实变函数试卷3评分标准
曲 靖 师 范 学 院
X?X学年第X学期数学与应用数学专业XXXX班
《实变函数》期末考试评分标准(3)
一、填空
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(主要考查基本概念和基本知识的掌握程度。共10小题,每小题
3分,满分30分)
1( 2( 3( (0,3){0}fxabx:,,
AA,A4(是闭集(或或) 5(1 6(0 ,A,A
22*c{(,)1}xyxy,,7( 8( 9(0 10( mAE()
二、辨析题(主要考查基本知识的掌握、运用和判断分析能力。共3小题,
每小题10分,满分30分)
1. 主要考查可测集可测的充要条件的掌握情况。
答:此命题不正确. „„„„„„„„„„„„„„„„„„(2分)
E正确命题是“若有界集满足:对任意的,存在开集 ()GE,,,0G
E与闭集FFE(),,使得mGF(),,,,则一定可测”. „„(3分)
E证明:若有界集满足:对任意的,存在开集()GE,与闭集,,0G
FFE(),,使得mGF(),,,,则;„„„„„(5分) mGmF,,,
**mFmEmEmG,,, 又因为,所以, „„„„(8分) mEmE,,,**
**mEmE,mEmE, 由的任意性,得到,而根据测度的性质有,,**
*EmEmE,因此得到,即可测. „„„„„„„„„„„(10分) *
2. 主要考察简单函数和可测性质的关系掌握的情况。
1
答:此命题正确. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2分)
E证明:已知、是可测集上的两个可测函数 „„„(3分) fx()gx()
据可测函数的定义,分别令和是可测集,其中, Ef(),,E(g,,)
、„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(6分) ,,R,,
不妨设,则= „„„„„(8分) ,,,Ef(),,,E(g,,)E(f,g)
又因为和是可测集,则上式左边的交集是可测的 Ef(),,E(g,,)
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(9分)
因此,不论如何取值,均为可测集. „„„„„„(10分) Efg(),,
3(主要考查可测集的性质掌握的情况。
答:此命题正确. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2分)
AA,AA,证明:因为,由可测集的性质可得可测, „„(3分) 1221
AA,A因此,显然与互不相交,„„„„(6分) AAAA,,()2112211
mAmAmAA,,,()故, „„„„„„„„„„„„„„„(8分) 2121
mAmA,而任意可测集的测度是非负的,因此.„„„„„„(10分) 12
三、计算题(主要考查基本知识的掌握情况和正确计算的能力。共2小题,
每小题10分,满分20分)
1. 主要考查对勒贝格积分计算的能力。
nx 解:令,„„„„„„„„„„„„„„(1分) ()sinfxnx,n221,nx
122 因为12,,nxnx,所以 „„„„„„„„„„„(4分) fx,()n2
2
由勒贝格控制收敛原理得到
nxnx11==0. „„„„„(10分) sinnxdxsinnxdxlimlim,,022220n,,n,,1,nx1,nx
2. 主要考查应用勒贝格控制收敛定理计算勒贝格积分的能力。
nn,111111xnxnIdxdx,,,,Idx解:令,则„„(3分) nn2,,,00023(2),,xx2,x
nx因为,所以=0,„„„„„„„„„„„(5分) 0,x,1lim2n,,(2),x
由勒贝格控制收敛原理得到
nn1xx1dxdx==0,„„„„„„„„„„(8分) lim,lim022,0n,,n,,,x(2)(2),x
n,11nx11dx=0=. „„„„„„„„„„„„„„„(10分) ,lim,0n,,2,x33
四、证明题(主要考查综合运用知识以及证明推理的能力。共2小题,每小
题10分,满分20分)
1. 主要考查集合对等的证明及对等知识的掌握程度。
,,
()AB,A 证明:设任意的x,,则对任意的,x,且nN,nnn,,nn11
,
Bx, „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2分) :nn,1
,
AxB,所以,x,且对任意的,, „„„„„„„„(3分) nN,:nnn,1
,
ACBx,且对任意的,x,,„„„„„„„„„„(5分) nN,:nnn,1
3
,,
ACB即且,„„„„„„„„„„„„„„„(6分) x,x,::nnn,1n,1
,,
ACB()所以,„„„„„„„„„„„„„„„(7分) x,nn11nn,,
,,,,
()AB,ACB()则, „„„„„„„„„„(8分) ,nnnn,,nn1111nn,,
,,,,
ACB()()AB,依据可逆性可得,因此原命题成立. ,nnnn,,11nn11nn,,
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(10分)
2. 主要考查依测度收敛问题的证明掌握的情况。
fx()证明:要证依测度收敛于,只须证明:对,有 gx(),,,0n
lim{:}0mxfg,,,,. „„„„„„„„„„„„„„„„(2n,,n
分)
因为,有, {:}{:{()()}{:}xfgxfxgxxff,,,,,,,,,,,0nn
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(5分)
由题设知,mxfxgx{:{()()}0,,, „„„„„„„„„„„(6分)
因此,, „„„„„„„(7分) mxfgmxff{:}{:},,,,,,,nn
fx()fx()又因为依测度收敛于,因此取极限得 n
lim{:}lim{:}0mxfgmxff,,,,,,,,,„„„„„„(9分) nn,,,,nn
fx()gx()所以,依测度收敛于.„„„„„„„„„„„„(10分) n
4