三次函数
一.基本概念与性质
形如y=ax^3+bx^2+cx+d(a?0,b,c,d为常数)的函数叫做三次函数(cubics function)。
三次函数的图像是一条曲线----回归式抛物线(不同于普通抛物线)，具有比较特殊性。 [编辑本段]二.零点求法
求函数的零点可用盛金公式:盛金公式或传统解法
盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解
题
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比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
1.盛金公式
一元三次方程aX^3，bX^2，cX，d=0，(a，b，c，d?R，且a?0)。
重根判别式:
A=b^2,3ac;
B=bc,9ad;
C=c^2,3bd，
总判别式:Δ=B^2,4AC。
当A=B=0时，盛金公式?:
X1=X2=X3=,b/(3a)=,c/b=,3d/c。
当Δ=B^2,4AC>0时，盛金公式?:
X1=(,b,(Y1)^(1/3),(Y2)^(1/3))/(3a);
X2，3=(,2b，(Y1)^(1/3)，(Y2)^(1/3))/(6a)?i3^(1/2)((Y1)^(1/3),(Y2)^(1/3))/(6a)，
其中Y1，2=Ab，3a(,B?(B^2,4AC)^(1/2))/2，i^2=,1。
当Δ=B^2,4AC=0时，盛金公式?:
X1=,b/a，K;X2=X3=,K/2，
其中K=B/A，(A?0)。
当Δ=B^2,4AC<0时，盛金公式?:
X1= (,b,2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);
X2，3= (,b，A^(1/2)(cos(θ/3)?3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，
其中θ=arccosT，T= (2Ab,3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，,1
0时，方程有一个实根和一对共轭虚根;
?:当Δ=B^2,4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根;
?:当Δ=B^2,4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
3.盛金定理
当b=0，c=0时，盛金公式?无意义;当A=0时，盛金公式?无意义;当A?0时，盛金公式?无意义;当T,-1或T,1时，盛金公式?无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式?是否成立,盛金公式?与盛金公式?是否存在A?0的值,盛金公式?是否存在T,-1或T,1的值,盛金定理给出如下回答:
盛金定理1:当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0(此时，方程有一个三重实根0，盛金公式?仍成立)。
盛金定理2:当A=B=0时，若b?0，则必定有c?0(此时,适用盛金公式?解题)。
盛金定理3:当A=B=0时，则必定有C=0(此时,适用盛金公式?解题)。
盛金定理4:当A=0时，若B?0，则必定有Δ,0(此时，适用盛金公式?解题)。
盛金定理5:当A,0时，则必定有Δ,0(此时，适用盛金公式?解题)。
盛金定理6:当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0(此时，适用盛金公式?解题)。
盛金定理7:当Δ=0时，若B?0，盛金公式?一定不存在A?0的值(此时，适用盛金公式?解题)。
盛金定理8:当Δ,0时，盛金公式?一定不存在A?0的值。(此时，适用盛金公式?解题)。
盛金定理9:当Δ,0时，盛金公式?一定不存在T?-1或T?1的值，即T出现的值必定是-1,T,1。
显然，当A?0时，都有相应的盛金公式解题。
注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当Δ,0时，不一定有A,0。
盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d?0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高;盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2,3ac;B=bc,9ad;C=c^2,3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2,4AC也是最简明的式子(是非常美妙的式子)，其形状与一元二次方程的根的判别式相同;盛金公式?中的式子(,B?(B^2,4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
4.传统解法
此外，一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的
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，也就是用p和q表示A和B。方法如下:
(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以(2)可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
(4)x^3,3(AB)^(1/3)x,(A+B),0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
(5),3(AB)^(1/3),p,,(A+B)=q，化简得
(6)A+B,,q，AB,-(p/3)^3
(7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
(8)y1，y2,,(b/a),y1*y2=c/a
(9)对比(6)和(8)，可令A,y1，B,y2，q,b/a，-(p/3)^3,c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1,,(b，(b^2,4ac)^(1/2))/(2a)
y2,,(b,(b^2,4ac)^(1/2))/(2a)
可化为
(11)y1,,(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2,,(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A,y1，B,y2，q,b/a，-(p/3)^3,c/a代入(11)可得
(12)A,,(q/2)-((q/2)^2，(p/3)^3)^(1/2)
B,,(q/2)+((q/2)^2，(p/3)^3)^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=(,(q/2)-((q/2)^2，(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(,(q/2)+((q/2)^2，(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
[编辑本段]三.三次函数性态的五个要点
1.三次函数y=f(x)在(-?,+?)上的极值点的个数
2.三次函数y=f(x)的图象与x 轴交点个数
3.单调性问题
4.三次函数f(x)图象的切线条数
5.融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围
[编辑本段]四.三次函数对称中心
1.三次函数有对称中心(-b/3a,d+8*b^3/27a^2-b*c/3a).即(-b/3/a,f(-b/3a)).
证明: 因为f(x)=a(x-x0)^3+b(x-x0)+y0的对称中心是(x0,y0),即(x0,f(x0))
所以f(x)=ax^3+bx^2+cx+d如果能写成f(x)=a(x-x0)^3+b(x-x0)+y0那么三次函数的对称中心就是(x0,f(x0)).
所以设f(x)=a(x+m)^3+p(x+m)+n
得f(x)=ax^3+3amx^2+(3am^2+p)x+am^3+pm+n
所以3am=b; 3am^2+p=c; am^3+pm+n=d;
所以m=b/3a; p=(3ac-b^2)/3a; n=d+(8b^3)/(27a^2)-bc/(3a)
所以f(x)=a(x+b/3a)^3+(c-B^2/3a)(x+b/3a)+d+8b^3/27a^2-bc/3a
得证
2.推广 如果f(x)是一个n次多项式，n>=2(因为直线的对称中心从狭义上讲是没有对称中心 而在广义上讲是无数个对称中心)，其n次项系数是a0，n-1次项系数是a1，则有
(1):如果y=f(x)的图像是中心对称图形，其对称中心是(-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));
(2):如果y=f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴是x=-a1/n/a0.
浙公网安备 33021202002483