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物理方程试题
数学物理方程试题(杨春) 一、化方程为
标准
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形(10分)
22xuxyuyuxuyu，，，，,20 xxxyyyxy
二、分离变量法求定解问题(10分)
,22,,2uauxxxlt,，,,,sincos,(0,0),ttxxll,,utult(0,)3,(,)6,,, ,x4,,,,uxuxx(,0)31,(,0)sin,，,t,,ll,,,,
v,(0),,,,,1三、一无限长导体圆柱壳，半径为a，把它充电到电势，求v,,v,(2),,,,,2,圆柱壳内电场中的电势分布(用分离变量法求解)(15分)
数学物理方程试题答案及评分标准 一、
22222解:，方程属于抛物型………1分 ,,,,,,aaaxyxy0121122
2dyydydy,,22特征方程为:，得…..1分 ,xxyy,，,20,,dxxdxdx,,
y,,,,令…….1分 x,
,,y,,
,y1,,,,,,xy2,,………..1分 Q,,xx,,,,,,xy,,,,01,,
aaaa00,,,,,,11121112T,,QQ……….2分 ,,,,,,2aaaa0y,,,,,,12221222
……. 1分 ……. 1分 bLC,,,,,0bLCy,,,,,12
………1分 Cf,,0
1,,………1分 uu,,,,
uxtVxtWx(,)(,)(),，二、解:令…….1分
将其代入定解问题可以得到:
,
2,VaVxlt,(0,0),,,,ttxx,,VtVlt(0,)0,(,)0.....(1),,, 1分
,,x4,,,VxWxVxx(,0)31(),(,0)sin,，,,t,,ll,,,,
22,,,2,,，,aWxxx()sincos0, 1分 ？(2)ll,
,WWl(0)3,()6,,,
2lx4,,,(2)的解为: 2分 ,，，Wxx()sin31,,2232all,,,对于(1)，由分离变量法可得一般解为
，,natnatnx,,,,,……………………….2分 (,)cossinsin,，Vxtab,nn,,lll1,,n,
由初始条件可求得:
2,,lalatx444,,,Vxtt(,)cossinsin,,， 2分 ,,22324alall,,,,
所以，原定解问题的解为:
22,,lalatxlx4444,,,,,,uxttx(,)cossinsinsin31,,，，，， ,,,,222232432alallall,,,,,,,
1分。
三、解:由于圆柱壳无限长，所以可以作为二维问题处理。在柱内无自由电荷，
所以柱内电势满足拉普拉斯方程。定解问题为: ,ua0,(0,02),,,,,,,,,2,v,(0),,,,,,1 3分 ua(,),,,,v,(2),,,,,2,,
,uuu(,2)(,),(0,)，,,，,,,,,,,,
令uR(,)()(),,,,,,得:
2,,,，,,,0,,,与…………………….1分 ,,,RRR0，,,
固有值问题为:
,,,，,,,0,2，求得固有值为: ,,,mm(0,1,2,....),,，,,(2)(),,,,
固有函数为: ,,，()cossin,,,AmBm…………………………………2分
22,,,的解为: ,,RRmR0，,,
mm,，……………2分 RCD()ln,,,，RCDm()(0),,,,，,000mmm于是定解问题的一般解为:
，,mm,……1分 uCDAmBmCD(,)lncossin,,,,,,,,，，，，，，，，,00mmmm1m,由有限性条件得:………………..1分 DD,,00m
，,m ………………….1分 uCAmBm(,)cossin,,,,,,，，，，,0mm1m,
22,,1vv，12，，,, Cvdvd,，,012,,,,0,，，22,
22,,1，，Avmdvmd,,,,,，, 3分 coscos0m12,,,,0,，，,
22,,1vv,m12，，，，,,,, Bvmdvmd,，,,,sinsin1(1)m12,,，，,,0,，，m,,
所以定解问题的解为:
，,vvvv，,,,mm1212，，或 (,)1(1)sin,,,,um,，,,,,,，，2,m,,1m,
21n，，,2sin21vvn,，,，，，，vv，,,,1212……………..1分 u(,),，,,,,,,221na，,,,n,0
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