【
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
物理方法课件】二阶线性常微分方程的幂级数解法(可编辑)
4
?6.5
1
- !"#$%
?6.1 &' *+,-./*0120
3456789:; ?@AB
2
d w dw
dz2 + p z dz + q z w 0,
6.1
p z Cq z DEFGHIJK
? FGHLMNOPFGHIJQRHK
? STMUFGLHLVWMNOPFGIJHLVWQRHK
XYZ[\[]^_`abUcde[fghijklz0 emnopqersYZK
e e |
`atZp z , q z uz0 l [vwxykzYZ[uz0 l [vwU
Uxyk
zYZ[e~• g YZ?g YZ
UU Taylor Laurent K
? p z , q z ?z LVU?z DEFGH? K
0 ? 0 ? ?
? p z , q z z LVU?z DEFGH? K
0 0 ? ?
? 6.1 FG Hypergeometric equation
2
d w dw
z 1 ? z dz2 + γ ? 1 + α + β z dz ? αβw
0
HIJM
γ ? 1 + α + β z αβ
p z C q z ? .
z 1 ? z z 1 ? z
Up z Cq z z 0 Cz 1 KUz 0 Cz 1 MFG
H? UH MFGH? K
?
? 6.2 Legendre FG
2
2 d y dy
1 ? x dx2 ? 2x dx + l l + 1 y 0,
H? Ex ª1 K
?
,,?,| ?-
? z ? M MFG 6.1 H? U????a H
z 1/t K
? ? ?
2 2
dw dw d w d w dw
dz ?t2 dt , dz2 t4 dt2 + 2t3 dt .
?ˉUFG 6.1 ?E
2
d w 2 1 1 dw 1 1
dt2 + t ? t2 p t dt + t4 q t w 0. 6.2
,|
t 0 MFG 6.2 H? ? U?D ? z ? MFG 6.1 H? ? K
? ? ? ?
?
?6.1
?ª2?
2
t 0 3z ? EFG? H′μM
?
p 1 2t + a t2 + a t3 + ?? ?? ?? ,
2 3
t
q 1 b t4 + b t5 + ?? ?? ?? ,
4 5
t
3
2 a2 a3
p z + 2 + 3 + ?? ?? ?? ,
z z z
b4 b5
q z 4 + 5 + ?? ?? ?? .
z z
,|? MFGCLegendre FGH? K
? ?
3
?6.2 9????1 o
UàáHR?K
ˉ
6.1 p z Cq z ?â|z ? z0 | R ãä?LVU âã?åæFGD
2
d w dw
dz2 + p z dz + q z w 0,
E?ç?J
w z c , w z c c , c
0 0 0 1 0 1
?è?HLw z Uw z âãä?LVK
×R?Uê?ëw z ?z0 ?H?ì |z ? z0 | R ãYTETaylor ?J
?
w z c z ? z k .
k 0
k 0
àáU?a z ? z 0 ? z ? z 1 HIJc ?c C′μK
0 0 0 1
âãH?JLä?åæFGUåæIJU?êeIJ c KR UIJ
k ?
c k 2, 3, ?? ?? ?? çêèc , c K
k 0 1
? 6.3 ?Legendre FG
2
2 d y dy
1 ? x dx2 ? 2x dx + l l + 1 y 0
?x 0 ìãHLUl MJK
o ?ˉ
x 0 MFGH? U UêéL
?
?
y c xk .
k
k 0
ä?FGU
? ?
?
1 ? x2 c k k ? 1 xk?2 ? 2x c kxk?1 + l l + 1 c xk 0,
k k k
k 0 k 0 k 0
ê?Uë?
?
k
k + 2 k + 1 ck+2 ? k k + 1 ? l l + 1 ck x 0.
k 0
×?Taylor YTHè?WUêë
k + 2 k + 1 ck+2 ? [k k + 1 ? l l + 1 ] ck 0,
3
k k + 1 ? l l + 1 k ? l k + l + 1
ck+2 ck ck .
k + 2 k + 1 k + 2 k + 1
?6.2
?ìyt
4
ëIJ H K è
IU?êëIJ
2n ? l ? 2 2n + l ? 1
c2n c2n?2
2n 2n ? 1
2n ? l ? 2 2n ? l ? 4 2n + l ? 1 2n + l ? 3
c2n?4
2n 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 3
?? ?? ??
c0
2n ? l ? 2 2n ? l ? 4 ?? ?? ?? ?l
2n !
× 2n + l ? 1 2n + l ? 3 ?? ?? ?? l + 1 ,
2n ? l ? 1 2n + l
c2n+1 c2n?1
2n + 1 2n
2n ? l ? 1 2n ? l ? 3 2n + l 2n + l ? 2
c2n?3
2n + 1 2n 2n ? 1 2n ? 2
?? ?? ??
c1
2n ? l ? 1 2n ? l ? 3 ?? ?? ?? ?l + 1
2n + 1 !
× 2n + l 2n + l ? 2 ?? ?? ?? l
+ 2 .
èΓ
JHW
Γ z + 1 zΓ z ,
Γ z + n + 1 z + n z + n ? 1 ?? ?? ??
z + 1 zΓ z ,
?
ê? c2n Cc2n+1
l l + 1
2n Γ n ? Γ n +
2 2 2
c c ,
2n 0
2n ! l l + 1
Γ ? Γ
2 2
l ? 1 l
2n Γ n ? Γ
n + 1 +
2 2 2
c c .
2n+1 1
2n + 1 ! l ? 1 l
Γ ? Γ
1 +
2 2
ULegendre FGHL?M
y x c y x + c y x ,
0 1 1 2
l l + 1
? 2n Γ n ? Γ n +
2 2 2
2n
y1 x x ,
2n ! l l + 1
n 0 Γ ? Γ
2 2
5
l ? 1 l
? 2n Γ n ? Γ n + 1 +
2 2 2
2n+1
y2 x x .
2n + 1 ! l ? 1 l
n 0 Γ ? Γ 1 +
2 2
RU?ç R? ?′μc0 Cc1 URêeFGHSLKST
MU
? c0 1, c1 0 U?ë?SLy1 x
? c0 0, c1 1 U?ë?SLy2 x K
àá , ,
USLy1 x Cy2 x M W
HK W
SLe U?ê?
eFGH LK
? ë Lã?H?Jc Cc M?ç ?JU ë?H?MFG
? 0 1 ? ?
H LK
o -6 !K ?ëHSL?Uy x "#? x H$%&Uy x "#?x H?
? 1 2
%&U3y x Mx H$
JUy x Mx H?
JK ?LH'G U?MP
I?"
1 2
? , ?ˉ
×,
e*IJck+2 Cck U+ ck+1
U c2n NOPc0 QRUc2n+1 NOPc1 QRK
?UFGHLH-DW ?a.HM?$W U/á01MFGH-DWH 2K
'34Uê? e ?ìãJLH?567KM
? ?
? ? FG? ?ìãH LYTETaylor ?JUä?åæFG
?
? åæIJUë?IJ H
I
? è
IU?eIJck H89?:ã èc0 Cc1 U +; ëe?JL
P
I?RM WH ?EFGM WH U; H?JL?Rê?
w z c w z + c w z
0 1 1 2
HâãK
,.eU?IJ H
I?U?5 ?@e* ck , ck+1 , ck+2 A?B?HIJU?ˉ
c ?@CD c Cc U; ?ëHw z E w z ? "#?z H$%&E?%&K
k 0 1 1 2 ?
0è?åæFGH&?JLFUê?ë?FGRGìãHLãKHIJê?×? ,U
K ?ˉ
?eFG? ?GìãHLãKê? UFG? ?GìãHLãU ELVLMK UJê
? ?
FG?N?GìãHLãe U 'LVLMU
eFGGìãHLãK
? 6.4 O w1 MFG
2
d w dw
dz2 + p z dz + q z w 0
6.3
HLU?GìG1 ãLVKP w1 Mw1 ?GìG2 ãHLVLMU3
?6.2
?ìyt
6
w ? w , z ? G G , 6.4
1 1 1 2
Q w1 RMFG 6.3 HLK
S O
2
d w1 dw1
dz2 + p z dz + q z w1 g z ,
? T
g z ?G2 ãLVK Ew1 MFG 6.3 ?GìG1 ãHLU ?UGì G1 G2 ãURVWFG
2
d w1 dw1
dz2 + p z dz + q z w1 0.
ˉ T
+? UGìãUw1 z ? w1 z U
2
d w1 dw1
+ p z + q z w 0, z ? G G ,
1 1 2
dz2 dz
×?
3g z ? 0, z ? G G K LV
JHè?WUX3 ë
1 2 ?
g z ? 0, z ? G ,
2
Y3w ?G ã FG
1 2 VW
2
d w1 dw1
dz2 + p z dz + q z w1 0.
? MFG ,
6.5 O w1 C w2 ? 6.3 H W LU?ç?Gì G1 ãLVKP
w1 Cw2 æTMw1 Cw2 ?Gì G2 ãHLVLMU3?z ? G1 G2 ?
w1 ? w1, w2 ? w2 .
Q ,
w1 Cw2 R W
K
S ?
,
P4 6.4 ZUw1 Cw2 RMFG ?G2 ã HLK Ew1 Cw2 W
U
w1 w2
?[w , w ] ? 0, z ? G .
1 2 1
w w
1 2
O
w1 w2
?[w , w ] ? g z ,
1 2
w w
1 2
g z ?G2 ãLVKP ?z ? G1 G2 ?U
w1 ? w1, w2 ? w2 ,
T g z 0, z ? G G K á×?LV
JHè?WU? ë
1 2 R ?
g z 0, z ? G .
2
,
Uw1 Cw2 ?G2 ã R W
K
7
?6.3 [\-????1 o
"]^_ WH? K
? ?
, b
FGH? ê`?@JMLH? K ê`MLH_ E W? U ê`MLHc K
? ? ?a ? ?
?
?
?E?FG ?ìã?LHC Ud% R?
? ? àá?e ?
6.2 z0 MFG
2
d w dw
dz2 + p z dz + q z w 0
,
H? Up z Cq z LVHfâGì0 |z ? z | R ãUFGH W
LM
? ? 0
?
w z z ? z ρ1 c z ? z k ,
1 0 k 0
k ??
?
w z gw z ln z ? z + z ? z ρ2 d
z ? z k ,
2 1 0 0 k 0
k ??
ρ1 , ρ2 Cg ?M?JK
? ,
ρ E ρ M JU?g 0 U?z EFGHLH_ E W? K
1 2 0 ? ? ?
?
ρ E ρ M JUE g 0 U?FGHLEg?
JUz E?c K
1 2 ? 0 ? ?
e •op cd exyz r
hu?ijklmn [ `aUqrstu tZvw tU |
e•• e ? rs
\ ~tZ b YZ[? i?
K U U
UXxyztrK
? 0
JL?"&?U?@?ê B H ρ ?U?ë?JL&?U
?
w z z ? z ρ1 c z ? z k ,
1 0 k 0
k 0
?
w z gw z ln z ? z + z ? z ρ2 d
z ? z k .
2 1 0 0 k 0
k 0
á b ,
MU è
I?êëIJH89?:ãK/ U ?? Re ρ ?K
~•e[ [\oK,g 0 bUw2 z e~•? w1 z ,? ,?|Z?
U
e• | ? ? e~•?
???_? [K,g 0 bUw2 z ?,, Z Ua
[ ?K
EeFG? ?ìã-? ?LH′μU ?
? ?
?
w z z ? z ρ c z ? z k ,
0 k 0
k 0
?6.3
ˉ?2?ìyt
8
?@ëp z Cq z J?0 |z ? z0 | R ã?Laurent YT
?
p z z ? z ?m a z ? z k ,
0 k 0
k 0
?
q z z ? z ?n b z ? z k .
0 k 0
k 0
T ? ? ?
P z z MFGH_ W? U m, n ?E JUE? JK w z ?ªp z
0 ? ? ?
? ρ?2
Cq z H?J ãä?FGU?23 U z ? z U?ë?
?: 0
?
c k + ρ k + ρ ? 1 z ? z k
k 0
k 0
? ?
+ z ? z 1?m a z ? z l c k + ρ
z ? z k
0 l 0 k 0
l 0 k 0
? ?
+ z ? z 2?n b z ? z l c z ? z k 0.
0 l 0 k 0
l 0 k 0
′μ? • ?etZ ~ tZ e•
m U???m a1o? U?iu ρ
ck
• ? ? c á?
x ~z [ ?g zà [ g ~
Ujk ? w z K U? a ? U ,t
? e
ρ ?U?ρ g? `a [
a ? K
HI?â? ë?HããK?ããä?å? ?UæIH;?%&?æTE
? ? A
0
c ρ ρ ? 1 z ? z ,
0 0
c a ρ z ? z 1?m ,
0 0 0
c b z ? z 2?n .
0 0 0
?ˉ ,
UE? `?ëρ ?Uããä?H;?%&?RM 0 %&U3
1 ? m ? 0, 2 ? n ? 0.
-?D?Uz0 01M
p z H ?'H_ U 3 z ? z p z ?z
LV
? ? 0 0 ?
2
q z H ?'ç?H_ U 3 z ? z q z ?z LVK
? ? 0 0 ?
?è? DEFGH[\-?UUDE?[\-?K
?
U?FGH H?ìãULê` M ?LK?× HæVb
? ? ? ? ?
NO ?]^#-J?H ?LHêâ U MUë^?M HKY
HR?
? ? a ?ì
K
6.3 FG
2
d w dw
dz2 + p z dz + q z w 0,
9
?æH? z H?ì0 |z ? z | R ?L
? 0 0 ?
?
w z z ? z ρ1 c z ? z k , c 0, 6.5
1 0 k 0 0
k 0
w z gw z ln z ? z
6.6
2 1 0
?
+ z ? z ρ2 d z ? z k , g Ed 0
6.7
0 k 0 0
k 0
,
HT ′μMz EFGH K
0 ? ?
?
ρ Cρ DE ?LH? K
1 2 ?
à [\-????1áoa
? Lw1 z E w2 z ä?FG
? 'åæIJU?e.?C
I
? ?+?eIJH89?:ã
3?H?L'GU?Mw1 z âãHLä?FGU
, á , ?
`@?ë W
LU/ ?âãäN U? d w z âãH
2
Lä?FGK
?å
b ?
@"`?ëL 4?ρ1 ρ2 @ U U? ??d w2 z âãHL ?
@Hg ?R E0 ä?FG?LK
?
×åæFGH89?^U- ç? W?åæFG
2
d w dw
dz2 + p z dz + q z w 0,
?å
æeLw1 z U U?ê? '?æ
z 1 z
w2 z Aw1 z 2 exp ? p δ dδ dz
[w1 z ]
?
?eeçLK?M EL?VWFG
2
d w1 dw1
dz2 + p z dz + q z w1 0,
2
d w2 dw2
dz2 + p z dz + q z w2 0.
èw2 z Cw1 z æTFGUdBçUãêë?
2 2
d w2 d w1 dw2 dw1
w1 dz2 ? w2 dz2 + p z w1 dz ? w2 dz 0,
3
d dw2 dw1 dw2 dw1
w1 ? w2 + p z w1 ? w2 0.
dz dz dz dz dz
?6.3
ˉ?2?ìyt
10
?æUêë
dw2 dw1 z
w1 ? w2 A exp ? p δ dδ .
dz dz
w2 Uèê?ë?
1
d w2 A z
dz w1 w2 exp ? p δ dδ . 6.8
1
d?æ?%U?ë? Hë?K
?
? 6.4 àáUz 0 Cz 1 ?MFG
2
d w dw
z 1 ? z dz2 + [γ ? 1 + α + β z] dz ? αβw
0
H x ª1 J MLegendre FG
? ? ?
2
2 d y dy
1 ? x dx2 ? 2x dx + l l + 1 y 0
H K
? ?
,?
,| , ?- ?-
E? ? M?E U ? z 1/t Ut 0 M HFGH
? ? ?
?
?-
U3t 0 M HFGH? U?
? ? ?
t 2 ? 1 p 1 2 ? 1p 1
t t2 t t t
C
t2 ?? 1 q 1 1 q 1
t4 t t2 t
Y ?-? 2
?t 0 LVU 3z ? M FGH? U? zp z Cz q z ?z ?
LVU?D
? ? ?
?
?-? ,|
z ? M HFGH KU ? z ? J MFGCLegendre FG
? ? ? ? ?
H K
? ?
? 6.5 ?Legendre FG
2
2 d y dy
1 ? x dx2 ? 2x dx + l l + 1 y 0
?x 1 ?ìãHLK
o ? T0
x 1 MLegendre FGH U O
? ?
?
y x x ? 1 ρ cn x ? 1 n .
n 0
ä?FGU
? ?
n+1 2
n
cn n + ρ n + ρ + 1 ? l l + 1 x ? 1 + 2 cn n + ρ x ? 1 0.
n 0 n 0
ˉ
P ê?ë?.?FG
ρ ρ ? 1 + ρ 0
11
C
I
n n ? 1 ? l l + 1
cn ? cn?1.
2n2
.?FGHLM
ρ1 ρ2 0.
? mnoeé ê n o e
`a l i[?
g [v
? Legendre ux 1 m
uë |x ? 1| 2 U
l
é?[ ik ?|Z? ? l
,tux 1 ? ? , U?x 1 x ?1 ?ì U??
? é
ux 1 x ?1 lytK?? i[K
P
IUêeLegendre FG?x 1 ìãe?LHIJH ? ã
l + n l + 1 ? n
cn cn?1
2n2
l + n l + 1 ? n l + n ? 1 l + 2 ? n
cn?2
2n2 2 n ? 1 2
?? ?? ?? ?? ?? ??
l + n l + 1 ? n l + n ? 1 l + 2 ? n l + 1 l
?? ?? ?? c0
2n2 2 n ? 1 2 2 ?? 12
1 2 Γ l + n + 1 1n c0 .
n! Γ l ? n + 1 2
c0 1 Ue?Legendre FGHe?L
? n
P x 1 Γ l + n + 1 x ? 1 ,
l
n! 2 Γ l ? n + 1 2
n 0
DEl %e? Legendre
JK
, 0
?eçLU? O
?
y x gP x ln x ? 1 + d x ? 1 n
2 l n
n 0
? n ?
1 Γ l + n + 1 x ? 1 n
g 2 ln x ? 1 + dn x ? 1 .
n! Γ l ? n + 1 2
n 0 n 0
?åæFG?JLFH?67UReIJg ?R E0 Cd 3êK
? n
×? ?
3èH FM eçL e?L H
IU e
y x gP x x 1 exp ξ
2δ dδ dξ
2 l
[P ξ ]2 1 ? δ2
l
gP x x 1 dξ
l
[P ξ ]2 1 ? ξ2
l
gP x x dξ + gP x x 1 ? 1 dξ ,
l l
1 ? ξ2 [P ξ ]2 1 ? ξ2
l
?6.3
ˉ?
12
- |x ? 1| 2 !"#$%&'
?
y x g P x ln x + 1 + d x ? 1 n .
2 l n
2 x ? 1
n 0
* g 1 "+,- dn "./0%&1- Legendre 234
1 x + 1
Q x P x ln ? 2γ ? 2 l + 1
l l
2 x ? 1
? n
+ 1 2 Γ l + n + 1 1 + 1 + ?? ?? ?? + 1 x ? 1 ,
n! Γ l ? n + 1 2 n 2
n 0
5 l 6 7 Legendre 89":;γ Euler 9" z Γ 894 9 ?@AB89P x C
l
DEFGH/"I & x ?1 J x ? KL4MN89 J Q x 4MNOPQR,O4S
l
,"TUVWXYZ[\@
]H^_`]1a b23
2
d w dw
dz2 + p z dz + q z w 0
-cdeLfg4 4`hij"kVlmn-opqr]"234 st 9 u-o
pqr] u-opqr]
`
"234 %vt 9 "234 ,t 9 @
w x
yS,23-cdeLz4 | ~ Re ρ1 ? Re ρ2 "d
•ρ1 ? ρ2 ?9V" `,st 9 u
•ρ ρ V" `,t 9 u
1 2
• c
ρ1 ? ρ2 ?9V" %vt 9 @
cde B -
"s z 0 L I4 L@ " z 0 L4fg"%'234
?9? Laurent
? ?
p z a zl?1, q z b zl?2 .
l l
l 0 l 0
?
w z zρ c zk .
k
k 0
23"0Q
?
ck k + ρ k + ρ ? 1 zk+ρ?2
k 0
? ? ?
?
+ a zl?1 c k + ρ zk+ρ?1 + b zl?2 c
zk+ρ 0,
l k l k
l 0 k 0 l 0 k 0
? 13
?
?
ck k + ρ k + ρ ? 1 zk+ρ?2
k 0
? k
k
+ a k + ρ ? l + b c z 0.
l l k?l
k 0 l 0
? 0 ?
.,6," z 4 9"%?
c [ρ ρ ? 1 + a ρ + b ] 0.
0 0 0
AB c0 0 ",&
ρ ρ ? 1 + a ρ + b 0.
0 0
|0 ~23"[\:;4 a0 J b0
2
a0 lim z p z , b0 lim z q z .
z?0 z?0
?? ~23%&1- | ~" ρ1 J ρ2
@ ?a Re ρ1 ? Re ρ2 @
n ?
z 4 9"?
n
n + ρ n + ρ ? 1 c + a n + ρ ? l + b c
0,
n l l n?l
l 0
?
n + ρ n + ρ ? 1 + a0 n + ρ + b0cn
n
+ a n + ρ ? l + b c 0.
l l n?l
l 1
|?- ? ?
?-? 9?ˉ4?ª2 @
3′μ????1o"oà cn á@?â"ã cn á
ä?a
åæ ? ?
ρ @ ρ ρ1 "D w1 z @ç ρ ρ2 "è w2 z @?
ρ1 ? ρ2 ?à ?"×?êëá ?ìYT?1á à?@
• | E ` | `
ρ1 ρ2 V"áa v? k | @,&"
V ,t 9 @
• c?9 B ? 2
ρ1 ? ρ2 m V" 4 9 cm "Q
m + ρ m + ρ ? 1 + a m + ρ +
b c 2
2 2 0 2 0 m
m
2
+ a m + ρ ? l + b c 0.
l 2 l m?l
l 1
?6.3
14
[\ m + ρ2 ρ1 ",&Q
m
2 2
0 ?? c + a ρ ? l + b c 0.
m l 1 l m?l
l 1
#$
m
• 2 2 u
a ρ ? l + b c 0 V" cm ?
l 1 l m?l
l 1
m
• 2 2
a ρ ? l + b c 0 V" cm â\@
l 1 l m?l
l 1
B `ãqä `
"234 ? ,t 9 @
B qä
? |
ã ` •
"234 ,st 9 " aåvæ?1 @ V&/4?
? B - ` c B `
9 c 2 n m ekV?ç c 2 J c 2 @ w z Q " ? c 2 "
n 0 m 2
0
c B ?è?
` ?é
? c 2 @ b! ]"0e" c 2 J c 2 ?ˉ42
c 1 J c 1 ?ˉ4
m m+n m n 0
F`? é 2 c? cë ` `
2 "#$" cm ê 4 0 .M%v? |a9ì9 "#y
* 2
s? cm 0 @
? 15
?6.4 Bessel t?
Bessel 23
2 2
d w 1 dw ν
+ + 1 ? w 0
dz2 z dz z2
` :;
cde
b23? " ν a9"Re ν ? 0 @ "z 0 234 L"z ?
234 cdeL@
-
Bessel 23 z 0 L4fg |z | 0 4 @
?
w z zρ c zk , c 0,
k 0
k 0
Bessel 23"?
? ? ?
?
c k+ρ k+ρ ?1 zk+ρ?2 + c k+ρ zk+ρ?2 + c
zk+ρ ?ν2 c zk+ρ?2 0,
k k k
k
k 0 k 0 k 0 k 0
ρ?2 ?
R z " ?
? ?
c k + ρ 2 ? ν2 zk + c zk+2
0.
k k
k 0 k 0
?? ` ?
94 O" % 9@
A 0 ? E