初三(上)数学专题辅导1—平行线的基本图形及其应用

初三（上）数学辅导——成比例的基本图形及其应用 【回顾与思考】 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 探讨：已知 中，点D、E分别为AB、AC上的点． （1）试添加一个条件，使得 和 相似； （2）在满足添加条件（一）的前提下，联结DC、BE相交于点O，那么图中还有相似的三角形吗？ 在刚刚的问题探讨中，共有六对相似的三角形，它们构成我们经常要接触的一些基本图形： 平行线型                    相交线型                          旋转型 它们之间的相互运动转化关系如图所示： 在解决相似三角形有关问题中，我们要善于发现基本图形，获得解题途径. 【例题经典】 例1、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，AD=2BD，已知 ， ． （1）用向量 、 分别表示向量 、 ； （2）作出向量 分别在 、 方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 例2、如图，矩形 的边 在 的 边上，顶点 、 分别在边 、 上．已知 ， ，设 ， ． （1）求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围； （2）联结 ，当 为等腰三角形时，求 的值． 例3、如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形的一边GF在BC上，其余两个顶点D，E分别在AB，AC上．连接AG，AF分别交DE于M，N两点． （1）求证： ； （2）求证：MN2=DM?EN； （3）若AB=AC=2，求MN的长． 例４、已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM = CN．联结MN，交直线AC于点D．设AM = x，CD = y． （1）如图，当点M在边AB上时，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）当点M在边AB上，且四边形BCDM的面积等于△DCN的面积的4倍时，求x的值． （3）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论． 期    中  复  习  卷 1．为测楼房 的高，在距楼房30米的 处，测得楼顶的仰角为 ，则楼房 的高为    （    ） ． ；      ． ；          ． ；        ． ． 2. 如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截(即：FG//BC)，若AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的          （      ）                      Ａ．             Ｂ．             Ｃ．             Ｄ． 3．已知一斜坡的坡比i=1∶2，坡面垂直高度为2米，那么斜坡长是            米． 4.如图，D是AC的中点，E在AB上，BD、CE相交于F, ,则 等于      （      ） A． ,              B． ,                C． ,                D． . 5．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，AD∶BD=1∶2，那么S△DBE∶S△CBE等于      . 6、如图， 中，∠1=∠2=∠C，那么这个图形中，相似三角形共有        对． 7.如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ:BC的值为      . 8．如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，∠A=20°，将△BCD绕点C旋转，使得CE∥AB，那么∠BCF=            度． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o， cosB= ，∠BAC的平分线AD交BC于D． （1）在图中，用尺规作的角平分线AD（保留作图痕迹，不写作法），并求出tan∠CAD； （2）若AB=10，试求△ABD的面积． 10.如图，小杰在高层楼 点处，测得多层楼 最高点 的俯角为 ，小杰从高层楼 处乘电梯往下到达 处，又测得多层楼 最低点 的俯角为 ，高层楼与多层楼 之间的距离为 ．已知 米，求多层楼 的高度．（结果精确到1米） 参考数据： ， ， ， ， ． 11．如图，在□ABCD中，E是AB上一点，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G． （1）若E是AB的中点，求证：AB=3FG；（2）求证： ． 12．如图，在梯形ABCD中，AD=1，BC=BD=8，DC=4，P是BD上一点，PD=2，在线段DC上找一点Q，使P．Q．D三点组成的三角形与 相似． （1）求PQ的长； （2）若QP的延长线交AB于N，求 的值． 13．如图，△ABC中，AB=5，AC=3，cosA= ．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.． (1) 若CE=x，BD=y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由． 22．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，P是边AB上一动点，PE⊥CD于E，PM⊥AB，交边CD于点M，AD=1，AB=5，CD=4． （1）求证：∠PMD=∠B；（2）设A、P两点间的距离为x，EM=y，求y关于x的函数 解析式，并写出它的定义域；（3）联结PD，当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时， 求AP的长． 19.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC， ， ，E为射线BD上一动点，过点E作EF∥DC交射线BC与点F，联结EC，设 ， ． （1）求BD的长； （2）当点E在线段BD上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）联结DF，若△BDF与△BDA相似，试求BF的长． 如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． (1)  若点D是BC的中点，且AP∶PD = 2∶1，求AM∶AB的值； （2）若点D是BC的中点，试证明 ． 22.（本题满分10分） 在 中，边 、 上的中线 、 相交于点 ，过点 作 ，已知 ， ，试用 和 表示 、 ． 13.（上海市2012年10分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD ，垂足为点E．己知AC=15，cosA= ． （1）求线段CD的长； （2）求sin∠DBE的值． 11．如图，四边形ABCD中，点F是BC上的点，过F作EF∥AB交AD于点E，联结DF与AB的延长线交于点G，且 °． （1）若 ，求证：AB∥DC （2）若 ∥ ，且 ， ，求 的长． 14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE． 求证：（1）△DEF∽△BDE； （2） ． 如图，在□ABCD中，G是线段CD上的任意一点，连接BG交AC于F． （1）如图1，当G是CD中点时，求证： ； （2）如图2，过F作FH//CD交BC于H.求证： ； （3）若在□ABCD中， ，G在直线CD上，且 ，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH//CD交BC所在的直线于H，求FH的长. 如图10，在△ 中，正方形 内接于△ ，点 、 在边 上，点 、 分别在 、 上，且 ． （1）求证： ； （2）求证： ． 如图，在△ABC中，BC=8，BC边上的高AM=6，EF∥BC，点E、F、D分别在AB、AC、BC上（点E与A、B不重合），连接ED，DF，设EF=x，△EFD的面积为y． （1）求y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围； （2）试问在BC上是否存在点D，使得△DEF是等腰直角三角形？ 若存在求出EF的长；若不存在说明理由． 如图，在△ABC中，AM是高，D，G分别在AB，AC上，E，F在BC上，四边形DEFG是矩形，AM=6，BC=12，若设矩形的边GF=x，DG=y． （1）请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）当x取何值时，矩形DEFG变为正方形？并求出此时S△ADG：S△ABC的值 例2．如图，在 中， ， 、 分别是边 、 上的两个动点（ 不与 、 重合），且保持 ，以 为边，在点 的异侧作正方形 . （1）当边 与 重合时，求正方形 的边长； （2）设 ， 与正方形 重叠部分的面积为 ，试求 关于 的函数关系式，并写出定义域； （3）当 是等腰三角形时，请直接写出 的长. （2009?山西）如图，已知直线l1：y= 2 3   x+ 8 3   与直线l2：y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合． （1）求△ABC的面积； （2）求矩形DEFG的边DE与EF的长； （3）若矩形DEFG沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． 25．已知△ABC为等边三角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与 A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以 点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中 D、E在BC上，F在AC上， （1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y 关于x的函数解析式及定义域； （2）当BP=2时，求CF的长； （3）△GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由.  13. 如图，等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=12，AD=4，梯形ABCD的面积为48，P是边AD上一点，联结PB、PC，M是PB边上的一动点（M与点P、B不重合），经过点M作MN∥BC，交PC于点N，设MN= . （1）用 的代数式表示△PMN的面积 ； （2）将△PMN沿MN折叠，折叠后点P的落点为 ，△ MN与四边形BCNM重叠部分的面积为 ； ①试求出 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围； ②你认为是否存在这样的 ，使重叠部分的面积 恰好等于△ABP的面积与△CDP的面积之和，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由. 在△ABC中，CA＝CB，BD为AC边上的高． （1）如图1，过点C作CE⊥AB交BD于点F，交AB于点E，若BC＝5，BD＝3， 求 的值． （2）如图2，若点P是BC边上一动点，过点P作PM⊥AB交BD于点N，交AB于点M，设 ， ，求y与x的函数解析式． 25. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，CD与AE相交于点F， 点G在边BC上，DG//AE，CE=1，BE=3，BD=2，AD=4． （1） 求GE的长； （2） 求 的值； （3） 设DG=x,CF=y，求 关于 的函数解析式，并写出定义域． 19．如图，在△ABC中，BC=8，CA= ，∠C=60°，EF∥BC，点E、F、D分别在AB、AC、BC上（点E与A、B不重合），连接ED，DF，设EF=x，△EFD的面积为y． （1）求y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围； （2）试问在BC上是否存在点D，使得△DEF是等腰直角三角形？若存在求出EF的长； 若不存在说明理由． 21．已知△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6． （1）如图1，点D为边AC上任意一点，点E在边AB上，且△ADE与△ABC相似． ① 请在图1中画出所有符合题意的△ADE(不必尺规作图)； ② 若AD=m，试用m的代数式表示AE的长； （2）点M、N分别在边AB、BC上，且△BMN与△ABC相似，若AM=x，试求当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围（请写出必要的解题过程）． 18．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC= AB，P是边AC上的一个点，AP= PD，∠APD=∠ABC，联结DC并延长交边AB的延长线于点E． （1）求证：AD∥BC； （2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由． 25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分5分） 如图七，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(-4, 0)，点M、N分别为线段AC和 射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P． (1)求证：MN∶NP为定值； (2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长． 25．证明：(1) 过点N作NH⊥x轴于点H，…………………1分 设AN=5k，得：AH=3k，CM=2k ①　当点M在CO上时，点N在线段AB上时： ∴OH=6-3k，OM=4-2k， ∴MH=10-5k， ∵PO∥NH，∴ ………………2分 ②　当点M在OA上时，点N在线段AB的延长线上时： ∴OH=3k-6，OM=2k-4，∴MH=5k-10， ∵PO∥NH∴， ………………2分 解：(2) 当△BNP与△MNA相似时： ①　当点M在CO上时，只可能是∠MNB=∠MNA=90°， ∴△BNP∽△MNA△∽BOA， ， ， ， ……2分 ②　当点M在OA上时，只可能是∠NBP=∠NMA，∴∠PBA=∠PMO， ∵ ∴ ，矛盾∴不成立. ………………………2分 (3) ∵ ， ，∴ ， ， ①　当点M在CO上时， ， (ⅰ) ， ， ， ………………………1分 (ⅱ) ，则 ，∵ ，矛盾∴不成立…1分 (ⅲ) ，则 ∵ ,  ，∴ 又∵ ，可证△ 为等腰三角形， ∴ ，∴ ，∴ ， ……………………………1分 ②　当点M在OA上时， ， (ⅰ) ， ， ， ………………………1分 (ⅱ) 或 ∵ ，∴不成立．…………………………1分 例４、如图，在梯形ABCD中， ， ， ， ，点 由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交 于Q，连接PE．若设运动时间为 （s）（ ）．解答下列问题： （1）当 为何值时， ？ （2）设 的面积为 （cm2），求 与 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出此时 的值；若不存在，说明理由． 6. 已知平行四边形ABCD中，AB=1，E是射线DC上一点，直线AC、BE交于点P， 过点P作PQ∥AB，PQ交直线AD于点Q， （1）当点E是DC中点时（如图17），求线段PQ的长度； （2）当点E在线段DC上运动时，设 ， ，求y关于x点函数解析式； （3）当DE的长度为多少时， . 6.解：（1）∵平行四边形ABCD，AB=1 ，∴CD=1， ∵E为CD中点 ， ∴CE=DE= . ∵PQ∥DC， ∴ .                            ∵ ，∴   ， ∴ ，即 。 （2）由DE=x，则EC=1-x ∵PQ∥DC， ∴ ，  ∵ ， ∴ ∴ （ ） （3） ⅰ）点E在线段DC上时，根据 ，又 ∴ ，即 ，解得 . 又   ∴ ⅱ）点E在线段DC的延长线上，且点P在线段AC的延长线上时， DE=x， EC=x-1， PQ=2x ∵PQ∥AB∥DE，  ∴ ， 又 ，即   解得 ， 又   ∴   . ⅲ）当点E在线段DC的延长线上， 且点P在线段AC的反向延长线上时， DE=x， EC=x-1， PQ=2x ∵PQ∥AB∥DE，  ∴ ， ∴ ，∴   解得   又 ，  ∴  . 综上，符合条件的DE的长度可以为 . （图17）