关于椭圆内接平行四边形的几个定理

关于椭圆内接平行四边形的几个定理关于椭圆内接平行四边形的几个定理 ,t6上海中学数学?2005年第4期关于椭圆内接平行四边形的几个定理一 ,问题的提出 2l5500江苏省常熟市中学吕中伟,杨伟国关于椭圆内接平行四边形的问题,我们都有一个感性认识,即平行四边形的对称中心就是椭圆的对称中心.例如在任意椭圆内接矩形问题,一般都默认内接矩形的对称中心即为椭圆的对称中心,且各边平行于椭圆的对称轴.固然以上处理方式在某种程度特定环境下有可取之处,但倘若不加分析,总以显然(其实不显然) 成立来加以处理,这就有悖于数学...

关于椭圆内接平行四边形的几个定理 ,t6上海中学数学?2005年第4期关于椭圆内接平行四边形的几个定理一 ,问题的提出 2l5500江苏省常熟市中学吕中伟,杨伟国关于椭圆内接平行四边形的问题,我们都有一个感性认识,即平行四边形的对称中心就是椭圆的对称中心.例如在任意椭圆内接矩形问题,一般都默认内接矩形的对称中心即为椭圆的对称中心,且各边平行于椭圆的对称轴.固然以上处理方式在某种程度特定环境下有可取之处,但倘若不加分析,总以显然(其实不显然) 成立来加以处理,这就有悖于数学的严谨性,严肃性和科学性,从而使我们的数学陷入误区.这是一个发人深思的问题,因而我们必须从理性的高度来破懈这一问题,让我们的学生不但会知其然,而且会知其所然. 二,椭圆内接平行四边形的几个定理我们将椭圆内接平行四边形的一些性质视为定理. 为定理证明的需要,我们以引理的形式先给出几个重要结论(证明留给读者). 引理1椭圆的平行弦的中点的轨迹是过椭圆中心的一条线段. 引理2设AB是椭圆+告一1(口>6> O)的弦.弦AB所在直线的斜率k存在且k?0, M为弦AB的中心,直线OM的斜率为k,则是.k,:一b2 . a 引理3设A,B为椭圆+一1上的两点,OAA_OB,则志+一我们约定本文中以下提到的椭圆方程均为标准方程+告一1(c’>6>0) 定理1平行四边形内接于椭圆的充要条件是平行四边形的对称中心与椭圆的对称中心重合. 证明:充分性显然.以下来证明共必要性. 先来证明椭圆内接平行四边形各边与椭圆对称轴都不平行时的情形.如图(1),...AB//CD, AD//BC,由引理l知椭圆内与弦AB和弦AD 平行的弦的中点轨迹,是过椭圆中心的两条线段EF和GH,EF与AB,CD的交点M,N分别为AB,CD的中点,GH与AD,BC的交点P,Q 分别为AD,CD的中点.显然线段MN与PQ 乒 , 一, 辱图(1) 的交点为椭圆的中心,又由平面几何知识易得 MN与PQ的交点即为平行四边形ABCD两对角线的交点;当平行四边形的各边与椭圆的对称轴平行时同样有此结论,于是命题得证. 定理2椭圆不存在四边所在直线都有斜率的内接矩形. 证明:假设椭圆内接矩形ABCD的四边所在直线斜率均存在,不妨设边AB所在直线的斜率为k(?O),设弦AB的中点为M,由矩形的性质知OM上AB,则k?kou=一1.又由引理2 得志?是=一,这与口>6矛盾.故命题得” 证, 定理3椭圆的内接菱形有一个公共的内切圆证明:如图(2)所示,设ABCD是椭圆的任一内接菱形,...OAj_OB. 8’ 一 c,, : 图(2) 蚓一+=. 初数方圆留47 即而一 . IABI,曩_bE ,IOA1.10Bl—n6 设0点到AB的距离为d,则IAB1.d— 101.1OBt于是得d一—,又d即为菱 ??十D 形内切圆的半径,因此,椭圆的所有内接菱形有一个公共的内切圆,因此,椭圆的所有内接菱形有一个公共的内切圆,这个圆的方程是0+2 n262 n2+62’ 定理4椭圆内接平行四边形面积的最大值为2ab,这样的平行四边形有无数个,其中恰好一个为菱形,一个为矩形. 证明:如图(3)所示,根据对称性不妨设D 点在第一象限或z轴的正半轴上,设D(aCOS~, bsina),口?l0,?),B(一aCOS~,一bsina),L厶 A(acosfl,bsinf1),J9?(a,?al易知,使平行四边形ABCD面积取得最大值的充要条件是:过椭圆上A点的切线与BD平行.因为过A点的切线方程为+一1,其斜率为,bcosp, On口又BD的斜率为, . ‘一na=--cOtfl=tan(一号), 于是得一a:号直线BD的方程为(btana)37ma3,一O 点A的直线BD的距离 n6ltana?COsp—sinp{ ~/.a.....e.......+............b.......2......t....a....n.......e..—a— — a — b.’l.s’in.ac’o’sfl.--’.’...’c’.o’..s....a.....s.....i..n.’—fl— ~ /.a.......e.......c.....o.......s......e......a.......+.............b......2.......s......i....n.......s..—a— 垒二L— v/a2...c....o..—s—-”.a+be—s—inz—fl— ab ~/.a....2....c....o....s....e....a.....+..........b..’..e.....s....i.n.....s..—a— 又IODl一,/asCOS2口+besina . ‘ . $77A.BCD一2lODI?d一2ab 故椭圆内接平行四边形面积的最大值为 2ab.因为使一a一的a角有无数多个,所以使椭圆内接平行四边形面积取得最大值的平行四边形有无数多个.这种平行四边形用高等几何知识来解释就是;它们是以椭圆的任意一对共轭直线为对角线的平行四边形.而椭圆的共轭直线确实有无数对. 由上面的证明容易知道,当且仅当a一0且 = ?时;平行四边形为椭圆的内接菱形,此时厶菱形的四个顶点为椭圆的四个顶点;当且仅当a 一 ?且一竿时,平行四边形为椭圆的内接矩形,此时矩形的四个顶点为(土,?). 向您推荐 ((2004年全国各地高考数学试题评析及比较》《上海中学数学》为配合高考分省命题,帮助高三师生复习,邀请了上海中学, 复旦大学附中,华东师范大学二附中等名校的数学特级教师和有关专家,编写了《2004年全国各地高考数学试题评析及比较》专辑,体现新标准,反映新教材,渗透新理念,评析新考法,瞻望新动向,并附2004年高考各省数学卷试题及详细解答. 专辑《2004年全国各地高考数学试题评析及比较》16开96页,每本定价10.O0 元,邮购每本加收包装费,邮费1.OO元;邮购一次超过十本,免收包装费和邮费. 凡需要邮购者,可直接汇款到本刊编辑部.邮编:200234.地址:上海市桂林路100 号《上海中学数学》编辑部.收款人:施斌.联系电话:O21—64321027, 64322945,t3301824926.汇款单上务必写清邮编,地址,姓名等信息.

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