第五章 数学物理方程和定解条件的导出
5-1 波动方程的定解问题 作业及
答案
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1. 一长为
的均匀细杆,
端固定,另一端沿杆的轴线方向被拉长
后静止(在弹性限度内),突然放手任其振动,写出振动方程与定解条件。
解:
1 方程:
2 边界条件
3 初始条件
2. 一根均匀柔软的细弦沿
轴绷紧,垂直于平衡位置作微小的横振动,求其振动方程。
解:应用牛顿定律于纵向及横向。
1 纵向。由纵向加速度为零
积分
2 横向
3. 长为
的弦两端固定,密度为
,开始时在
处受到冲量
作用,写出初始条件。
解:1.初始条件
1)初位移,
时弦来不及振动,故
2)初速度,在
段,由动量定理:
,而动量的变化为
,将两式联立,有
在
段,没有受到外界作用,故
4. 长为
的均匀细杆,在振动过程中
端固定,另一端受拉力
的作用,试写出边界条件(杆的横截面积为
,杨氏模量为
).
解:我们取
和
段进行研究,设杆的体密度为
,
对于
段,由牛顿第二定律有:
由胡克定律
当
有
即
对于
段有
当
有
故其边界条件为
5. 线密度为
长为
的弦,两端固定,在某种介质中作阻尼振动,单位长度的弦所受阻力
,试写出其运动方程。
解:任取
一小段弦进行研究,由牛顿定律在垂直方向有
水平方向有
我们研究的范围限于微小振动
亦即
且
因为
这项很小,可以忽略不计
所以
令
故运动方程为: