电大高等数学基础

电大高等数学基础 高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，( C )中的两个函数相等( 22f(x),(x) A. ， B. ， g(x),xg(x),xf(x),x 2x,13 C.f(x),lnx， D. ， g(x),g(x),3lnxf(x),x，1x,11-?设函数的定义域为，则函数的图形关于(C )对称( f(x)(,,,，,)f(x)，f(,x) yy,xA. 坐标原点 B. 轴 C. 轴 D. x 设函数的定义域为，则函数的图形关于(D )对称( f(x)(,,,，,)f(x),f(,x) A. y,x B. 轴 C. y轴 D. 坐标原点 x ,xxee,.函数的图形关于( A )对称( y,2 yy,x(A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) x 1-?下列函数中为奇函数是( B )( x,xa，a2y,xcosxA. y,ln(1，x) B. C. D. y,y,ln(1，x)2下列函数中为奇函数是(A )( 3x,xy,x,xy,e，eA. B. C. D. y,ln(x，1)y,xsinx下列函数中为偶函数的是( D )( x2y,x2y,xcosxy,ln(1，x)A B C D y,(1，x)sinx 2-1 下列极限存计算不正确的是( D )( 2x A. lim,1 B. limln(1，x),02x,,x,0x，2 xsin1lim,0limsin,0x C. D. x,,x,,xx x,02-2当时，变量( C )是无穷小量( 1sinx1xsinA. B. C. D. ln(x，2)xxx 1sinxxxx,0当时，变量( C )是无穷小量(A B C D e,12xxx 1sinxxx,0.当时，变量(D )是无穷小量(A B C D ln(x，1)2xx 下列变量中，是无穷小量的为( B ) 11x,2xsin0x,x,2ex,, A B C D. ln10xx，,，，，，，，，，，，2xx,4 (12)(1)f,h,flim,-1设在点x=1处可导，则( D )( 3f(x)h,0h ,,,,A. B. C. D. f(1),f(1)2f(1),2f(1) fxhfx,,(2)()00x设在可导，则( D )( f(x),lim0h,0h ,,,,f(x)2f(x),f(x),2f(x)A B C D 0000 f(x2h)f(x),,00xlim设在可导，则( D )( f(x),0h,02h ,,,,,2f(x)f(x)2f(x),f(x)A. B. C. D. 0000 1 fxf(1，,),(1)11x,ee2elim设，则( A ) A B. C. D. f(x),ee,x,024x, 3-2. 下列等式不成立的是(D )( 11xxlnxdx,d()A. B C.dx,dx D. ,sinxdx,d(cosx)edx,dex2x 11dxd(),arctanxdxd(),,下列等式中正确的是(B )(A. B. 22xx1，x xx C.d(2ln2),2dx D. d(tanx),cotxdx 24-1函数f(x),x，4x,1的单调增加区间是( D )( A. B. C. D. (,,,2)(,1,1)(2,，,)(,2,，,) 2y,x，4x,5函数在区间内满足(A )( (,6,6) A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 2y,x,x,6.函数在区间(,5，5)内满足( A ) A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C先单调上升再单调下降 D 单调上升 2y,x,2x，6. 函数在区间内满足(D )( (2,5) A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 1211,,5-1若的一个原函数是，则(D )( A. B. C. D. f(x)f(x),lnx23xxxx.若是 的一个原函数，则下列等式成立的是( A )。 F(x)f(x) bxA B F(x)dx,f(b),f(a)f(x)dx,F(x),F(a),,aab,C D f(x),F(x),f(x)dx,F(b),F(a),a ,5-2若，则f(x)dx,( B )( f(x),cosx, sinx，c,sinx，c A. B. cosx，c C. D. ,cosx，c 下列等式成立的是(D )( ,f(x)dx,f(x)df(x),f(x) A. B. ,, df(x)dx,f(x)df(x)dx,f(x) C. D. ,,dx d11233323xf(x)dx,f(x)f(x)xf(x)f(x)( B )( A. B. C. D. ,33dx d11222xf(x)dx,f(x)dxf(x)xf(x)xf(x)dx( D ) A B C D ,22dx 1f(x)dx,F(x)，cf(x)dx,?-3若，则( B )( ,,x 1F(x)，c2F(x)，cF(2x)，cF(x)，c A. B. C. D. x ，,1,x,x,xdxef(e)dx,,F(e)，c补充: , 无穷积分收敛的是 ,2,1x x,xf(x),10，10 函数的图形关于 y 轴 对称。 二、填空题 2x,9?函数的定义域是 (3，+?) ( f(x),，ln(1，x)x,3 2 x函数y,，4,x的定义域是 (2，3) ? (3，4 ]ln(x,2) 1f(x),ln(x，5),函数的定义域是 (,5，2) 2,x 2,，1,,0xx若函数，则 1 ( (),fxf(0),,x2,x,0, 1,x,xx(1，),,0k,x,02若函数，在处连续，则 e ( fx(),, ,x，k,x,0, sin2x,,x,0k,x,0.函数在处连续，则 2 f(x),,x ,kx,0, x，1,x,0,y,函数的间断点是 x=0 ( ,sinx,x,0, 2x,2x,3y,函数的间断点是 x=3 。 x,3 1y,函数的间断点是 x=0 x1,e f(x),x，13-?曲线在处的切线斜率是 1/2 ( (1,2) f(x),x，2曲线在处的切线斜率是 1/4 ( (2,2) xf(x),e，1曲线在(0，2)处的切线斜率是 1 ( 3f(x),x，1.曲线在处的切线斜率是 3 ( (1,2) π(,1)3-2 曲线在处的切线方程是 y = 1 (切线斜率是 0 f(x),sinx2 曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1 2y,ln(1，x)4.函数的单调减少区间是 (,?，0 ) ( 2x函数的单调增加区间是 (0，+?) ( f(x),e 2y,(x，1)，1.函数的单调减少区间是 (,?，,1 ) ( 2f(x),x，1.函数的单调增加区间是 (0，+?) ( 2,x 函数的单调减少区间是 (0，+?) ( y,e 22d2,x,x2sinxdx,dedx,5-1 edx ( . ( sinx,,dx ,(tanx)dx, tan x +C ( , ,f(x)dx,sin3x，c若，则 ,9 sin 3x ( f(x),,31x3e1d5dx(sinx，)dx,ln(x，1)dx,5-2 3 ( , 0 ( 0 2,,,,13,12dxx1， 下列积分计算正确的是( B )( 1111,,xxxx2(e，e)dx,0(e,e)dx,0xdx,0|x|dx,0A B C D ,,,,,,,,1111 三、计算题 (一)、计算极限(1小题，11分) (1)利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。 3 (2)利用连续函数性质:f(x)有定义，则极限 limf(x),f(x)00x,x0 xsinkxtansinkxlim,1,k,klimlim类型1: 利用重要极限 ， ， 计算 x,0x,0x,0xxxxsin6 sin6xxsin66xlim1-1求( 解: limlim,,,x,0xsin5xx,0x,0xsin5sin55 x tanx1tanx11tanxlim,,，,lim1lim1-2 求 解: x,0x,0x,03x3x3x33 xxxtan3tan3tan3lim.3,1，3,3limlim-3 求 解:= 1x,0x,0x,0xxx3 xaxasin(,),， 化简计算。 类型2: 因式分解并利用重要极限 lim,1lim,1x,ax,axaxa(,)sin(,) 22x,1x,1(x，1)limlimlim.(x,1),1，(,1,1),,22-1求( 解: = x,,x,,11x,,1sin(x，1)sin(x，1)sin(x，1) sin1x,sin(x1)sin(x1)111,,，，limlim.1,,，,2-2 解: lim22x,1x,1x,1(x1)(x1)112x1,，，x,1, 22x,4x，3(x,3)(x,1)x,4x，3lim,lim,lim(x,1),2lim2-3 解: 3x,3x,3x,3x,sin(x,3)sin(x,3)sin(x,3) 类型3:因式分解并消去零因子，再计算极限 22(x4)(x2)x,6x，8x,6x，8,,x22,,limlimlimlim,3-1 解: = 22x,4x,4x,x,44x,13(x4)(x1),,x,5x，4x,5x，4 22xx，,32xx，,6，，，，xxx，,,6253-2 limlimlimlim,,,22x,,3xxx,,,,,,333xx,,12xxxxx,,，,,123447，，，， 22x,3x，2x3x2(x2)(x1)x11,，,,,lim3-3 解 limlimlim,,,22x,2x,2x,2x,2(x2)(x2)x24,，，x4x,4, 12x2x1，,1xsinsin2其他: lim,lim,0， lim,lim,2 x,x,x,0x,0001xxsinsinx，1,1x22222x2x6xx6x52x2，，，limlimlimlim,1， ,, ,2222x,,x,,x,,x,,3x3x4x53xx4x5,,,,xtan8 tan8xtan8xx8limlim(0807考题)计算( 解: = lim.,,2x,0x,0xsin4xsin4xx,0sin44 x sinxsinx1sinx1lim,,limlim(0801考题. )计算( 解 x,0x,0x,02x2x2x2 2xxx,2x,3(，1).(,3)limlim,1，(,1,3),,4(0707考题.)= x,,1x,,1sin(x，1)xsin(，1) (二) 求函数的导数和微分(1小题，11分) ,,,,,,(1)利用导数的四则运算法则 (u,v),u,v(uv),uv，uv(2)利用导数基本公式和复合函数求导公式 4 1aa,1,,(lnx), (x),ax x xxuu,,, eeu (e),e(),. ,(sinx),cosx222xx2x,,(e),e.(x),2xe,(cosx),,sinxsinxsinxsinx,,(e),e.(sinx),ecosx 2,(tanx),secxcosxcosxcosx,,(e),e.(cosx),,esinx2,(cotx),,cscx ,,,,(sinu),cosu.u(cosu),,sinu.u 22222222,,,,(sinx),cosx.(x),2xcosx(cosx),,sinx(x),,2xsinx xxxxxxxxx,,,,(sine),cose.(e),ecose(cose),,sine.(e),,esine 类型1:加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导;括号求导最后计算。 xy,(xx，3)e1-1 13,1333,,,,,,,,33,xxxxx222222, 解:, y3,，，xxe,，，xexexexe，，，333，，,,,,,,,,22,,,,,,,, 2y,cotx，xlnx1-2 22222,,,,,y,(cotx)，(xlnx),,cscx，(x)lnx，x(lnx),,cscx，2xlnx，x 解: x,y,etanx,lnx1-3 设，求( y 11xxxxx2,,,,,,(tan),(ln),()tan，(tan),,tan，sec,yexxexexexex解: xx类型2:加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导 1222,,,,y,(sinx)，(lnx),2xcosx，y,sinx，lnx2-1 ，求 解: yx x2y,cose,sinx2-2 ，求 y, x2xx22xx2,,,,,y,(cose),(sinx),,sine.(e),cosx.(x),,esine,2xcosx解: 55,5x4,5x5,5x,,,y,(lnx)，.(e),lnx,5ey,lnx，e2-3 ，求， 解: y,x 类型3: 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 22222xxxxx,,,,，求 。 解: yy,ecosxy,(e)cosx，e(cosx),2xecosx,esinx cosxx,y,2,其他:，求。 yx ,,cosx(cosx).x,cosx.(x)xsinx，cosxxxx,,,,,,,,2ln2，y(2)()2ln2 解: 22xxx sinx2sinx2sinx2,,,,y,(e)，(sinx),ecosx，2xcosxy,e，sinx0807.设，求 解: y 22222xxxx2x,,,,y,xe0801.设，求 解: yy,(x)e，x(e),e，2xe sinx2sinx2sinx,,,y,e,xy,e.(sinx),(x),cosxe,2x0707.设，求 解: y, 1xxxxx,,,y,(lnx),sine.(e),,esiney,lnx，cose0701.设，求 解: y,x(三)积分计算:(2小题，共22分) 11？dx,,？d()凑微分类型1: 2,,xx 5 11coscos111xx计算dx 解:x,,d,,，c dcos()sin22,,,xxxxx 11sinsin111xxdsind()cos0707.计算( 解: x,,,，c dx,2,2,xxxxx1111xxe1exxd,,ed(),,e，cdxx0701计算( 解: 22,,,xxx 1凑微分类型2:？dx,2？dx ,,x cosxcosxdxdx,2cosxdx,2sinx，c.计算( 解: ,,,xx sinxsinxdx,2sinxdx,,2cosx，cdx0807.计算( 解: ,,,xx xxeexxdx,2edx,2e，cdx0801.计算 解: ,,,xx 11？dx,？dlnx？dx,？d(a，lnx)凑微分类型3:， ,,,,xx 1dlnx11dxdx,,du,ln|lnx|，c计算 解: ,,,,xlnxxlnxlnxu eeee，2，lnx2lnx152dxdx,(2，lnx)d(2，lnx).计算 解: (2ln),，x,,,,111xx221 5 定积分计算题，分部积分法 a，1x1111aa，1a，1aa，1xxdx,xdx,xx,xdx,x,x，c类型1:lnlnlnln ,,,2a，a，a，a，1111a，(1)e111222xlnxdx,lnxdx,xlnx,x，ca,1计算 解: ， xlnxdx,,,1224 222eee11xx，e2lnxdln(ln)xx,xdx,x,, ,,1112244 eelnxdx,(xlnx,x),(e,e),(0,1),1 ,11 elnx111lnxdxdx,,xd,,x,，ca,,2ln()ln计算 解: ， 2,2,,1xxxxx eeelnx1lnx12dx,,lnxd(),(,,),1, ,2,111xxxex elnxlnx1a,,dxdx,2lnxdx,2xlnx,4x，c计算 解:， ,,,12xx eeelnxdx2lnxdx,(2xlnx,4x),,2e，4= ,,111x 3333ee22424e2222xlnxdx,0807 lnxd x(ln),xx,x,e，,,11133999 6 eee1121133323(xln)xlnxdx,lnxdx0707 ,x,x,e，,,11139993 111axaxaxaxxedx,xde,xe,e，c() 类型2 2,,aaa 111111112x2x2x2x2xedx,xde,(xe,e),e， ,,20244400 111,x,x,1,x,x,(,xe,e),,2e，1 xedx,,xde,,000 11111131,2x,2x,2x,2x,2xedx,,xde,(,xe,e),,e， ,,20244400 111xxxxxde,(xe,e),1(0801考题) xedx,,,000 1111xsinaxdx,,xcosax，cosaxdx,,xcosax，sinax，c类型3: 2,,aaaa 1111xcosaxdx,xsinax,sinaxdx,xsinax，cosax，c 2,,aaaa ,,, 22xsinxdx,,xdcosx,(,xcosx，sinx),1,0,1 2,,000 ,,,,22xcosxdx,xdsinx,(xsinx，cosx),,1 2,,0020 1111xsin2xdx,,xcos2x，cos2xdx,,xcos2x，sin2x，c ,,2224,,,111,,22xsin2xdx, cos2(cos2sin2)0,xdx,,xx，x,,,2,,00224440,,,,11112222,,,,, xxdxxxxdxxcos2sin2|sin2cos2|00,,002242 四、应用题(1题，16分) 类型1: 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大, 222h解:如图所示，圆柱体高与底半径满足 rh，r,l 222V,,rh,π(l,h)h圆柱体的体积公式为 22,V,π(l,3h),0求导并令 l 36h,lr,l得，并由此解出( 33 63r,lh,l即当底半径，高时，圆柱体的体积最大( 33 类型2:已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。 2-1(0801考题) 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省, V2,V,.r.h,h,h解:设容器的底半径为r，高为，则其容积 2.r, 2V22S,2πr，2πrh,2πr，表面积为 r 7 2V4VV,,S,4πr,33S,0， 由得，此时。 h,2r,r,2r2ππ V3h,2r由实际问题可知，当底半径与高 时可使用料最省。 r,2π 一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小, 解: 本题的解法和结果与2-1完全相同。 生产一种体积为的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省, V 2V22S,πr，2πrh,πr，h 解:设容器的底半径为，高为，则无盖圆柱形容器表面积为 ，令 rr 2VV,S,2πr,,03， 得 ， r,,h,r2rπ V3h,r由实际问题可知，当底半径与高 时可使用料最省。 r,π 2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省,(0707考题) V2hh,y解: 设底边的边长为，高为，用材料为，由已知，， xxh,V,322x 4V22y,x，4xh,x，表面积 ， x 4VV3,y,2x,,0h,令，得， 此时=2 x,4,x,2V,6422xx x,4x,4h,2由实际问题可知，是函数的极小值点，所以当，时用料最省。 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省, 解: 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。 2y,kx类型3 求求曲线上的点，使其到点的距离最短( A(a,0) 2222y,kxL,(x,a)，y,(x,a)，kx曲线上的点到点的距离平方为 A(a,0) ,2x,2a,k ， L,2(x,a)，k,0 2y,4x3-1在抛物线上求一点，使其与轴上的点的距离最短( xA(3,0) 2y,4x解:设所求点P(x，y)，则满足 ，点P 到点A 的距离之平方为 222L,(x,3)，y,(x,3)，4x ,x,1x,1令，解得是唯一驻点，易知是函数的极小值点， L,2(x,3)，4,0 x,1当时，或，所以满足条件的有两个点(1，2)和(1，,2) y,2y,,2 2y,2x3-2求曲线上的点，使其到点的距离最短( A(2,0) 2222L,(x,2)，y,(x,2)，2xy,2x解:曲线上的点到点A(2，0) 的距离之平方为 2,x,1y,,2y,2x,2令，得， 由此， L,2(x,2)，2,0 2y,2x即曲线上的点(1，)和(1，)到点A(2，0)的距离最短。 2,2 2y,x08074 求曲线上的点，使其到点A(0，2)的距离最短。 2222y,x解: 曲线上的点到点A(0，2)的距离公式为 d,x，(y,2),y，(y,2) 22d 与在同一点取到最大值，为计算方便求的最大值点， dd 222,d,y，(y,2)(d),1，2(y,2),2y,3 632,y,(d),0x,,令 得，并由此解出， 22 8 63632即曲线上的点()和点()到点A(0，2)的距离最短 y,x,,,2222 9