推理公式的一种简化算法_牛顿迭代法

推理公式的一种简化算法_牛顿迭代法 , ) 性化, 则得近似的线性方程 :( ) 求解非线性方程 代数方程或超越方程根的近似算 ( ) ( ) ( ) f x- f ′xx - x= 0 法 , 迭代法的计算优劣取决于迭代序列的收敛性且 k k k ( ) 设 f ′x?0 , 令其解为 x, 得 依赖于迭代函数的构造. 构造迭代函数的一条重要 k k + 1 途径 , 是用近似方程来代替原方程. ( ) f x k ( )x= x- 4 k k +1 111 简单迭代法( )f ′x k ( ) ( ) 将方程 f x= 0 化为一个等价 同解的方程 :() ( ) 式4称为 f x= 0 的牛顿迭代格式. 它对应的方程为φ( ) x = x , 给定一个初值 x, 代入右端可算得一个 0 ( ) x f ( ( ) )f ′x?0 ()5 x = x - φ( ) φ( ) x= x, 再以 x代入右端 , 又可得 x= x如1 0 1 2 1 ( )f ′x 此继续下去 , 会得到一个序列{ x} , 其中 : k ( ) 显然是 f x= 0 的同解方程 , 所以迭代函数为 ( )f x )( φ( ) 6 x= x - ( )f ′x φ( )()= x xk = 0 , 1 , 2 , 1 , n k k +1 ( ) ( α) α δ 在 f x= 0 的根的某个邻域 R | x - | ?内 ,φ( ) ( ) x} 称为迭代序列 ,x称为迭代函数 , 式 1{ k ( ) f x= 0 , 称为迭代格式. 如果迭代序列是收敛的 , 且收敛于 3 ( ) ( ) | f ″x| | f x| ( ) φX , 则当 x连续时 , 必有 : φ( ) ?L < 1| ′x| = 2( ( ) ) f ′x ( ) φ( )lim x= lim x= lim x k +1 k k k ϖ ? k ϖ ? k ϖ ? ( ) α故在的邻域 R 内 , 对任意初值 x, 由式 4得 0 3 3 φ( )()= x 2 即X α( ) 到的迭代序列收敛于. 迭代式 4所确定的方法称 3 或 ( ) f x = 0 为牛顿迭代法. 这说明 , 只要迭代序列收敛 , 一般总收敛于原方( ) 牛顿迭代法有明显的几何意义. 由式 4 知 程的解. 实际计算当然不能做无穷多步 , 迭代到一定( ( ) ) ( ) x是点 x, f xy = f x处 的切线 :k + 1k k 程度 , 就取 x作为原方程根的近似值. 这种求根 k + 1 ( )y - f x k ( )= f ′k 法称为简单迭代法 , 或称逐次逼近法. x - x k 112 牛顿迭代法 与 X 轴交点的横坐标如图 1 所示. 也就是说 , ( ) ( ) x是 f x 设 = 0 的一个近似根 , 把 f x 在x ( ) 新的近似值 x是用代替曲线 y = f xxk k的切线与 k + 1 处作泰勒展开 :( ( ) ) 轴相交得到的. 继续取点 x, f x, 再作切线k + 1 k + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f x= f x+ f ′xx - x+ 与 X 轴相交 , 又可得 x由图 1 可见 , 只要初 k k k k + 2 αα 值取得充分靠近, 这个序列就会很快收敛于.7 794 . 1 0. 187 5 -98. 8 = Q m21 . 3 0. 187 5 ()= 365. 9 Q- 98 . 8 7 m 01187 5 01187 5 显然 , Q不会超过 36519 Q,令 Q= 36519 Q, m mm m 则 1/ 0. 812 5 = 365 . 9= 1 428. 6 Q m 将 1 428. 6 作为初值进行迭代 , 迭代计算结果如下 : 当 Q初值为 1 428. 6 , 1 330 , 1 311 , 1 307 , 1 306 时 , Qm m 分别为 1 330 , 1 311 , 1 307 , 1 306 , 1 306 . 3于是百年一遇设计洪峰流量为 1 306 m/ s , 对应 τ的值为 图 1 牛顿迭代法原理 59 . 2 59 . 2 τ = 9 . 8 h = = 1/ 4 1/ 4由于牛顿迭代法的局部收敛性 , 又对初值 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 较 Q1 306 m 1/ n α高 ,只有初值取得充分靠近,才能保证序列收敛. () 1 - nS pt= cμ 2 算例1/ 0. 75 0 . 25 ×197 . 3 = 2 2. 5 某河 流 流 域 面 积 F = 142 . 1 km, 河 长 L = = 53. 3 h 40 . 45 km , 河道坡度 J = 0. 4 % , 汇流参数 m = 1. 2 , 流 τ 故经检验 , 产流模式符合原假定 t>.c μ 域损失参数 = 2. 5 mm/ h , 百年一遇最大 24 h 暴雨 212 牛顿迭代法 量43617 mm , 暴雨衰减指数 n = 0. 75 , 要求用推理公 如前所述 , 牛顿迭代法只是在构造迭代函数方 式计算该河百年一遇的设计洪峰流量. 面与简单迭代法有所不同 , 在求解推理公式时 , 将式 211 简单迭代法 n - 1 - 0. 25() 7进行变换可得下式 : 计算暴雨参数 : S = H24 = 436. 7 ×24 p 24 0. 187 5 Q- 365. 9 Q+ 98 . 8= 0 m m= 197. 3 mm. 迭代函数 :τ 先假定 t>全面汇流 , 由公式 :c 0. 187 5 ( ) Qr- 365 . 9 Q+ 98 . 8 m m S p( ) ( ) r + 1= Qr-Q (α μ) m m μ = 0. 278 - F = 0. 278 - F Q0. 812 5 - mn 1 - 68 . 6 Q m τ 假定初始值 Q= 1 428. 6 , 迭代计算结果如 L m () 1 τ = 0. 278 1/ 2 1/ 4 mJ Qm 下 :当 Q 初值为 1 428. 6 , 1 307 , 1 306 时 , Q 分别为m m 3197 . 3 1 307 , 1 306 , 1 306. 故 Q= 1 306 m/ s. m - 2. 5 Q= 0. 278 则×142. 1m 0. 75 τ 3 结语54 . 849 - 0. 695 = ×142. 10. 75 τ 简单迭代法与牛顿迭代法的计算结果与图解试 7 794 . 1 -= 98 . 8 0. 75 算法完全一样 , 且牛顿迭代法收敛较快 , 迭代次数 τ 少 , 计算速度快 , 精度可靠. 0. 278 ×40 . 45τ = 1/ 3 4 1/ 4 Q:参考文献 1. 2 ×m1 000 11 . 245 [ 1 ] SDJ 22279 ,水利水电工程设计 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 S. = 1/ 42 徐德龙. 推理公式计算方法的探讨J . 水文水资源 ,2000 1. 2 ×0. 159 Q m() 2:12,13. 11 . 245 ( ) 收稿日期 :2001 Ο01 Ο08 编辑 :张志琴 = 1/ 40. 190 Q m 59 . 2 = 1/ 4 Qm 7 794 . 1 则Q=98 . 8 -m 0. 75 59 . 2 1/ 4 Qm