二次根式

第十六章 二次根式 第一节 二次根式 【知识要点】 1.二次根式 代数式叫做二次根式。读作“根号”，其中叫被开方数. aaaa(0), 2.二次根式有意义 a,0有意义的条件是 a 3(二次根式的性质 2aaa,,(0) 性质一 2 性质二 ()(0)aaa,, ababa0,b0,,,, 性质三 ，， aa 性质四 ,,,(0,0)abbb 4.最简二次根式 在化简后的二次根式里: (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数中不含分母. 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 5.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二 次根式. 【学习目标】 1.掌握二次根式有意义的条件及性质. 2.掌握最简二次根式及同类二次根式. 【典型例题】 1.二次根式的判定 【例1】 下列式子中哪些是二次根式, 51223,，x38,1,, ,2,, ,3,, ,4,, ,5,(),, ,263 2,6,, ,7,xx，，23, ,8,, 1(1),,xx,,2(0)aa 12,x,9,, ,10, 2(1)x， 【答案】,1,、,3,、,5,、,7,、,8,是二次根式. 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】 二次根式要求根指数为2，所以(4)就不是二次根式，同时二次根式的被开方数 x,,1必须是非负数，所以(2)、(6)显然不是，(9)中只有当x，,10即时， x,0才是二次根式，(10)中只有当时，才是二次根式. 2.二次根式有意义的条件 【例2】当实数取何值时，下列各式有意义, x 2,1,, ,2,, ,3,, 21x,xx，,(2)x, x，5132,x,4,, ,5,, ,6,。 x，1,264x， 1x,0x,,5【答案】 (1); (2)取任何实数; (3); (4); xx,2 32x,,1 (5) 且; (6)。 x,x,,23 11210x,,【分析】(1)由，得，所以当时，有意义; x,x,21x,22 22(2)0x,,(2)无论x取什么实数，都有，所以当x取任何实数时，都有意义; (2)x, x,0,,x0x,0x,0(3)由，且，得，所以当时，有意义; xx，, x，5x，5x,,5x,,5x，,50(4)由，即，得，所以当时，有意义; ,0,2,2 32,x33x,,1x,,1320,,xx，,10(5)由且，得且，所以当且时，有x,x,x，122 意义; 1221640x，,640x，,(6)由且，即，得，所以当时，x,,x,,,03364x，64x， 有意义; 3.二次根式的化简 【例3】化简下列二次根式; 22,1,, ,2, , (722),,,(7) 1113,3,, ,4,。 ，,,(0,0)ab12(0)xyy,22xab 22ab，,7,23xy【答案】(1);(2); (3); (4) 227,ab 【解答】(1)原式; ,,,,,,,,, (2)原式; ,,,,,,,72227 3x,0 (3)由且，得，所以 120xy,y,0 2x122,,,, 原式= 3xy3xy2xxx ,2x ; ,,,323xyxyx a,,b,0ab,0 (4)由且，得，所以 222222baabab，，， 原式。 ,,,22abab,,ab 【例4】下列根式中哪些是最简二次根式, 1ab(1)15; (2); (3); (4); 0.125122 ab3222(5); (6); (7) 3xy49xy，2 【答案】(1)、(5)、(7)是最简二次根式. 23211223,，【解析】因为与它们的被开方数中各因式的指数不都是，所以 3xy (2)、(6)不是最简二次根式. 11ab 因为与，它们的被开方数含有分母，所以(3)、(4)不是最0.125,28 简二次根式. 4.同类二次根式的判定 【例5】下列各式中，哪些是同类二次根式, 111(1); (2); (3); (4); (5); 753224858 2222288(0,0)xxyyxy，，,,6); (7); (8)。 (456(0,0)xyxy,, 1215【答案】 (1); (2); (3); ,7553,,8455 1232,(4); (5); (6); 2426,4535,82 (7)因为，所以，于是 xy,,0,0xy，,,2 2222882(2)22xxyyxyxy，，,，,,，, ; ,，(2)2xy (8)因为，所以，于是 xy,0xy,,0,0 22666xyxyxy,,,,, 。 因此(1)、(5)、(7)是同类二次根式;(3)、(6)是同类二次根式;(4)、(8)是同类二次 根式. 【基础训练】 22a,(a)1(成立的条件是_______________. 1x,3，2(当x________时，式子有意义. 5,x 22aa3(当a________时，;当a________时，. ,1,,1aa x，14.代数式 中，字母x的取值范围是 ___________. x,1 22x,2，x,5,2,x,55.若 ，则_____________. ，，，， m2n6(若m,0，化简=____________. n 100201a,1，b，1,07.若 ，则 _____________. ,,ab 8(下列各式中，是最简二次根式的是( ) 2222ab A. B. C.a，b D. 183 x,11x,9.式子成立的x取值范围为 , xx A(x,0 B( C(x,1 D(x取任意实数 xx,,10且 10.下列各组式子中，同类二次根式的是( ). 327bb3a22 A.b和bc B. 和3a3a1632a 412ba3443 C.和 D. 和abab33a2b m12mm，6m,5m11(的值( ). 4m A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负 212.x,y，那么化简为( ). y,x,(x,y) A.0 B.2y C.,2x D.2y,2x 13.化简下列各式:(此题中的字母均为正数) 225()xy,422234xxy，(1) (2) (3) 9abc()xy,,0 48()xy， 345b21,2(4) (5) (6) 4255049a 【能力提高】 111y,x,，,x，1.化简并计算:己知x,y为实数,且,求:222 2 的值. 5x，2y,1,,2y，1y 33a，2b，4a，b2.己知 与 是同类根式，求 的值. 4a，3b2a,b，6，， 223x,2y，4，x，2y，12,03.已知，求的值. x，y 4.在实数范围内分解因式 432(1)4x – 1 (2)x-x-2x+2 第二节 二次根式的运算 【知识要点】 1.二次根式的加减法 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并. 2(二次根式的乘除法 二次根式的乘法:两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变. 二次根式的除法:两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变. 3(分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 4. 有理化因式 两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个含有二次根 式的代数式互为有理化因式. 5(二次根式的混合运算 在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运算性质 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 都实用. 【学习目标】 1.会进行二次根式的四则混合运算. 2.会应用整式的运算法则进行二次根式的运算. 【典型例题】 1.二次根式的四则混合运算 【例1】计算: 11 (1); (2); 351，32818,，33 11()(4.50.75),,, (3); 23 141【答案】(1); (2) (3); 352,，2336 【解析】(1)原式; ,,，,42223252 16416343，， (2)原式 ,，3,，3333333，， 42 ,，，33333 2 ,，4333 214 = (4)33，,33 1193,,,,()() (3)原式 2324 1131 ,,,，23232322 1 ; ,,，236 【例2】计算: 2362(3.75)2.8(2),，，,(1); 3453 a,0(2)(其中); 610abbc, 15ac6,7【答案】(1); (2) 5c5 23615148,，，，，()【解析】(1)原式 345453 36 ; ,,28755 b,0c,,a,0 (2)因为，所以由根式6ab可知，再由根式10bc可知 . 6ab3a3a5c15ac15ac, 原式= ,,,,,10bc5c5c5c5ac5c, 2.分母有理化 【例3】把下列各式分母有理化: 1a,1(1); (2)。 18a,1 2a,1【答案】(1); (2)。 6 222【解析】(1)原式= ,,618236, 2(1)a, (2)原式。 ,,,a1 a,1 【例4】 计算: 11a,4, (1); (2); 2，a332, 3abab(), (3); (4)。 5326，abba, 435326,，2【答案】(1); (2); (3); (4)。 a,2ab，317 332，【解析】(1)原式 = , 333232,,，()() 332， ,,334, 343 ; ,，，,，32233 (4)(2)aa,, (2)原式 , (2)(2)，,aa (4)(2)aa,,, 4,a = ; a,2 3(5326), (3)原式 , (5326)(5326)，, 3(5326), ,7524, 5326,, ; 17 abab(), (4)原式 , abab(), ab,, ab, ()()abab，, , ab, ,，ab 【例5】计算: 10111) (,()()154154,， (2); (532)(1563),,，， baba(3); ，，,,2abab 【答案】(1); (2); (3); 154，,620 1010【解析】(1)原式 ,,，，(154)(154)(154) 10 ,,，，[(154)(154)](154) 10 ,,，(1516)(154) =; 154， (2)原式 ,,,，，3(532)(523) ,,，，，3[5(32)][5(32)] 2 ,,，3[5(32)] ,,，，3[5(3262)] ; ,,,,3(26)62 (3)解法一: 22abababab，，2 原式 ,,,22abab ()abababab，,,, abab ()ababbabaab，,, ,,0ab 解法二: baba2 原式,，,,() abab baba,，,,,0 abab 3.二次根式比较大小的常见方法 (1)平方法: 平方法比较两数、的大小时， ab 22ab,当时，如果，那么; ab,,0,0ab, 22ab,如果，那么。 ab, 22ab,当时，如果，那么; ab,,0,0ab, 22ab,如果，那么 ab,; (2)作差法: ab,ab,,0ab,,0 作差法比较两数a、的大小时，如果，那么;如果，那么 b ab, (3)作商法: 作商法比较两数a、的大小时， b aaab,ab,,1,1当时，如果，则;如果，则 ab,,0,0;bb aaab,ab,,1,1当时，如果，则;如果，则 ab,,0,0;bb(4)倒数法(分子有理化法) a倒数法比较两数、的大小时， b 1111ab,ab,,当时，如果，则;如果，则, ab,,0,0;abab 11aab,ab,,1当时，如果，则;如果，则,ab,,0,0; bab 【例6】 比较下来各式的大小: 23(1)与; (2)与; 811，613，57，58， 1(3)与; (4)与。 32,1915,1511, 23 【答案】(1); (2); (3); (4)。 ,,,,【解析】第(1)题可以用“平方法“比较，第(2)题可用“作差法”比较，第(3)题 可 用“作商法”比较，第(4)题可用“分子有理化法”比较. 4.一类特殊的二次根式求和问题 用拆项相消的技巧往往使某些求和问题运算比较简便. 【基础训练】 11.计算:___________. 12,,3 11,75，102.计算:=___________. 503，2 3257，,945，,3.计算: ， . 723 23,,4.计算: ， . 3032,，,714 ,,mn22baa,,b5.计算: ，mn,，, . ,, abnm,, 3,6.计算: ， . 1553,,,，，23, 21,7.分母有理化: ; . ,72311, 1 220454,，,8.计算: . 5 9.的倒数为______________ 3,2 x,10.若，y是x的有理化因式则y= ，则xy, ， . x,,53y 11.下列各式运算结果正确的是( ) 114 A( B( ,，,,，,16()16233363，, 25255 2222 C( D( xyxyxy，,，,，512562525?,,,,, 12.下列各式化简结果正确的是( ) 1 A( B( ,，,,，2141aa42aa,, 2 11a34,3,3,a C( D( 4222 ab12，13.根式化简结果正确的是( ) 3x 42 A( B( C(3abx D( 4ab363xxab43abxx 2314.的计算结果正确的是( ) ，，3，,945 34 3,90 A( B( C( D( ,453,27154534 15.的倒数是( ) 56, A( B( C( D( ,，56,,6556,56， 716.设的小数部分为b ,那么 (4+b)b 的值是( ) ,., ,.是一个有理数; ,. , ,.无法确定。 221,2312111248,31，48,75,，17. 18. ，，3332,12，33 2219. ,25，5225,52，，，， ,,11120. 251，,，，，，，,,12231920，，，,, 【能力提高】 2212y，y,x,xyxx,y,1.化简与计算:己知 ， 求的值. 222，13，1，2x,2y,yx 11xy22，，，，2.已知x,5，3，y,5,3,求和的值. x,xy，y，22yx 3,23，2x,,y,3.已知，求下列各式的值. 3，23,2 22x,3xy，2y33 ?x，y;? x,2y 二次根式单元测试题 (时间100分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 11122231.在根式、a,b、、6、中，最简二次根式有( ) 2ab15ab3a-ba A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在下列各式的化简中，化简正确的有( ) 3a?,a ?5x-,4x axxx 3aa1?6a, ?+,10 62ab242b6b A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知二条线段的长分别为cm、3cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线 2 段的长是( ) A.1cm B.5cm C.5cm D.1cm或5cm 2aa， 4.a,0，化简:的结果是 ( ) 2a A.1 B.-1 C.0 D.2a 5，225,225.?的积为( ) A.1 B.17 C. D. 1721 2n，162n，34abab6.a,0，b,0时，n是正整数，计算:-的结果是( ) 3nn+122n，14ab A.(b-a) B.(ab-ab)a n3n+13222n，1a C.(b-ab) D.(ab+ab)a 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7.a-b的有理化因式是________. m，n8.当m,n时，化简:(m-n)?,________. m-n 22m-2m，14m，4m，19.已知-2,m,-1，化简:-,________. 4m，22m,2 2(a，b)a，b10.当a,-b,1时，化简:?的结果为________. 2b，1(b，1) 3221011.?,________. (,)0.0256,(0.5)3 12.计算:(a+2+b)?(+)-(-),________. abbaab b,,bxyba222,,x,ab，13.化简:?xy (a,0，b,0),________. a,,aaab,, 14.若菱形两对角线长分别为(2+3)和(2-3)，则菱形面积,________. 5522 baab2a15.已知b,0，化简:--+,________. ，，2baab (5,26)(3，2)16.,________. 2,3 222001200117.计算, ;, 。 (3,32),(3，32)(4,15),(4，15) 18.比较大小: ; . 566513,217,6 三(解答题:(本大题共七题，满分78分) 19.(本题满分为10分) 11 计算:6?(+)+ 50 32 20(本题满分10分) yx1 化简:3xy，2x,y,xy (x>0,y>0) xyxy 21(本题满分10分) 2111,,,,x, 已知，求的值。 x，，2x，，2,,,,xx3,2,,,, 22.(本题满分10分) 1111，，，,,,， 计算: 1，22，33，499，100 23((本题满分12分) 221a,a,a，121a,先化简，再求值:，其中 ,2a,a,a12，3 24((本题满分12分) 122 设x、y是实数，且x+y-2x+4y+5,0，求. 12(2x，3y)2 25((本题满分14分) 1x,a， 已知()， 0,a,1 a 22x，x,6x，3x,2，x,4x 求代数式,,的值。 22xx,2xx,2,x,4x 第十七章 一元二次方程 第一节 一元二次方程的概念 【知识要点】 1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。其实质是: ? 整式方程;?只含有一个未知数;?未知数的最高次数是2. 其中“未知数的最高次数是2”是指在合并同类项之后而言的. 2.一元二次方程的一般式 22 一元二次方程的一般式，其中叫做二次项，a为二次项系数; axbxca，，,,0(0)ax 叫做一次项，是一次项系数;c叫做常数项。任何一个一元二次方程都可以化成一bxb 般形式. 3.二次项系数含有字母的一元二次方程 二次项系数含有字母的方程是否是一元二次方程，需要对二次项系数进行讨论，要保证未 知数的最高次数2，只需要二次项系数不为 0 4(对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断未知数的一个值是不是这个方程的根. 5(特殊根的一元二次方程的系数和常数项的特征 1,1 依据方程的根的意义，找出如果一元二次方程有一个根为、或的一元二次方程的系 0 2c,0数和常数项的特征。如一元二次方程，当时，有一根为 (0)a,0axbxc，，,0.【知识要点】 5.掌握一元二次方程的概念. 6.一元二次方程的一般形式，能找出方程中各项的系数. 【典型例题】 1.一元二次方程的判定 【例1】判断下列方程哪些是一元二次方程 22 (1) (2) 363xx，,x,,03x 22 (3) (4) 40xy,,,,x0 2 (5) xxxxx(51)(3)4,,，， 【分析】本题是概念判断题，要牢记符合一元二次方程应满足的条件. 2 【解答】(1)移项得: 3360xx,，, 是一元二次方程 ？ 2 (2) x,,03x 方程分母含有未知数，不是整式方程 它不是一元二次方程 ？ 2(3) 41xy,, 方程中含有两个未知数 它不是一元二次方程 ？ 2(4) ,,x0 符合一元二次方程的条件 它是一元二次方程 ？ 222(5)整理得: 534xxxxx,,，， 40x, 移项、合并得: 二次项系数合并后为，未知数最高次数为1 0 ？它不是一元二次方程。 【注意】 判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理，然后再根据条件: ? 整式方程 ? 只含有一个未知数 ? 未知数最高次数为2 只有当这三个条件全部满足时，才能判断为一元二次方程. 2.一元二次方程的一般式及各项系数的求法 【例2】把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数 22(1) (2) (51)30x,,,23xx, 22(3) (4)是已知数 (45)(21)mmm,，,30(xaxbab,，,、) 【分析】方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式的前提下而言的. 所以解此题的关键是准确把方程化简为一元二次方程的一般形式. 22【解答】(1)移项，得方程的一般形式: 可知，方程中的二次项是， 230xx,,2x 33x二次项系数是2;一次项是，一次项系数是; 常数项是 0 22 (2)整理，得方程的一般形式:可知，方程中的二次项是， 二25x251020xx,,, ,10,2,10x次项系数是;一次项是，一次项系数是;常数项是 25 22 (3)整理，得方程的一般形式:可知，方程中的二次项是， 二7m7650mm,,, ,6m次项系数是;一次项是，一次项系数是;常数项是。 7,6,5 22 (4)方程的一般式为:30(xaxbab,，,、是已知数可知，方程中的二次项是， )3x 二次项系数是;一次项是，一次项系数是;常数项是 ,ax,a3b 【点评】 要认真区别方程的各项与各项的系数。特别要小心当某项的系数为负数时，指出 各项时千万不要丢负号。对于字母系数方程的整理，应先明确其未知数，再确定各 项系数 . 22】当为何值时，关于的方程是一元二次方程, 【例3xmmxxxmx,,,，31 2a,0【分析】在一元二次方程中，是一元二次方程的必要条件否则它 axbxca，，,(0) 就不是一元二次方程. 2【解答】移项、合并同类项得: (1)(3)10mxmx,，,,, m,1 当m,,10即时方程为一元二次方程。 【点评】要先把方程整理为一般式，然后再确定二次项的系数的条件. 3.一元二次方程根的判别 2】判断3, -4 是不是一元二次方程的根. 【例4212xxx,,， 342、、,【分析】能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的根。所以只需把代 入原方程检验方程左右两边的值是否相等. 2x,3【解答】把分别代入方程的左右两边，得 212xxx,,， 2 坐左边的值为 23315，,, 12315，, 右边的值为 2x,3 因为 方程左右两边的值相等，所以是这个一元二次方程的根. 212xxx,,， 2x,,4 把分别代入方程的左右两边，得 212xxx,,， 2 坐左边的值为 2(4)36，，,,，,,, 右边的值为 12(4)8，,, 2x,,4 因为 方程左右两边的值不相等，所以不是这个一元二次方程的根. 212xxx,,， 【点评】 从这个一元二次方程看到，它的根的个数与一元一次方程是不同的. 1【例5】在下了方程中，哪些方程有一个根为,哪些方程有一个根为,哪些方程有一 个 0 ,1根为, 22(1) (2) 320xx,,50xx，, 22(3) (4) xx，,,23061370xx,，, 22(5) (6) xx，，,6503250xx,,, ,101、【分析】根据方程的根的意义，分别把或代入原方程即可. 【解答】根据方程根的意义，可知方程(1)、(2)有一个根为;方程(3)、(4)有一个根 0 1,1为;方程(5)、(6)有一个根为 . 【点评】有一个根为0、1或-1的一元二次方程的系数和常数的特征是:如果常数项为0， 则有一根为0;如果二次项系数与一次项系数的和等于常数项的相反数，则有一根 为1;如果二次项系数与常数项的和等于一次项系数，则有一根为-1. 2mm,，58【例6】方程 (2)(3)50mxmx,，,，, (1)取何值时，是一元二次方程,并求出此方程的解; m (2)取何值时，方程是一元一次方程, m 【分析】解此题的关键是对一元二次方程和一元一次方程电脑概念的理解，不仅要对未知数 的系数讨论，还应注意未知数的最高次.. 2m,,,2【解答】(1)当且时，方程为一元二次方程. mm,，,582 2 由 mm,，,582 解得 mm,,2,312 m,2m,,,2 又得 ？,m3时方程为一元二次方程。 2m,3 将代入原方程， 得方程无实数解. x，,50 m,2m,,20m,,30 (2)由得，且这时方程为一元一次方程. 22时，和均无解 )(20m,,mm,，,581mm,，,580 【点评】此题应注意对x项的指数与系数的讨论. 222x,1【例7】已知是方程的根，化简mmmm,，,,，6912 xmx,，,10. 2x,1【分析】可将方程的跟代入方程，求出m的值，再代入已知代数式化 xmx,，,10 简之. 2x,1【解答】将代入方程 xmx,，,10 2 得 ,,，,m1101, 解得m=2 22？mmmm,，,,，6912 ,,,110 【点评】方程的根就是能够使方程左右两边值相等的未知数的值，所以我们可以把它代入到 原方程中，从而求出方程中其他字母的值. 【基础训练】 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) 22 A.(a-3)x=8 (a?3) B.ax+bx+c=0 32 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 320xx，,,57 2.下列方程中,常数项为零的是( ) 2222 A.x+x=1 B.2x-x-12=12; C.2(x-1)=3(x-1) D.2(x+1)=x+2 3.把方程化成一般式，则、、的值分别是( ) acx(x，2),5(x,2)b A. B. C. D. 1,3,21,,3,101,7,,101,,5,12 24.如果是一元二次方程，则 ( ) (m，3)x,mx，1,0 m,,3且m,0 A.m,,3 B.m,3 C.m,0 D. 225.关于的一元二次方程有一根为，则的值 x(m,1)x，x，m,1,0m0( ) 11,11,1 A. B. C. 或 D. 2 226( 关于的一元二次方程的一个根为2，则的值是( ) xa2x,3x,a，1,0 1 A. B. C. ,3 D. ,3 7.方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 . 2m-78.关于x的方程(m,3)x,x=5是一元二次方程，则m=_________. 229.关于x的方程(m,16)x+(m+4)x+2m+3=0是一元一次方程，则m= . 10.写一个一元二次方程，使它的二次项系数是,3，一次项系数是2: . 211.若,1是方程x+bx,5=0的一个根，则b=_________. 212.已知方程ax+bx+c=0的一个根是,1，则a,b+c=___________. 2(1)10mxmx,，,,13.若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_________. 22214.若一元二次方程(m,2)x+3(m+15)x+m,4=0的常数项是0，则m为___________. 2215.如果x,4是一元二次方程的一个根，那么常数a的值是_________. x,3x,a 16(把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数 222(1)(x+3)(x-2)=x+5 (2)2(x-1)=3(x-1) (3) (2x,5),(x，4),0 2217.已知函数，当x,1时，, 求的值. ay,2x,ax,ay,0 22x+(+1)x-2=0，求m-3x+2的值( 18.已知m,11,m 23219.若3x-x-1=0，求6x+7x-5x+2005的值( 2220.已知方程3ax-bx-1=0和ax+2bx-5=0,有共同的根-1,求a,b的值. 第二节 一元二次方程的解法(1) 【知识要点】 一(一元二次方程的解法 1.开平方法 方程左边是喊未知数的完全平方式，右边是非负数常数形式，可用开平方法求解. 2.因式分解法 一元二次方程的一边是0，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以先考虑用因式分 解 法求解. 3.配方法 2为了能用开平方法解一般形式的一元二次方程，必须将方程形为axbcca，，,,0(0) 2的形式。配方法的步骤是:?把二次项系数化为1;?移项，方程的一边为二()xmn，, 次项和一次项，另一边为常数项;?方程两边同时加上一次项系数一半的平方;?将原方程 2变形为的形式. ()xmn，, 二(一元二次方程解法的运用及其思想方法 配方法对所有的一元二次方程都适用，开平方法和因式法只对具备相应特征的方程才适用.我们在解一元二次方程时一定要根据具体问题选择恰当的方法，从而使解题过程准确、简捷.一般情况下: 2(1)形如的一元二次方程用开平方法或因式分解法(平方差公式)解; axcac，,,0(0) 2(2)形如的一元二次方程用因式分解法(提取公因式法)来解; axbxab，,,0(0) 2(3)形如的一元二次方程用因式分解法(十字相乘法)来解. axbxcabc，，,,0(0) 【学习目标】 第十七章 学会直接开平方法，因式分解法解一元二次方程. 第十八章 掌握配方法解方程及配方法的技巧. 【典型例题】 【例1】用开平方法解下列方程 22(1) (2) 3(1)27x,,42560x,, 222(3) (4) (12)9,,x(21)(3)yy，,, 【分析】用开平方法解方程，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数 常数的形式，再根据平方的定义求解。另外，“整体”思想在解方程时还是十分有 用的. 2【解答】(1)移项得: 4256x, 2 将方程各项都除以4得: xx,？,,6464 所以，原方程的根是xx,,,8,8 12 23(2)将方程两边同时除以得:(1)9x,, 2 即 (1)313xx,,？,,, xx,，,,13,13 所以原方程的根是。 12 x,,1x,2 (3) 利用开平方法，得123,,x或123,,,x解得或 所以，原方程的根是 xx,,,1,212 (4)利用开平方法，得或 213yy，,,211(3)yy，,,, 2 解得y,或 y,,43 2 所以原方程的根是: yy,,,,4123 【点评】对于第(2)题无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过注意二次根 式的简化，而第(3)、(4)是利用“整体”思想解方程. 【例2】 用因式分解解下列方程 (1) (2) (3)(1)12xx，,,2(13)5(31)xxx,,, 22(3) (21)3(1)0xx，,，, 【分析】因式分解法的依据是如果两个两个因式的积等于零，那么这 两个因式中至少有一 个等于零;反之也同样成立，由此可得方程的根。所以可以把方程等号一边化为零， 另一边分解成两个一次因式的积的形式而求出方程的解. 2【解答】(1)原方程可变形为 xx，,215 x，,50x,,30 把方程左边分解因式，方程可化为 得或 (5)(3)0xx，,, 解得 xx,,,5,312 所以原方程的解为。 xx,,,5,312 2(13)5(31)0xxx,,,,(2) 原方程可变形为 130,,x250x，, 把方程左边分解因式，方程可化为得或 (25)(13)0xx，,, 15 解得或 x,,x,23 51 所以原方程的根是 xx,,,,1223 22(3) 原方程可变形为 (21)[3(1)]0xx，,，, 把方程左边分解因式，方程可化为 [(21)(33)][(21)(33)0xxxx，，，，,，, 得(23)130，，，,x或(23)130,，,,x 解得或 x,,13x,，13 xx,,,，13,13 所以原方程的根是12 【点评】在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意把方程整理为一般式，如果左边的 代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都 为零得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解 了. 【例3】用配方法解方程 22 (1) (2) xx，,,8903830xx，,, 【分析】对于二次项系数是1的方程，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平凡即可完 成配方。对于二次项系数部不为1，则先将方程各项同时除以二次项系数后，再配方. 2【解答】(1)移项，得 xx，,89 222两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 xx，，,，8494 2 即 (4)25x，, x，,,45x，,45x，,,45 开平方，得 即或 所以原方程的根为 xx,,,1,912 8822(2) 两边同时除以3，得移项，得 xx，,,10xx，,133 方程;两边都加上一次项系数的一半的平方，得 844222 xx，，,，()1()333 4522 ()()x，,33 45 即 x，,,33 1 所以，原方程的解为。 xx,,,,3123 【点评】“方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步，是配方法的关键。“将 二次项系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提. 【例5】 用适当的方法解下列方程 122(1) (2) 250x,,522(1)()xxxx，,,,,2 2(2)(41)(1)(2)xxxx,，,,, (3)(用配方法) (4) 3740xx,，, 【分析】此题是解一元二次方程的四种方法的综合运用，在解题时，一定要根据具体问题选 择恰当方法，从而使解题过程准确、简捷. 2【解答】(1)移项，得 25x, 52 方程两边都除以2，得 x,2 5 解这个方程，得 x,,2 10x,, 即 2 1010所以，原方程的根是 xx,,,,1222 2(2)展开，整理，得 40xx，, x,0410x，, 方程可变形为 或 xx(41)0，, 1 所以，原方程的根是 xx,,,0,124 2(3)移项，得 374xx,, 742 方程两边同时除以3，得 xx,,,33 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，得 7747712222 xxx,，,,,，,,,,()()()3636636 71 解这个方程得: x,,,66 4 所以，原方程的根是 xx,,,1123 (2)(41)(1)(2)0xxxx,，,,,,(4)移项，得 (2)[(41)(1)]0xxx,，,,, 提取公因式，得 整理，得 (2)(33)0xx,，, x,,20320x，,或 2 所以，原方程的根是xx,,,2,123 【点评】当一元二次方程本身特性不明显时，需要先将方程化为一般形式 2b,0，若，异号时，可用开平方法求解，如题(1)。若axbxca，，,,0(0)ac、 时，可用因式法求解，如题(2)。式法求解，配方法做为一种重要的数学abc,,,0,0,0 方法，也应掌握，如题(3)。而有一些一元二次方程有较明显的特征时，不一定都要化成一 (2)(41)(1)(2)xxxx,，,,,般式，如题(4)。方程不必展开整理成一般式，因为方程两 (2)[(41)(1)]0xxx,，,,,边都有，移项后提取公因式，得，用因式分解法求解，)(2x, 2得，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边同时除以，这回丢(2)x,xx,,,2,123 x,2掉一个根。也就是方程两边不能同时除以含有未知数的整式. 【基础训练】 221.方程的根是 ，方程的根是 . (x,5),36,02x,x,0 2x,,x,2.方程的两根为. (2x,3),5(2x,3)12 2x，73(已知与的值相等，则的值是 . xx,2x,3 2pp2222x,___，,(x,)4((1)，(2) x，6x，9,(x，___)42 x225.已知6x+xy-2y=0，则的值为________( y 6.一个两位数的个位数字与十位数字的平方和等于29，且个位数字与十位数字之和为7，则 这个两位数为_______( 227.在实数范围内定义一种运算“,”，其 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 为a,b=a-b,根据这个规则，方程(x+2) ,5=0 的解为 . 28.若一个等腰三角形的两边长是方程的两根，则这个三角形的周长是____. xx,，,6802 9.若x,kx+4满足完全平方公式，则k= . 210.用配方法解方程时，原方程应变形为( ) xx,,,250 2222A. B. C. D. x，,16x,,16x，,29x,,29，，，，，，，， 11.下列方程适合用分解因式解法解的是( ) 222 A(x-3x+2=0 B(2x=x+4 C((x-1)(x+2)=70 D(x-11x-10=0 2 2 12.关于的方程有实数根，则整数的最大值是( ) x(6)860axx,,，,a A.6 B.7 C.8 D.9 13.已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是( ) A. ?5 B.5 C.4 D.不能确定 214((直接开平方法) (x，2),25,0 215.(因式分解法) (x，2),10(x，2)，25,0 216. (配方法) xx,,,6180 22 17.解方程: 9(x-1)=4(x+1) 2 18. 解方程: 2y-7y-4=0 19. 解方程: (x+3)(x,1)=5 2x-27-=x20. 解方程: 42 22xxkk，，，,,423021(已知关于x的一元二次方程的一个根为0，求k的值和方程的另外一个根. 2x,3x,422(若分式的值为零，求的值. x|x,3|,1 223.对于二次三项式x-10x+36，小颖同学作出如下结论:无论x取什么实数，它的值一定大于零。你是否同意她的说法,说明你的理由. x，1224.已知关于x的方程x+kx-2=0的一个解与方程=3的解相同. x,12(1)求k的值;(2)求方程x+kx-2=0的另一个解. 第三节 公式法解一元二次方程 【知识要点】 1.一元二次方程的解法:公式法 2,,,bbac422一元二次方程求根公式。它对axbcca，，,,0(0)(40)bac,,x,2a 2于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。如:，化56xx, 2成一般式，得利用求根公式来求出方程的根. abc,,,,5,6,0560xx,, 2.公式法的运用及其思想方法 2公式法对所有的一元二次方程都适用，形如的一元二次方程用因axbxcabc，，,,0(0)式分解法(十字相乘法)或公式法来解. 3.一元二次方程根的判别式 22, 我们把叫做的根的判别式，用符号来表示。对于一元二axbxca，，,,,，0(bac,4 2次方程，其根的情况与判别式的关系是: axbxca，，,,,，0( 2当时，方程有两个不相等的实数根; ,,,,bac40 2当时，方程有两个相等的实数根; ,,,,bac40 2当时，方程没有实数根. ,,,,bac40 2特别的:当时，方程有两个实数根. ,,,,bac40 上述判断反过来说，也是正确的。即 2当方程有两个实数根时，; ,,,,bac40 2当方程有两个相等的实数根时，; ,,,,bac40 2当方程没有实数根时，; ,,,,bac40 4.一元二次方程的根的判别式的应用 2?不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式的,,,bac4 ,值，最后根据的符号来确定根的情况; ?根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程， 但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系 数(含字母)是否为零进行讨论; ?证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法 或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论. 5.利用根的判别式解题时的几点注意 ,?运用“”时必须把方程化为一般式; ,?不解方程判定方程的根的情况要由“;的符号判定; ?运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零; 【学习目标】 1.会用公式法解一元二次方程. 2.利用根的判别式确定根的情况. 【典型例题】 1.公式法解一元二次方程 【例1】用公式法解方程 22(1) (2) xx,,,7180274xx，, 222(3) (4)是已知数 yy,,,2(34)14xxkk,,,20() abc、、【分析】应用求根公式解一元二次方程，通常写成一般形式，并写出的数值以及 2计算的值. bac,4 【解答】(1)这里 abc,,,,,1,7,18 22 bac,,,,，，,,4(7)41(18)121 7121,？,x 21， x,9x,,2 即或 所以原方程的根为xx,,,9,2 12 2(2)移项，得 2740xx，,, abc,,,,274、、 这里 22 bac,,,，，,,4742(4)81 ,,,,78179？,,x 224， 1x,,4即或 x,2 1所以，原方程的解是 xx,,,,4122 2(3)把原方程化成一般式，得 yy,,,2360 这里 abc,,,,,1,23,6 22 bac,,,,，,，，,,，,,,4(23)4 2336, y,21， 即或 33,y,，33 yy,，,,33,33 所以原方程的根为12 2(4)这里 abck,,,,,1,2, 2222 backk,,,,，，,,，4(2)41()44 2244,，k ？,x21， 22xk,，，11xk,,，11即或 22xkxk,，，,,，11,11所以原方程的解是 12 【点评】用公式法解一元二次方程的一般步骤是:?把一元二次方程化成一般式;?确定 22abc、、的值;?求出的值(或代数式);?若，则可用求bac,4bac,,40 根公式求出方程的解，这样可以减少许多不必要的计算要求。另外，求根公式对于 任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程. 2.根的情况的判定 【例2】 不解方程，判别下列方程的根的情况 22(1) (2) 3226xx，,21150xx，,, (3) (1)(2)8xx,,,, 【分析】一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况 ,,abc、、时，要先把方程化为一般式，写出方程的，计算出的值，判断的符号. 2【解答】(1) 21150xx，,, abc,,,,2,11,5 22 ？,,,,,，，,,，,,bac41142(5)121401610,,,即 方程有两个不相等的实数根. ？ 2) (23226xx，, 2 将方程整理为一般式:32620xx,，, abc,,,,3,26,2 22 ,,,,,,，，,bac4(26)4320 ,,0即 ？方程有两个相等的实数根. (3) (1)(2)8xx,,,, 2将方程化为一般式: xx,，，,3280 22 ,,,,,,，，,,,,,bac4(3)4110940310abc,,,,1,3,10 ,,0即 ？方程没有实数根. 【点评】运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定 各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号. 2【例3】求证方程必有两个不相等的实数根. (1)310(0)mxmxmm,，，，,, 【分析】 欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m取任何实数，都有 ,,0即可. m,1【证明】 ？,,m10 x？此方程是关于的一元二次方程 2222 ,,,,，,,，,，(3)4(1)(1)94454mmmmmm 2m不论取任何不为1的值时都有 5m,, 2 ？,，,,m4 2 即 ,,，,540m ？方程必有两个不相等的实根. 【点评】证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式 的符号才有意义. 22【例4】 当为何值时，关于的方程 xm2(41)210xmm,，，,, (1) 有两个不相等的实根, (2) 有两个相等的实根, (3) 无实数根, 【分析】根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的 根本判别式的另一类典型运用。此题中二次项系数不含字母，则直接运用判别式可 求出字母系数的取值范围. 2222【解答】 ,,,，,，，,,，，，，,，,，[(41)]42(21)16241116889mmmmmm ,,0(1) 若方程欲有两个不相等的实根，只需 9890m，, 即 m,,8 9？当时，方程有两个不相等的实根 m,, 8 ,,0 (2)若方程欲有两个相等的实根，只需 9890m，, 即 m,,8 9？当时，方程有两个相等的实根 m,,8 ,,0(3)若方程无实根，只需 9890m，, 即 m,,8 9？当时，方程无实根 m,,8 【点评】:正确算出方程的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式. 122【例5】 已知关于xa的方程有实根，求的最大整数. xaxa,,，,(2)04 ,【分析】解此题时，首先要准确地计算出判别式的值或它的表达式，然后再分别根据题 目的要求，进行分析、判断，计算出正确答案. 12222【解答】 ,,,,,，，,,，,,,，[(2)]44444aaaaaa4 已知方程有实根 ？,,,，,440a a,1,，,440a 即 解出。 a,1a,1 由于，所以满足条件的最大整数是 ,,0【点评】一元二次方程有实根，包括有不等两根或相等两根的情况，所以。同时要注 意解不等式时的变不变号的问题. 222x【例6】 解关于的方程 201130(0)mxmxnm，,,, 【分析】字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较 简单的解法. (5)(43)0mxnmxn,，,【解答一】原方程可变形为 50mxn,, 或430mxn，, n3nm,0 因为，所以或 x,x,,5m4m nn3 所以，原方程的根为。 xx,,,.1254mm 22【解答二】这里 ambmncn,,,,20,11,3 222222 bacmnmnmn,,,，,，,,,4(11)42(3)3610 22,,,,113611119mnmnmnmnx,,m,, 又， 2222040，mm nn3 所以原方程的根是 xx,,,,1254mm 【点评】解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给车的条件，要 根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零. mxxxx(2)2(1)(1),，,，,【例7】 已知，试解关于x的方程 ,,,,m21 m,3m,1【分析】由，容易得到或，整理关于x的方程，得,,,,m21 2。题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此得对(1)230mxmx,,，, m,,10m,,,1二次项系数要进行讨论，当时，方程是一元一次方程;当时， 方程是一元二次方程。 【解答】由，得 ,,,,m21mmm,,,？,,21,3,112 2 整理原式，得 (1)230mxmx,,，, 3333，,2m,3 当，原方程为，解得xx,,, 2630xx,，,1222 32m,1 当，原方程为，解得x, ,，,230x2 3333，,m,3xx,,, 综上，当时，原方程的根是 1222 3m,1x, 当时，原方程的根是 2 忘记绝对值的运算法则;?解一元二次方程一般情况下先化为一般式，再确定解法. 2【例8】 解关于的方程 x()(42)50mnxmnxnm，，,，,, 【分析】此方程的字母没有任何限制，则为任何实数，所以次方程不一定是一二次方mn、 mn，,0mn，,0程，因此需分和，两种情况讨论. mn，,0420mn,,mn、,0【解答】(1)当且(即有)时，原方程可变为 (42)50mnxnm,，,, 5mn, 所以 x,42mn, amnbmnmcnm,，,,,,,425,mn，,0(2)当时，因为 222 所以 bacmnmnnmm,,,,，,,,4(42)4()(5)360 2(24)36(24)6nmmnmm,,,, x,,2()2()mnmn，， nm,5 所以 xx,,1,12mn， 【点评】通过此题，在加强练习公式法的基础上，渗透分类的思想. 2x【例9】 m取何值时，关于的方程有实数根, mxx,，,230 【分析】由于“解关于x的方程”与“解关于x的二次方程”是不同的，所以应注意区分 两种情况求解. mm,,0,0 3m,0,，,230x【解答】当时，原方程变为，此时方程有实数根x, 2 2m,0x 当时，是关于的一元二次方程. mxx,，,230 2 ,,,,，，,,(2)43412mm 1,,04120,,mm, 若要方程有实根，须， 即，解得 3 1m, 所以，综上所述，当时，原方程有实数根. 3 【点评】 在没有具体说明的情况下，应对字母系数进行讨论求解. 222222abc、、【例10】 已知是三角形的三边，求证:方程没有 bxbcaxc，，,，,()0 实数根. 22abc、、abc、、【分析】因为是三角形三边，均为正值，的系数，所以原方程xb,0 ,,0为一元二次方程。欲证方程无实根，只需证 证明:是三角形三边 abc、、 ？,,,abc0,0,0 2 ？,b0 方程为一元二次方程 ？ 22222 ,,，,,()4bcabc 222222 ,，,,，,，(2)(2)bcabcbcabc 2222 ,,,，,[()][()]bcabca ,,,,，，,，，()()()()bcabcabcabca abc、、为三角形的三边 ？,，,，,,，，,,,,bcbcabcabca0,0,0,0 ？,,0 ？原方程无实数根. abc、、【点评】 三角形的三边，均为正值，且在证明的过程中还要应用三角形中三边间 的关系为论证的依据. 【基础训练】 221.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取 xkxkx,，，,(21)10k 值范围是( ) 1111,,,k,0k,,k,0 A. , B. ,且 C. , D.且 kkk4444 22.已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x + 2cx + (a + b),0的根的情况是 ( ) A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 23.关于的方程有实数根，则整数的最大值是( ) x(6)860axx,,，,a A.6 B.7 C.8 D.9 24.关于x的方程的根的情况是( ) xkxk,，,,20 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 25.如果关于x的方程:有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____. 320xxk,，, 26.阅读材料:设一元二次方程ax+bx+c,0(a?0)的两根为x，x，则两根与方程系数之间12 bc2有如下关系:x+x,,，x?x,.根据该材料填空:已知x、x是方程x+6x+3121212aa xx21,0的两实数根，则+的值为 ( xx12 7.方程(x，2)(x,1)=0的解为 ( 2k,的方程有两个相等的实数根，那么 ( 8.如果关于xxxk,，,0 9.请你写出一个有一根为1的一元二次方程: ( 1210.当为何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根,此时这x,4x，m,,0mx2两个实数根是多少, 22222211.关于x的二次方程中系数a,b,c分别是?ABC的三边长，判+(+)x+-x=0aabbcx 别此方程根的情况。 22，,,，,,,mxxm60510和xx12.已知两个关于x的二次方程有且仅有一个相同的 实根。求(1)m的值;(2)两个方程相同的根;(3)两个方程不相同的根 第四节 一元二次方程的应用(1) 【知识要点】 一.二次三项式的因式分解 21(二次三项式在实数范围内的因式分解公式 axbxca，，,(0) 22 设是方程的两实根，则任何一个二次三项式均可 xx、axbxca，，,(0)axbxc，，12 2在实数范围内因式分解为，即=。 axxxx()(),,axxxx()(),,axbxc，，1212 22(二次三项式在实数范围内的分解因式 axbxca，，,(0) 22?当时，方程有两个不相等的实根xx、，axbxca，，,(0),,,,bac40122可分解为; axxxx()(),,axbxca，，,(0)12 222?当时，方程有两个相等的实根，axbxca，，,(0)axbxca，，,(0),,,,bac40 可分解为一个完全平方式; 222?当时，方程没有实根，在实数范axbxca，，,(0)axbxca，，,(0),,,,bac40 围内不能分解. 23(二次三项式在实数范围内的因式分解的一般步骤 axbxca，，,(0) 2xx、?求出方程的两个实根; axbxca，，,(0)12 2?写出分解式，注意分解式中的因数不要漏写. axxxx()(),,a,axbxc，，12 二.一元二次方程的实际应用 1(一元二次方程的应用的常见类型 ?与面积相关的几何问题。如:有长比宽多20米的矩形菜园一块，它的四周有宽1米的道 x路。已知道路的面积是164平方米，求此菜园的面积。可设菜园宽为米，则长为(20)x， (2)(22)(20)164xxxx，，,，,米，列方程，得。 ?有关增长率的问题。如:某工厂七月份生产值为100万元， 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 八、九两月的产值要达到 x114万元，如果每月增长率相同，求这个增长率。可设平均每月的增长率为，列出方程: 2 100(1)144，,x 2(列方程解应用题的几点注意 ?首先要多角度、全方位地理解题意，对关键词要细心揣摩，并注意发现题目中的隐含条件; ?选择适当未知数，列出方程; ?要抓住各类题型中的“基本量“及所具有的等量关系，并熟悉它们的变形。如增长率问题: 增长数增长数增长率=或增长率= 计划数原产量 【学习目标】 1.会列一元二次方程解应用题. 2.掌握解应用题的步骤与关键. 【典型例题】 1.实数范围内分解因式 【例1】在实数范围内分解因式: 222(1); (2) 342xxyy，,xx，，31 2242(3) (4) 243xyxy，,xx,,6 ,，,,35352【答案】 (1) ,,,()()xxxx，，3122 ,，,,21021022 (2),,,3()()xyxy; 342xxyy，,33 242 (3); ,，,，(2)(3)(3)xxxxx,,6 ,，,,21021022 (4)2432()()xyxyxyxy，,,,,。 22 22【解析】(1)对于方程，， xx，，,310,,,,,3450 ,，,,1515 所以该方程的两个实数根是xx,,,。 1222 ,，,,35352,,,()()xx 所以 xx，，3122. 22(2) 把方程看做是关于x的一元二次方程，则它的两个实数根是 3420xxyy，,, ,，,,210210 xyxy,,,1233 ,，,,21021022 所以 ,,,3()()xyxy342xxyy，,33 2242(3)易得 ,，,(2)(3)xxxx,,6 22对于方程，所以在实数范围内无解 x，,,,,,20,80x，222对于方程，所以 xx,,,30,3x,,3 242所以 ,，,，(2)(3)(3)xxxxx,,6 2xyt,(4)令，则方程的 2430tt，,, 2 ， ,,,，，,,,442(3)400 ,，,,210210所以该方程的两个实数根是 xx,,,1222 ,，,,2102102所以 2()()tt,,243tt，,,22 ,，,,21021022所以 2432()()xyxyxyxy，,,,,22 2.利用配方法求最值问题 22对一个二次三项式进行配方得， axbxcaxmk，，,，，() ka,0如果，那么当时，原式有最小值; xm,, ka,0如果，那么当时，原式有最大值 xm,, 204415【例2】某种时装，平均每天销售件，每件盈利元，若每件降价元，则每天可多售 1600件。(1)如果以较小的投资达到每天盈利的目的，每件可降价多少元, (2)如果要想盈利达到最大值，则每件可降价多少元, 420【答案】(1)元; (2)元. x【解析】(1)设每件可降低元，由题意得 (205)(44)1600，,,xx 2,，，,52008801600xx 2 xx,，,401440 (4)(36)0xx,,, 所以(舍去) xx,,4,3612 41600 答:如果每天要盈利元，则每件可降价元. (2)设每件可降低元，则每天的赢利为元. x(205)(44)，,xx 2因为 (205)(44)5200880，,,,，，xxxx 2 ,,,，,5(20)28802880x. x,202880所以当时，原式有最大值 202880答:当每件降价时，每天盈利达到最大值元. 【基础训练】 1.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少,若设平均每月增长的百分率是，则列出的方程是( ) x 2 A. B. ，，，，501，x，501，x,72，，501，x,72 2 C. D.，， 501，x,72，，501，x，2,72 2.用一块长80?、宽60?的矩形薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为?的小正方x 2形，然后做成底面积为1500?的没有盖的长方体盒子，为求出，根据题意列方程并整x理后得( ) 22A. B. x，70x,825,0x,70x，825,0 22C. D. x，70x，825,0x,70x,825,0 2mmxm,，，，2(2)(5)3.已知关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，则方x 2(mmxm,,，，,5)2(2)0程的实数根的个数是( ) x A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 4.五羊牌电视机连续两次降价20%后，再降价10%，或者连续两次降价25%，则前者的售价比后者的售价( ) A. 少2% B .不多也不少 C. 多5% D. 多2.4% 5.两个连续自然数的积是56，那么这两个自然数的和是_____________. 2xx，1x，36.直角三角形两条直角边长分别为，，斜边长为，那么=___________. x7.2003年10月15日，上证指数为1608点，到2003年10月17日上升为1622点，若平均 每日指数增长率为，则可列出方程为________________________. x 8.某厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年与上一年的增长率相同，那么这增长率是_______________. 9.梯形的下底比上底长3，高比上底短1，面积为26，如果设上底为，那么可列出的方程x ______________. 10.某小组每人给他人送一张照片，全组共送了90张，那么这小组共有_________人. 11.把棱长为30mm的正方体钢材锻压成半径为mm，高为100mm的圆柱形零件毛坯，那么可x 列出的方程是_________________________________. 12.一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位上的数字比个位上的数字大2，若设个位数字为，列出求这个两位数的方程__________________________. x 13.如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地( 2?怎样围才能使矩形场地的面积为750m? 墙 2?能否使所围矩形场地的面积为810m，为什么? D C A B 14.有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。如把十位上的数字和个位上的数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数，就得到1855。求原来的两位数. 15.益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(350,10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件,每件商品应定价多少, 16.某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价(元/件)符合一次函数，xy,kx，b且时，;时，;(1)写出销售单价的取值范围;(2)求出x,70x,80xy,50y,40 一次函数的解析式;(3)若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价wwxy,kx，b 之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少, 第五节 一元二次方程的应用2 【知识要点】 1.利率问题 利息本金利率期数 ，，, ,，，本息和本金利息本金(利率期数) ，，,, 2.数字问题 b表示三位数，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，我们可以用代数式acabc 10010abc，，10010abc，，表示它的值，即= abc 【典型例题】 1.利率问题 ,,【例1】小李在银行里存入万元。一年后，他全部取出并加了万后又存入银行。一年后， ,,,,,,,,共获得万元。如果每年的年利率相同，求年利率. ,,,,【答案】 【解析】 设年利率为x，由题意得 [1(1)2](1)3.100625,，，，,xx 2 整理得 xx，,40.100625 2 xx，，,444.100625 2 (2)4.100625x，, x，,,22.025 所以(不符合题意，舍去)。 xx,,,0.25,4.02512 答:年利率是2.5%。 2.数字问题 【例2 】(1)有一个两位数等于它各位数字积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个 两位数. (2)两个连续技术的积是323，求这两个数. 【答案】(1)24 (2)17,19或-19，-17 x,2【解析】(1)设这个两位数的个位数字是，则十位数字为，则这个两位数是 x ，根据题意得 10(2)xx,， 10(2)xx,，,,3(2)xx 2整理得 317200xx,，, (4)(35)0xx,,, 5所以 (不符合题意，舍去) xx,,4,123 x,,22所以 答:这个两位数是24 x，2(2)设其中一个较小的奇数为则另一个奇数为 x 根据题意得 xx(2)323，, 2方程整理得 xx，,2323 2 (1)324x，, x,,,118所以 即 xx,,,17,1912 19x,17所以当时，另一个奇数为; ,17x,,19当时，另一个奇数是 【拓展与提高】 1.可化为一元二次方程的分式方程的解法 可以通过在方程的两边乘以各分式分母的最简公分母，把分式方程转化成整式方程来求解。 因为在化成整式方程时可能产生增根，故对于整式方程根要代入最简公分母中进行检验，排 除增根. 180【例3 】甲、乙两地相距千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。小张骑车从甲 1314地到乙地用了个小时，而从乙地沿原路回甲地要用小时。已知自行车下坡比上坡每小 3时多行了千米，求小张骑车的上坡速度. 12【答案】千米/小时 【解析】设小张骑车的上坡速度是每小时行千米，则下坡速度是每小时行千米。x(3)x， 180180有题意得: ，,27xx，3 方程两边同时乘以，得 xx(3)， 180(3)18027(3)xxxx，，,， 2 整理，得 331600xx,,, (12)(35)0xx,，, 5解得(不符合题意，舍去) xx,,,12,123 x,12经检验，是原方程的解，且符合题意 12答:小张上坡每小时行千米. 【基础训练】 1.王明同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税，结果精确到0.0001) 2.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1) 2要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2) 2两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度;若不能，请说明理由. 3.A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少? 4.甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米( 5.某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时, 6.某公司需在一个月(31天)内完成新建办公楼的装修工程(如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成;如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成((1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数((2)如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元;如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元(在规定时间内:A(请甲队单独完成此项工程出(B请乙队单独完成此项工程;C(请甲、乙两队合作完成此项工程(以上三种 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 哪一种花钱最少, 7.如图所示，在?ABC中，?C,90?，AC,6cm，BC,8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. (1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使?PCQ的面积为8平方厘米, (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得?PCQ的面积等于?ABC的面积的一 半.若存在，求出运动的时间;若不存在，说明理由. B Q ACP www.czsx.com.cn 一元二次方程单元测试 (时间100分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 21.方程x+4x=2的正根为( ) A(2- B(2+6 C(-2-6 D(-2+6 6 22.方程x，2x,3,0的解是( ) A(x,1，x,3 B(x,1，x,,3 C(x,,1，x,3 D(x,,1，x,,3 12121212 23.已知x=1是一元二次方程x-2mx+1=0的一个解，则m的值是( ) A(1 B(0 C(0或1 D(0或-1 24.关于x的一元二次方程x，2kx,1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的同号实数根 B.有两个不相等的异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 222xx,,,5605.已知、是方程的两个根，则代数式的值( ) xxxx，1212 A(37 B(26 C(13 D(10 6.为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600 万元(设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是( ) x 22 ,( ,( 2500(1)3600，,x25003600x, 22 ,( ,( 2500(1%)3600，,x2500(1)2500(1)3600，，，,xx 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7. x(x-5)+3(x-1)=8的二次项系数为________. 128.已知实数x满足4x-4x+l=O，则代数式2x+的值为________( 2x 2x,4x,09.方程的解为 2210.一元二次方程(2x,1),(3,x)的解是_______________________ 11.设x，x是方程x(x-1)+3(x-1)=0的两根，则?x-x?= 。 1212 212.设一元二次方程的两个实数根分别为x和x，则 ，xx，,xx,，,6401212xx, ( 12 2513.某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现 16元，则该药品平均每次降价的百分率是______ 在售价每盒 214.关于的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ( xxxm,，,20 2,315.已知一元二次方程的一个根为，则( p,_____x，px，3,0 16.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗(为避免亏本，商家把售 价应该至少定为每千克 元( 17.写出一个两实数根符号相反的一元二次方程:______. 218.一元二次方程7x,x,5,0的两个根之和为_______. 6 三(解答题:(本大题共七题，满分78分) 19.(本题满分为10分) 2 解方程: xx，,,410 20.(本题满分10分) 2,,a,4122先化简，再求值:，其中，是方程的根( a,,xx，，,310,,22aaaaa,，,,4422,, 21.(本题满分10分) 2已知关于x的一元二次方程x,(m,1)x，m，2,0( (1)若方程有两个相等的实数根，求m的值; 2(2)若方程的两实数根之积等于,9m，2，求的值( m，6m 22.(本题满分10分) 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200 为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天千克. 可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元? 23((本题满分12分) 2:1某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为(在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道(当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜 2种植区域的面积是, 288m 前 侧 蔬菜种植区域 空 地 24((本题满分12分) 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助(2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元( (1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率; (2)从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元, 25((本题满分14分) 某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台(假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台((注:利润,销售价,进价) (1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式; (2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少,此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高。