数学建模在汽车的刹车距离上的应用
钟志平 133905151 汽车检测与维修1班
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包含抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。
根据具体问题采用不同的模型。因为数学建模方法是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
用模型分析实际事物，锻炼我们的创新能力。
摘要
汽车刹车距离有两方面:反应距离和制动距离。本文从这两方面入手来研究 汽车刹车距离，进而得出距离的函数模型，提车驾车建议。
在模型的建立过程中，本文主要从影响汽车刹车距离的两个主要因素:司机 的反应时间、汽车的车速入手。对于影响刹车距离的其他因素如:路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技巧和身体状况等都视为相同的状态。
在对于刹车过程的具体分析，主要分成两个阶段:第一阶段称为“反应阶段”即匀速直线运动阶段，利用公式d=tv求得;第二阶段称为“制动阶段”即匀减112速直线运动阶段,利用功能原理及牛顿第二定律得出:Fd=Mv/2;进而得出刹车22的距离公式d=+kv。 2
再者从所收集得来的数据中运用最小二乘法拟合数据，得出k值，代入公式
2d=tv+kv得出刹车的速度与距离关系式。进而得出刹车距离的函数模型并给驾1
驶者提出安全驾驶建议。
关键词:“2秒准则” 刹车距离 反应距离
1. 问题提出与分析
1.1 背景与问题
美国的某些司机培训课程 中的驾驶规则:正常驾驶条件下, 车速每增10 英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。
又云，实现这个规则的简便办法是“2秒准则”:后车司机从前车经过某一标志开始默数，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。试判断“2秒规则”与上述规则是一样的吗,这个规则的合理性如何,是否有更好的规则,建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。
1.2 问题分析
1.2.1 两秒规则的合理性根据常识我们知道，10英里/小时(16公里/小时)车
速下2秒钟行驶的距离为29英尺(9米)，此距离远远大于车身的平均长度15英尺(4.6米)。这说明了“
2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同。“2秒规则”和“车身规则”不同也就意味着司机处在两个选择中，而两个选择的对错也未知，这就给驾驶员带来了疑惑。所以两个规则的合理性有待验证。
1.2.2 数学模型的分析
此模型问题的要求是建立刹车距离与车速之间的数量关系。一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长;另一方面，还有其它很多因素会影响刹车距离，
包括车型、车重、刹车系统的机械状况、轮胎类型和状况、路面类型和状况、天气状况、
驾驶员的操作技术和身体状况等。为了建立刹车距离与车速之间的函数关系可以从以下分析入手:经过仔细分析刹车的过程可以发现，刹车要经历两个阶段:第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，汽车在反应时间段行驶的距离为“反应距离”; 第二阶段，从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，汽车在制动过程“行驶”(轮胎滑动摩擦地面)，此距离为“制动距离”。
进而可得出:刹车距离=反应距离+制动距离。
2. 假设与建模
2.1 模型的假设
(1)、假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障; (2)、假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底， 汽车在刹车过程没有转方向;
(3)、假设汽车在反应阶段做匀速直线运动;
(4)、假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，加速度a只与车型有关，同车型 时为常数，制动力所做的功只等于汽车动能的损失;
(5)、假设刹车距离等于反应距离加上制动距离。
2.2 模型的建立与求解
2.2.1 模型的建立由前面的分析和假设可知:刹车距离d等于反应距离d与1
制动距离d之和， 2
即d=d+d (公式2-1); 12
反应距离d与车速 v成正比d=tv (公式2-2) (式11
中的t1为反应时间);
2刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;Fd=Mv /2 (公式22-3)(式中F?M,即F与车的质量M成正比)。 因此由(公式2-3)推出下面距
离的关系式:
2d=kv, 22再根据(公式2-1)和(公式2-2)可以得到d=tv+kv (公式2-4) 因12 此模型可以定为:d=tv+kv1
2.2.2 模型的求解
参数估计:反应时间t的经验估计值为0.75秒，利用交通部门提供的一组1
实际数据拟合k。
则刹车距离与速度的关系为:
22 d-0.75v+0.0255v?计算刹车距离、刹车时间模型为d-0.75v+0.0255v
求出各个车速下的刹车时间，如下
表
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:
表2-3车速与刹车时间关系表
车速(英里/刹车时间 小时) (秒)
20 1.5
30 1.8
40 2.1
50 2.5
60 3.0
70 3.6
80 4.3
根据实际的要求和表2-3，得出“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”，即后
车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志。
表2-4不同车速下对时间t的要求
车速(英里/小0~10 10~40 40~60 60~80 时)
刹车时间(秒) 1 2 3 4
3.模型的评价和改进
通过模型的建立让我们对“2秒准则”有了新的认识，是与车速有关的，不是任何车辆默数2秒后直至停车都是安全的，
根据不同的车速，时间不同。模型通过很理论的假设，对实际情况、人为因素等都为考虑，得出的应该是一个理论的一般性结果，对于驾驶人本身，我们还应考虑自身的情况。
参考文献
[1].姜启源、谢金星、叶俊《数学模型》(第三版),北京:高等教育出版社. [2].任善强 雷宁 数学模型 高等教育出版社 2003年
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