【word】 相对论哈密顿-雅可比方程及其应用

【word】 相对论哈密顿-雅可比方程及其应用 相对论哈密顿-雅可比方程及其应用 第31卷第3期 2012年3月 大学物理 COLLEGEPHYSICS Vo1.3lNO.3 Mar.20l2 相对论哈密顿一雅可比方程及其应用 赵诗华,朱琴 (1.中国矿业大学(北京)理学院,北京100083;2.北京市昌平第二中学,北京102208) 摘要:利用相对论哈密顿一雅可比 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求出了电子在激光场中的相对论性运动方程的解析解.并且在电子与激光脉冲散 射的实验室参照系,电子初始静止参照系,电子平均静止系中,对于给定的任意椭圆偏振的激光场,得到了解析 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式. 关键词:矢势;哈密顿一雅可比方程;边条件;运动方程 中图分类号:TN201文献标识码:A文章编号:1000-0712(2012)03—0020-04 通过求解哈密顿一雅可比方程,从而得到力学 问题的解,这就是经典力学中的哈密顿一雅可比方 法..为计算电子在激光场中的辐射,需要知道电 子的运动方程,本文考虑的即是这个问题.当激光脉 冲的强度很高时,电子将作相对论性运动,此时必须 考虑磁场的作用,因此要采用相对论形式的哈密顿 一 雅可比方法求解电子运动方程. 1哈密顿一雅可比方法 一 个电荷为e,静止质量为m的带电粒子在电 磁场中运动,则相对论形式的哈密顿一雅可比方 程为 【S(r,t)一eA]c2+m2c4=【旦三+e] (1) 其中A为电磁场矢势,为标势,s是哈密顿主 函数. 考虑电子被激光脉冲散射的情形,此时e= 一 1.6022~10C,标势=0.假定入射激光是任意 椭圆偏振的横向平面波,波矢为k,频率满足: cIkl=ck,而洛伦兹不变相位77可表为叼=wt-k?,, 并且设激光场矢势是叼的周期函数,在电子与激光 束相互作用前后为零,在t:0时刻脉冲到达原点, 于是矢势可写为 A(,,)=A()(2) 将式(2)代入式(1),电子运动的哈密顿一雅可比方 程化为 [VS(r,t)一(叼)]一吉()2c2=0 (3) 首先我们注意到当外场A=0时,式(3)的解是 显然的,为 5(,,t)=ao?r+0ct(4) 由于在哈密顿一雅可比方程中仅出现s的偏微商, 因此式(4)略去了一个无关紧要的任意常数项,而 常矢量口.和常数19”.需满足条件 o 2 , a=mc(5) 这就是说在自由粒子情形,该粒子的四动量为 (一.,a.),哈密顿主函数S是四动量与四矢径的标 量积.由于A仅仅是相位77的函数,哈密顿主函数 也必将包含依赖于相位的部分,受式(4)启发,我 们寻求如下形式的解, s(r,t):口?r+~rct+()(6) 其中a和由初始条件确定,并且为了方便起见, 下文的讨论中均将初始时刻取为f:0,此时电子位 于原点,即r0=0.函数(77)由式(3)确定.将式(6) 代入式(3)有 ?c叼,]一+挚22c2=. (7) 消去的导数平方项,并应用横向条件A?k:0,得 到的一阶微分方程: d : 芝亮Cak+o’k?c,n,d卵2(?) 以叼.表示初相位,积分可得 收稿日期:2011—05—20;修回日期:2011—08-26 基金项目:本工作受中央高校基本科研项目(2009QS03)业务费资助 作者简介:赵诗华(197l一),男,北京人,中国矿业大学(北京)讲师,博士, 主要从事激光等离子体的研究工作 第3期赵诗华,等:相对论哈密顿一雅可比方程及其应用21 =a.0-2+ m 2 c 2 - 2—e—口?A+!A.1d叼(9) CC一/ 将代入式(6),即得到哈密顿主函数的解.将 主函数对常矢量a微商并令其等于初始坐标就得到 电子的运动方程: s:,.:,.c叩+:.—a-eA(r1)d叩一 n一0- .+m2C2-- 2e口?A(叼)+A.(叼) —— 2ak—+0-k d叼J .(?) (10) 其中V表示对矢量a的各分量的偏导.将主函数对 0-微商并利用A?k=0就得到,一rn的表示: =一 k ? (r-ro)一?(-rto)(11Tr-ro)...一’)一()) 这其实就是上文的洛伦兹不变相位卵,在本文的计 算中取t.=0. 将主函数对坐标微商得到正则能动皇ll_: P… :p+~---A=VS: n 2 一 +m2C2-- 2?n?A(叩)+三(叩) ———————一 (12) 利用式(12)可将能量表为 E:一蔷一k?(a-P…)](13) 根据加在电子上的初始条件’可以确定解的 具体形式,下文考虑3种有代表性的情形:电子初始 静止的参照系;电子平均静止的参照系;电子与脉冲 任意角度散射的实验室参照系. 2不同参照系中的运动方程 电子初始静止的参照系(以下简称e系,并 用下标e标记)中,在激光束到达之前电子静止于原 点,即为在t.=0时电子的坐标,.=0,此时激光脉冲 即将到达,场的矢势A(0一)=0,电子初始动量P.= P.=0,初始能量E.=mc,由式(12)得到 .=口一乏二(4)..e ?(‘ 可见a没有横向分量.将初始条件代入式(13)即得 mc2 =一c (+ke?Oe)(15) 故a的纵向分量满足 毕:一(16)rrtc—一十=一【 式(14)和式(16)是加在a和or上的所有限制条 件,不失一般性,可取a=0和or=一mC以简化计 算,这样方程(10)变为 o-,)+ C 七 mc d J一?mJ一? (17) 于是我们就得到了电子初始静止系中的电子运动 方程: 【mc一等cJ一?L二,孔J (18) 将a和代入式(12)和式(13),可解得电子的动 量为 pin卜(菱k(19) 而电子的能量为 E(叼):,孔c[+](2.) 式(18)一式(20)给出了e系中电子运动方程的完 整解. 当电子处于激光场中时,电子平均动量为零的 参照系(以下简称R系,用下标R标记)是一个 非常有用的参照系.我们将此参照系相对于e系的 速度记为/5,称为漂移速度,并取远大于光学周期 2rr/w而小于脉宽的时间作时间平均,则有 (p(r/))一(E(r/)):0(21) 解得 , R系中电子运动方程可通过对式(10)和式 (13)加上相应的边条件来确定新的a和0-而导出. 将R系初始条件(P)=0应用于式(12),得到 n一+mc+(A(77))n一+m.c+—<.(77), n—_一(23) 因此a也没有横向分量,并满足限制条件 (?aR+0-R)=一m2c+2()1/2=c (24) 其中m满足m—c=(E)一(p)C.我们可取a=0 22大学物理第31卷 和or=一mC以简化计算.t.=0时电子位于原点, 由式(12)可得电子在R系中的运动为 r(叼):一?rA(叼)dr/’+ 厂[A2(r/’)-(A2(r/’))]d叼r(25) 可见电子在横向按照矢势A(田)的频率振动,而纵 向振动为其2倍频,因此r(叼)是两个简谐振动的 叠加.通过洛伦兹变换,R系中激光束频率可用e系 频率的多普勒频移表示为 2 :? 2『1+1(26) 接下来我们考虑最为一般的情形,即电子与激 光脉冲散射的实验室参照系(以下简称L系,相应 物理量用下标L标记)中电子的运动.初始时刻电 子位于原点,初始动量为P,激光场矢势为0,代入 式(12)有 矗(27PLo+kL,口}) 将口和p沿垂直和平行于脉冲传播方向分解为横 向的a,P和纵向的a?LD?矢量,即 aL=口L?+口L上,PL0=pL0?十pLD上(28) 横向的a,P?矢量垂直于k,则由式(27)有 aLi=pL0(29) 根据式(13),我们得到 . kL ~L+aLT:.一(3o)’ L PLO…k(3u) L 式(29)和式(30)即为实验室系中加在口和上的 所有限制.因此我们可取a?等于0,即a是横向 的,aL:p,而L:pLo?kL/kL-E/c以简化计算, 代入式(12),电子在L系中的运动方程为 ,():』(!;)d叼+ 』[()2+().一?(3) 其中如上所述,并且电子的轨迹被表为横向与纵 向的叠加. 3给定激光场矢势的结果 以上讨论了激光场中电子运动的一般情形,下 文我们对给定的矢势来讨论具体结果.如图1所示 的沿+z方向传播的任意椭圆偏振的平面波,其矢势 可表为 xf =Ao(~~cosecos” —一 图1沿+方向传播的任葸椭圆偏振的激光场 A(叩)=A0(PCOS8C08r/+esingsin)(32) 其中ex和ey是横向单位矢量,z方向单位矢量=k/ ,常数表征偏振度.线偏振对应于=0,+~r/2,竹, 而圆偏振为=~’rr/4,~3~r/4.为方便起见,记无量 纲激光强度参数为a.:e2A/(2mC),并定义参数b 如下: 62=(33) 将式(32)代入式(25),得到R系中电子运动 方程 kara=-2b[e~cos占sinr/-ersin(c.s一1)】+ P;cos2esin2r/(34) 对于线偏振激光,取COS=1,由式(34),有 jcRR=一2bsin叼,kRR=sin2r/(35) 消去叼即得R系中的轨迹方程 162Rz 2 R= 2 R 2 R(4b一2R2R)(36) 轨迹式(36)为平面内的”8字形”,,图2给出 了6分别为0.1,0.2和0.3时的轨迹曲线. 同样的对于e系,计算可得电子运动方程为 r . : (一…sn叼)n(cos一1)】+ ?n2:(叼+吉c.s2n2)(37) 对于L系的表述稍复杂,为此引入电子归一化 初始速度=VLO/c和洛伦兹因子=1/?1, 并代入=p-EL./c,计算可得在L系的结果为 k—LXL=‘ 1 卢 - Fo~卵一c.ssin叩(38)’卵一:丽..”叩) =+sin占(cosr/-1)(39)