相似三角形经典难题 相似三角形难题
7、(2008年江苏省南通市)如图，四边形ABCD中，AD,CD，?DAB,?ACB,90?，过点D作DE?AC，垂足为F，DE与AB相交于点E. (1)求证:AB?AF,CB?CD (2)已知AB,15cm，BC,9cm，P是射线DE上的动点.设D…
相似三角形 一、构造相似辅助线——双垂直模型 1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45?，求这个正比例函数的
表
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达式( 2.在?ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作?…
1(如图2，在?ABCD中，E是BC的中点，且 ?AEC=?DCE，则下列结论不正确的是 ( ) ((( A、S?AFD=2S?EFB B、 C、四边形AECD是等腰梯形 D、?AEB=?ADC 2(、Rt?ABC的两条直角边分别为3 cm、4 c…
7、(2008年江苏省南通市)如图，四边
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形ABCD中，AD,CD，?DAB,?ACB,90?，过点D作DE?AC，垂足为F，DE与AB相交于点E. (1)求证:AB?AF,CB?CD
(2)已知AB,15cm，BC,9cm，P是射线DE上的动点.设DP,xcm(x,0)，四边形BCDP
2
的面积为ycm.
?求y关于x的函数关系式;
?当x为何值时，?PBC的周长最小，并求出此时y的值. (1)由AD=CD，AC?DF，
?DF是AC的垂直平分线，即AF=FC 又?ABC中，?ACB=90?，?ADE中，?DAE=90?，
?CAB+?DAC=90?，?DAC=?DCA，并且
?DCA+?CDF=90?，
??CAB=?CDF，??ABC??DFC，?AB:CD=BC:CF ?AB:CD=BC:CF=BC:AF，即AB*AF=CD*CB
(2)?因为DE‖BC，?四边形BCDP是平行四边形。
AC,?(15?,9?),12，CF,12×1/2,6，Y,1/2*(9，x)×6,3x，27 ??AD=DC，??PAC为等腰三角形，
?PC=PAS?PBC=PC+PB++BC=PA+PB+BCBC固定为9，?当P点与E点重合时，PA+PB最小，为一条直线即AB
?x=DE ?AEF??ADE AF=6，AE=7.5 ?EF=4.5
2
?DE/AE=AE/EF推出DE=12.5?x=12.5cm 此时y=3(9+x)=64.5cm?
8、(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相
交于点M，CG与AD相交于点N( 求证:(1)AE CG;
(2)AN DN CN MN.
1、?四边形ABCD，DEFG都是正方形 ?CD=AD ;DG=DE ?ADC=?GDE=Rt? ??ADG为公用角
?,?ADC，?ADG=?ADE,=,?GDE，?ADG=?CDG, ??ADE??CDG ?AE=CG
2、??ADE??CDG ??NCD=?NAM
??MNA=?DNC,对顶角相等, ?三角形的内角和是180? ??AMN=?CDN=Rt? ??AMN??CDN
?AN?CN=MN?DN,相似比相等,
?AN?DN=CN?MN
10、(2008 湖北 恩施) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG
摆放在一起，A为公共顶点，?BAC=?AGF=90?，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、
3
AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. (2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
(3)以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面
直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验
证BD，CE=DE.
(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD，CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若
不成立,请说明理由.
2
2
2
2
2
2
12、(08山东省日照市)在?ABC中，?A,90?，AB,4，
4
AC,3，M是AB上的动点(不与A，B重合)，过M点作MN?BC交AC于点N(以MN为直径作?O，并在?O内作内接矩形AMPN(令AM,x(
(1)用含x的代数式表示?,NP的面积S; (2)当x为何值时，?O与直线BC相切,
(3)在动点M的运动过程中，记?,NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少,
过M点作MQ?BC 于Q，则
在Rt?BMQ与Rt?BCA中，?B是公共角， ??BMQ??BCA，
，
?，
?，，
?x=，
?当x=时，?O与直线BC相切。
(3)随点M的运动，当P点落在直线BC上时，如图3，连结AP， 则O点为AP的中点， ?MN?BC，
??AMN=?B，?AOM=?APC， ??AMO??ABP，
?，AM=MB=2，
故以下分两种情况讨论:
5
?当0,x?2时，;
?当x=2时，;
?当2,x,4时，如图4，设PM，PN分别交BC于E，F，
?四边形AMPN是矩形， ?PN?AM，PN=AM=x， 又?MN?BC，
?四边形MBFN是平行四边形， ?FN=BM=4-x， ?PF=x-(4-x)=2x-4， 又?PEF??ACB，
?，
?，
，
当2,x,4时，，
?当时，满足2,x,4，，
综上所述，当
时，y值最大，最大值是2。
7、(2008年江苏省南通市)如图，四边形ABCD中，AD,CD，?DAB,?ACB,90?，过点D作DE?AC，垂足为F，DE与AB相交于点E. (1)求证:AB?AF,CB?CD (2)已知AB,15cm，BC,9cm，P是射线DE上的动点.设D…
7、(2008年江苏省南通市)如图，四边形ABCD中，AD,CD，?DAB,?ACB,90?，过点D作DE?AC，垂足为F，DE与AB相交于点E. (1)求证:AB?AF,CB?CD (2)
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已知AB,15cm，BC,9cm，P是射线DE上的动点.设D…
7、(2008年江苏省南通市)如图，四边形ABCD中，AD,CD，?DAB,?ACB,90?，过点D作DE?AC，垂足为F，DE与AB相交于点E. (1)求证:AB?AF,CB?CD (2)已知AB,15cm，BC,9cm，P是射线DE上的动点.设D…
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