培优提升分数的速算与巧算

培优提升分数的速算与巧算培优提升分数的速算与巧算第一讲分数的速算与巧算 (培优题) 一、裂项综合 (一)、“裂差”型运算 1ab,(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，ab， 1111那么有 ,,()abbaab，,(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即: 11，形式的，我们有: nnn，，，，(1)(2)nnnn，，，，，，(1)(2)(3) 1111,,[] nnnnnnn，，，，，，，，(1)(2)2(1)(1)(2) 1111,,[] nnnnnnnnn...

培优提升分数的速算与巧算第一讲分数的速算与巧算 (培优题) 一、裂项综合 (一)、“裂差”型运算 1ab,(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，ab， 1111那么有 ,,()abbaab，,(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即: 11，形式的，我们有: nnn，，，，(1)(2)nnnn，，，，，，(1)(2)(3) 1111,,[] nnnnnnn，，，，，，，，(1)(2)2(1)(1)(2) 1111,,[] nnnnnnnnnn，，，，，，，，，，，，，，，(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 (二)、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: 2222ababab，abab，11) (2) (1,，,，,，,，abababba，，，abababba，，，裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项 1(1) 122334...(1)，，，，，，，,，nn,,，，，(1)(1)nnn3 1(2) 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)，，，，，，，，，，,，,，,,,，nnnnnnn4二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法(换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简( 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论: 纯循环小数混循环小数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字分子循环节中的数字所组成的数所组成的数的差按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0分母 n个9，其中n等于循环节所含的数字个数的左侧 ???????abca,abaabab10.abc,; ; ; ，„„ 0.a,0.ab,0.0ab,，,99099999109902、单位分数的拆分: 11111111111例:===== ，，，，，10，，，，，，，，，，，，，，，，2020 分析 :分数单位的拆分，主要方法是: 从分母N的约数中任意找出两个m和n,有: 11()mnmn，11,,， = ，NNmnNmnNmn()()()，，，AB本题10的约数有:1,10,2,5.。例如:选1和2，有: 11(12)1211，,,，,， 1010(12)10(12)10(12)3015，，，本题具体的解有: 111111111 ,，,，,，,，1011110126014351530例题精讲模块一、分数裂项 11111【例 1】，，，,,,，，123423453456678978910，，，，，，，，，，，，，，， 1111111,,,，,，,，，,？原式【解析】【解析】 ,,31232342343457898910，，，，，，，，，，，，,, 111119,,,，, ,,,31238910，，，，,,2160 333【巩固】【巩固】，，，......1234234517181920，，，，，，，，， 1111111原式【解析】【解析】 ,，，,，,，，,3[(...)]3123234234345171819181920，，，，，，，，，，，， 113192011139，，, ,,,,1231819201819206840，，，，，， 5719【例 2】计算: ( ，，，,？1232348910，，，，，，如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目(但是本题中分子不【解析】【解析】相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2(相比较于2，4，6，„„这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以nn 可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算( 3234316，，，原式 ,，，，？1232348910，，，，，， 111128,,,,,，，，，，，，，，32？？ ,,,,12323489101232348910，，，，，，，，，，，，,,,, 1111111111,,,,,，，,，,，，,，，，，，32？？,,,,212232334899102334910，，，，，，，，，,,,, 311111111,,,,,，,，，,，,，，,2？ ,,,,2129102334910，，,,,, 3111171123,,,,,，,，，,2 ,,,,,,,,229021015,,,,4605 23n，也可以直接进行通项归纳(根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以 2323n，,，，再将每一项的nnnnnnnn，，，，，，，，，，，121212，，，，，，，，，，，， 23与分别加在一起进行裂项(后面的过程与前面的方法相nn，，，12nnn，，，，12，，，，，，，，同(

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