点，CE∥AB，E在AD的延长线上．
试证明：△ABD≌△ECD．
26．如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．
（1）求证：△AOB≌△DOC；
（2）求∠AEO的度数．
27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC．
（1）求证：△ABF≌△DEC；
（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）
28．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．
（1）求证：△ABD≌△GCA；
（2）请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．
29．如图，点D、F、E分别在△ABC的三边上，∠1=∠2=∠3，DE=DF，请你说明△ADE≌△CFD的理由．
30．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，点F在线段BE上，∠1=∠2，点D在线段EC上，给出两个条件：①DF∥BC；②BF=DF．请你从中选择一个作为条件，证明：△AFD≌△AFB．
31．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，AB=BC，BD=BE，EA=DC，求证：△BEA≌△BDC．
32．阅读并填空：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．请说明△ADC≌△CEB的理由．
解：∵BE⊥CE于点E（已知），
∴∠E=90° _________ ，
同理∠ADC=90°，
∴∠E=∠ADC（等量代换）．
在△ADC中，
∵∠1+∠2+∠ADC=180°
_________ ，
∴∠1+∠2=90° _________ ．
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠3+∠2=90°，
∴ _________ ．
在△ADC和△CEB中，.
∴△ADC≌△CEB （A．A．S）
33．已知：如图所示，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．
（1）写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；
（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．
34．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE．试说明下列结论正确的理由：
（1）∠C=∠E；
（2）△ABC≌△ADE．
35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是斜边AB上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．求证：△ACE≌△CBF．
36．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE∥CA交AB于E，点P是线段AC上的一动点，连接PE．
探究：当动点P运动到AC边上什么位置时，△APE≌△EDB？请你画出图形并证明△APE≌△EDB．
37．已知：如图，AD∥BC，AD=BC，E为BC上一点，且AE=AB．
求证：（1）∠DAE=∠B；
（2）△ABC≌△EAD．
38．如图，D为AB边上一点，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB，CD=CE，图中有全等三角形吗？指出来并说明理由．
39．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE．
40．如图，已知D是△ABC的边BC的中点，过D作两条互相垂直的射线，分别交AB于E，交AC于F，求证：BE+CF＞EF．
41．如图所示，在△MNP中，H是高MQ与NE的交点，且QN=QM，猜想PM与HN有什么关系？试说明理由．
42．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．
（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
43．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．
44．如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD，BC=AD，请说明：∠A=∠C的道理，小明动手测量了一下，发现∠A确实与∠C相等，但他不能说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？试试看．
45．如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于E，BF⊥AD，交AD的延长线于F．求证：CE=BF．
46．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM交DA的延长线上于E．交BC于N，试说明：AE=CN．
47．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE．
48．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．∠B与∠D相等吗？请你说明理由．
49．D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，AE=CE，求证：AB∥CF．
50．如图，M是△ABC的边BC上一点，BE∥CF，且BE=CF，求证：AM是△ABC的中线．
51．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，D为AB上一点，AF⊥CD交于CD的延长线于点F，BE⊥CD于点E，求证：EF=CF﹣AF．
52．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，EC⊥MN于E．
（1）求证：BD=AE；
（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么？
（3）BD、CE与DE有何关系？
53．已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD和CE为△ABC的高，BD和CE相交于点O．求证：OB=OC．
54．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等．试说明AE=DF的理由．
55．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连接DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长．
56．如图：已知∠B=∠C，AD=AE，则AB=AC，请说明理由．
57．如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=CD，AD=DE=BE．
（1）求证△BCE≌△DCE；（2）求∠EDC的度数．
58．已知：∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD=2CE．
59．如图，已知：AB=CD，AD=BC，过BD上一点O的直线分别交DA、BC的延长线于E、F．
（1）求证：∠E=∠F；
（2）OE与OF相等吗？若相等请证明，若不相等，需添加什么条件就能证得它们相等？请写出并证明你的想法．
60．如下图，AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且BD=DC．求证：BE=CF．
全等三角形证明题专项练习60题参考答案：
1．∵△ABC≌△ADE 且∠B≠∠E，
∴∠C=∠E，∠B=∠D；
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣20°=130°．
2．∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD．
又BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（ASA）．
3．△ADF与△AEF中，
∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，
∴∠E=∠C．
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
∵AC=AE，
∴△ABC≌△ADE．
4．（1）∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°
∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°
∴∠DBH=∠HAE
∵∠HAE=∠DAC
∴∠DBH=∠DAC；
（2）∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC
在△BDH与△ADC中，
∴△BDH≌△ADC．
5．∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△DBE与△DCF是直角三角形，
∵BD=CD，DE=DF，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
6．∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE；
∴180°﹣∠BAE=180°﹣∠CAE，
即∠DAB=∠DAC；
又∵AB=AC，AD=AD，
∴在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）
7．∵AE∥BC，
∴∠B=∠C．
∵AF=BD，AE=BC，
∴△AEF≌△BCD（SAS）．
8．△ABE与△ACD全等．
理由：∵AB=AC，∠A=∠A（公共角），AE=AD，
∴△ABE≌△ACD．
9．图中的全等三角形有：
△ABD≌△ACD，
△ABE≌△ACE，
△BDE≌△CDE．
理由：
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，
∴△ABE≌△ACE（SAS）；
∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，
∴△BDE≌△CDE（SSS）．
10．：∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）
11. 增加AB=DF．在△ABC和△FDE中，
∴△ABC≌△FDE（SSS）．
12．∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE．又∵∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS）．
13．△CBD≌△CA1F证明如下：
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC．
∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，
∴∠A1=∠A，A1C=AC，∠ACA1=∠BCB1=α．
∴∠A1=∠ABC（1分），A1C=BC．
∴△CBD≌△CA1F（ASA）
14．∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B=∠DEF，∠F=∠ACB．
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+EC．
∴BC=EF．
∴△ABC≌△DEF （ASA）．
15．∵AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠AEB，
∴△ACD≌△ABE，
∴∠D=∠E，
又AD=AE，∠DAB=∠EAC，
∴△ADM≌△AEN
16．∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90，
即∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD
17．
答：△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF；
证明：（以△BDE≌△FEC为例）
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形，
∴∠EDC=∠DEC=60°，
∴∠BDE=∠FEC=120°，
∵CD=CE，
∴BC﹣CD=AC﹣CE，
∴BD=AE，
又∵EF=AE，
∴BD=FE，
在△BDE与△FEC中，
∵
，
∴△BDE≌△FEC（SAS）．
18．（1）证明如下：
∵∠ABD=∠1+∠EBC，∠CBE=∠2+∠EBC，∠1=∠2．
∴∠ABD=∠CBE．
在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC（AAS）；
（2）从中还可得到AB=BC，∠BAD=∠BEC
19．（1）∵AB=8，AD=2
∴BD=AB﹣AD=6
在Rt△BDE中
∠BDE=90°﹣∠B=30°
∴BE=
BD=3
∴CE=BC﹣BE=5
在Rt△CFE中
∠CEF=90°﹣∠C=30°
∴CF=
CE=
∴AF=AC﹣FC=
；
（2）在△BDE和△EFC中
，
∴△BDE≌△CFE（AAS）
∴BE=CF
∴BE=CF=
EC
∴BE=
BC=
∴BD=2BE=
∴AD=AB﹣BD=
∴AD=
时，DE=EF
20．（1）图中全等的三角形有四对，分别为：①△DBG≌△EGC，②△ADG≌△AEG，③△ABG≌△ACG，④△ABE≌△ACD；（4分）
（Ⅱ）∵AB=AC，AD=AE，∠A是公共角，
∴△ABE≌△ACD（SAS）④；
∵AB=AC，AD=AE，
∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=CE；
由④得∠B=∠C，
又∵∠DGB=∠EGC（对顶角相等），BD=CE（已证），
∴△DBG≌△EGC（AAS）①；
由①得BG=CG，由④得∠B=∠C，
又∵AB=AC，
∴△ABG≌△ACG（SAS）③；
由①得BG=CG，且AD=AE，AG为公共边，
∴△ADG≌△AEG（SSS）②；
21．（1）△ABC≌△DCB．
证明：∵AB=CD，AC=BD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．（SSS）
（2）EF平分∠DEC．
理由：∵EF∥BC，
∴∠DEF=∠EBC，∠FEC=∠ECB；
由（1）知：∠EBC=∠ECB；
∴∠DEF=∠FEC；
∴FE平分∠DEC
22．△ABC≌△DCB．
理由如下：∵∠ABC=∠DCB，∠1=∠2，
∴∠DBC=∠ACB．
∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB
23．（1）∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF．
即BE=DF．
在△DFC和△BEA中，
∵
，
∴△DFC≌△BEA（SAS）．
（2）∵△DFC≌△BEA，
∴CF=AE，∠CFD=∠AEB．
∵在△AFE与△CEF中，
∵
，
∴△AFE≌△CEF（SAS）
24．△ABF与△DFG中，∠BAF=∠BGD，∠BFA=∠DFG，
∴∠B=∠D，
∵∠BAF=∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
∵AC=AE，∠BAE=∠DAC，∠B=∠D，
∴△BAE≌△DAC．
答案：有．△BAE≌△DAC
25．∵CE∥AB，
∴∠ABD=∠ECD．
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（ASA）
26．（1）证明：在△AOB和△COD中
∵
∴△AOB≌△COD（AAS）
（2）解：∵△AOB≌△COD，
∴AO=DO
∵E是AD的中点
∴OE⊥AD
∴∠AEO=90°
27．1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D．
∵AB=DE，AF=DC，
∴△ABF≌△DEC．
（2）解：全等三角形有：△ABC和△DEF；△CBF和△FEC
28．
证明：（1）∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC=∠AEB=90°（垂直定义），
∴∠ACG=∠DBA（同角的余角相等），
又∵BD=CA，AB=GC，
∴△ABD≌△GCA；
（2）连接DG，则△ADG是等腰三角形．
证明如下：
∵△ABD≌△GCA，
∴AG=AD，
∴△ADG是等腰三角形．
29．
解：∵∠4+∠6=180°﹣∠3，∠5+∠6=180°﹣∠2，∠3=∠2，
∴∠4+∠6=∠5+∠6，
∴∠4=∠5，
∵在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（AAS）．
30．①DF∥BC．
证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠CBE=90°，
∴∠C=∠ABF，
∵DF∥BC，
∴∠C=∠ADF，
∴∠ABF=∠ADF，
在△AFD和△AFB中
∴△AFD≌△AFB（AAS）．
31．在△BEA和△BDC中：
，故△BEA≌△BDC（SSS）．
32．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．请说明△ADC≌△CEB的理由．
解：∵BE⊥CE于点E（已知），
∴∠E=90° （垂直的意义） ，
同理∠ADC=90°，
∴∠E=∠ADC（等量代换）．
在△ADC中，
∵∠1+∠2+∠ADC=180°
（三角形的内角和等于180°） ，
∴∠1+∠2=90° （等式的性质） ．
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠3+∠2=90°，
∴ ∠1=∠3（同角的余角相等） ．
在△ADC和△CEB中，.
∴△ADC≌△CEB （A．A．S）
33．（1）△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC；（2分）
（2）△ABF≌△DEC，
证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，（3分）
在△ABF和△DEC中
，（4分）
∴△ABF≌△DEC．（5分）
34．（1）△ADF与△AEF中，
∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，
∴∠C=∠E；
（2）∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
∵AC=AE，
又∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE．
35．∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形两个锐角互余）
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，（等角的余角相等）
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
在△ACE与△CBF中，∠CAE=∠BCF，∠AEC=∠BFC，AC=BC，
∴△ACE≌△CBF（AAS）．
36．当动点P运动到AC边上中点位置时，△APE≌△EDB，
∵DE∥CA，
∴△BED∽△BAC，
∴
=
，
∵D是BC的中点，
∴
=
，
∴
=
，
∴E是AB中点，
∴DE=
AC，BE=AE，
∵DE∥AC，
∴∠A=∠BED，
要使△APE≌△EDB，
还缺少一个条件DE=AP，又有DE=
AC，
∴P必须是AC中点．
37．（1）∵AE=AB，
∴∠B=∠AEB，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∴∠DAE=∠B；
（2）∵∠DAE=∠B，AD=BC，AE=AB，
∴△ABC≌△EAD．
38．△ACE≌△BCD．
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角），
在△ACE和△BCD中，
∵
，
∴△ACE≌△BCD．
39．∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE．
40．
证明：延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM．
∵D为BC中点，
∴BD=DC．
∵∠FDC=∠BDM，
∴△BDM≌△CDF．
∴BM=FC．
∵ED⊥DF，
∴EM=EF．
∵BE+BM＞EM，
∴BE+FC＞EF．
41．PM=HN．
理由：∵在△MNP中，H是高MQ与NE的交点，
∴∠MEH=∠NQH=90°，∠MQP=∠NQH=90°
∵∠MHE=∠NHQ（对顶角相等），
∴∠EMH=∠QNH（等角的余角相等）
在△MPQ和△NHQ中，
，
∴△MPQ≌△NHQ（ASA），
∴MP=NH．
42．（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
43．∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴∠E=∠ADC=90°
∵∠BCE+∠ACE=∠DAC+∠ACE=90°
∴∠BCE=∠DAC
∵AC=BC
∴△ACD≌△CBE
∴CE=AD，BE=CD=2.5﹣1.7=0.8（cm）
44．∵AB=CD，BC=AD，
又∵BD=DB，
在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠A=∠C．
45．∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=CD．
∵CE⊥AD于E，BF⊥AD，
∴∠BFD=∠CED．
在△BFD和△CED中
，
∴△BFD≌△CED（AAS）．
∴CE=BF
46．∵AD∥BC，
∴∠E=∠ENB，
∵∠ENB=∠CNF，
∴∠E=∠CNF，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠B，
∵∠C=∠B，
∴∠EAB=∠DCB，
∵AM=CF，
∴△AME≌△CFN，
∴AE=CN．
47．
证明：过T作TF⊥AB于F，
∵AT平分∠BAC，∠ACB=90°，
∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠ACB=90°，CM⊥AB，
∴∠ADM+∠DAM=90°，∠ATC+∠CAT=90°，
∵AT平分∠BAC，
∴∠DAM=∠CAT，
∴∠ADM=∠ATC，
∴∠CDT=∠CTD，
∴CD=CT，
又∵CT=TF（已证），
∴CD=TF，
∵CM⊥AB，DE∥AB，
∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，
在△CDE和△TFB中，
，
∴△CDE≌△TFB（AAS），
∴CE=TB，
∴CE﹣TE=TB﹣TE，
即CT=BE．
48．∵∠BAE=∠DAC
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE
即∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）
49．∵DE=EF，AE=CE，∠AED=∠FEC，
∴△AED≌△FEC．
∴∠ADE=∠CFE．
∴AD∥FC．
∵D是AB上一点，
∴AB∥CF
50．∵BE∥CF，
∴∠CMF=∠BME，∠FCM=∠EBM．
又∵BE=CF，
∴△CFM≌△BEM．
∴CM=BM．
即AM是△ABC的中线
51．∵AC⊥BC，BE⊥CD，
∴∠ACF+∠FCB=∠FCB+∠CBE=90°．
∴∠FCA=∠EBC．
∵∠BEC=∠CFA=90°，AC=BC，
∴△BEC≌△CFA．
∴CE=AF．
∴EF=CF﹣CE=CF﹣AF
52．
解：（1）证明：由题意可知，BD⊥MN与D，EC⊥MN与E，∠BAC=90°，
则△ABD与△CEA是直角三角形，∠DAB=∠ECA，
在△ABD与△CEA中，
∵
，
∴△ABD≌△CEA，
∴BD=AE；
（2）若将MN绕点A旋转，与BC相交于点O，
则BD，CE与MN垂直，
∴△ABD与△CEA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，
∴BD与AE边仍相等；
（3）∵△ABD≌△CEA，
∴BD=AE，AD=EC，
∴DE=BD+EC或DE=CE﹣BD或DE=BD﹣CE．
53．∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE分别为△ABC的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∴在△BEC和△CDB中
，
∴△BEC≌△CDB，
∴∠1=∠2，
∴OB=OC
54．
解：连接CD，
∵∠ACB=90°，D是AB边的中点
∴CD=AD，∠DAC=∠DCF
∵DE与CF平行且相等
∴∠EDA=∠DAC
∴∠EDA=∠DCF
在△AED和△CFD中
CD=AD，∠EDA=∠DCF，DE=CF
∴△AED≌△CFD
∴AE=DF．
55．∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE=DC
∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）
56．在△AEB与△ADC中，
．
∴△AEB≌△ADC（AAS）．
∴AB=AC（全等三角形，对应边相等）
57．（1）证明：在△BCE和△DCE中
∴△BCE≌△DCE（SSS）．
（2）解：∵AD=DE，
∴∠A=∠AED；
∴∠EDC=∠A+∠AED=2∠A，
设∠A=x，根据题意得，5x=180°，解得x=36°
∴∠EDC=2∠A=72°
58．
证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACF．
又AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE=∠FBE．
有BE=BE，
∴△BCE≌△BFE，
∴CE=EF，
∴CE=
BD，
∴BD=2CE．
59．（1）证明：在△ABD和△CDB中
∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠DBC，
∴DE∥BF．
∴∠E=∠F．
（2）答：当O是BD中点时，OE=OF．
证明如下：
∵O是BD中点，
∴OB=OD．
又∵∠ADB=∠DBC，∠E=∠F，
∴△ODE≌△OBF（AAS）．
∴OE=OF．
（当AE=CF时也可证得
60．∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°．
∵AD平分∠EAC，
∴DE=DF．
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
∴Rt△DBE≌Rt△CDF（HL）．
∴BE=CF．
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