226. (彬州市)如图(1)，抛物线与y轴交于点A，E(0，b)为y轴上一动点，yxx,，,4
yxb,，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
(1)求点A的坐标;
(2)当b=0时(如图(2))，ABE与的面积大小关系如何,当时，上述关ACEb,,4系还成立吗，为什么,
(3)是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b;若BOC
不存在，说明理由.
yy
C C
EE OOxBxB
AA
图(1) 图(2)
第26题
26. (1)将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为(0，,4)…………………..2分
yx,x,2x,,2,,,12(2)当b,0时，直线为yx,，由解得， ,,,2y,2y,,2yxx,，,4,12,,
所以B、C的坐标分别为(,2，,2)，(2，2)
11， S,，，,S,，，,424424ABEACE22
(利用同底等高说明面积相等亦可) …………………..4分 所以SS,ABEACE
b,,4当时，仍有成立. 理由如下 SS,ABEACEy
,,yxb,，xb,，4xb,,，4,C,,12G由，解得， ,,,2yxx,，,4ybb,，，4ybb,,，，4,,,R1,,2BOF所以B、C的坐标分别为(,，,+b)，(，+b)， b，4b，4b，4b，4
QBFy,CGy,作轴，轴，垂足分别为F、G，则， BFCGb,,，4
ABEACE而和是同底的两个三角形，
所以. …………………..6分 SS,ABEACE
(3)存在这样的b.
BFCG,BEFCEG,BFECGE,，,，，,，,:90因为 所以 BEFCEG,
所以，即E为BC的中点 BECE,
所以当OE=CE时，为直角三角形 …………………..8分 OBC
因为GEbbbbGC,，，,,，,44
所以 ，而OEb, CEb,,，24
24,，,bb所以，解得， bb,,,4,212
所以当b,4或,2时，ΔOBC为直角三角形. ………………….10分
1225.(常德)如图9，已知抛物线轴交于点A(-4，0)和B(1，0)两yxbxcx,，，与2
. 点，与y轴交于C点
(1)求此抛物线的解析式;
BEF(2)设E是线段AB上的动点，作EF?AC交BC于F，连接CE，当CEF的面积是面
积的2倍时，求E点的坐标;
(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运
动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.
y
A O B x
C
图9
12A(4,0),B(1,0)25(解:(1)由二次函数与轴交于、两点可得: xyxbxc,，，21,23(4)40,,，,bc，,,b,，,,2 解得: 2,,12,,c,,2(,，，,10bc(,,,2
132 故所求二次函数的解析式为( ………………3分 yxx,，,222
BF1BF1(2)?S=2 S, ? ………………4分 ??,,,.CEFBEFCF2BC3
?EF//AC, ?, ，,，，,，B,EFBACBFEBCA
??BEF,?BAC, ………………5分
BEBF15?得 ………………6分 BE,,,,,3BABC3
2故E点的坐标为(,0). ………………7分 ,3
(3)解法一:由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为(0，,2)(若设直线yCCAC
1,,,，20,bk,,,,,ykxb,，的解析式为，则有 解得: 2,,04,,，kb(,,b,,2(,
1故直线的解析式为( ………………8分 ACyx,,,22
13,,2Q若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线PPyaaa,2，,,,22,,
1Q的交点，则点的坐标为((则有: ACaa,2),,2
131122 , PQaaa,,，,,,,[(2)](2),,aa22222
12, ,，，a22，，2
PQ即当时，线段取大值，此时P点的坐标为(,2，,3)………10分 a,,2
PQPQ解法二:延长交轴于D点，则PDAB,(要使线段最长，则只须?APCx
的面积取大值时即可. ………………8分
P设点坐标为(，则有: x,y)00
SSS,，,S APCADPACO梯形DPCO
111 , ADPDPDOCODOAOC,，，,,,()222
111 , ,,，,，,,,，，xyyyx2242，，，，00000222
,,,24yx ,00
13,,2, ,，,,,224xxx000,,22,,
222, ,, x，，24,,xx4，，000
x,,2PQP即时，?的面积取大值，此时线段最长，则点坐标 APC0
为(,2，,3)
225((长沙)已知:二次函数的图象经过点(1，0)，一次函数图象经过原yaxbx,，,2
ab,,0b点和点(1，,b)，其中且、为实数( a
(1)求一次函数的
表
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达式(用含b的式子表示);
(2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点;
(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x、x，求| x,x|的范围( 1212
25(解:(1)?一次函数过原点?设一次函数的解析式为y=kx ?一次函数过(1，,b) ?y=,bx ……………………………3分
2(2)?y=ax+bx,2过(1，0)即a+b=2 …………………………4分
ybx,,,由得 ……………………………………5分 ,2ybxbx,,，,(2)2,
222? ??, axax，,,,2(2)204(2)84(1)120,，,,，,aaa
?方程?有两个不相等的实数根?方程组有两组不同的解
?两函数有两个不同的交点( ………………………………………6分 (3)?两交点的横坐标x、x分别是方程?的解 12
,22(2)24aa,,? xx,xx，,,1212aaa
248164aa,，22?, xxxxxx,,，,()4,,，(1)31212122aa
或由求根公式得出 ………………………………………………………8分 ?a>b>0，a+b=2 ?2>a>1
42令函数 ?在1
标准
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给分(
24((芜湖)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为
A(0，1)、B(,33，1)、C(,33，0)、O(0，0)(将此矩形沿着过E(,3，
431)、F(,，0)的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′( 3
(1)求折痕所在直线EF的解析式;
(2)一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式;
(3)能否在直线EF上求一点P，使得?PBC周长最小,如能，求出点P的坐标;若不能，说明理由(
解:
四、(共12分)(成都)
2AAB、28(在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点yaxbxc,，，xxOy
(30),，BAyCAC、在点的左侧)，与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线
yx,,2沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线( ykxb,，1
AC(1)求直线及抛物线的函数表达式;
,ABPAC,BPC(2)如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且SS,ABP,BPC
，求点P的坐标; SS:2:3,,,ABPBPC
3)设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐(QQQ标轴相切的情况,若存在，求出圆心的坐标;若不存在，请说明理由(并探究:若设?QQ
的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，?Q与两坐轴同时相切, rrQ
224.(恩施)(12分) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与xy,x，bx，c
轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，-3)
点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式(
/(2)连结PO、PC，并把?POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，
/使四边形POPC为菱形,若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由( (3)当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
图11
3b，c,0,24、 解:(1)将B、C两点的坐标代入得 ……………………2分 ,c,,3,
b,,2,解得: ,c,,3,
2所以二次函数的表达式为: ……………………………3分 y,x,2x,3
/2x,2x,32)存在点P，使四边形POPC为菱形(设P点坐标为(x，)， (
/PP交CO于E
/若四边形POPC是菱形，则有PC,PO(
/连结PP 则PE?CO于E，
3?OE=EC= 2
?
3=(…………………………………………………6分 y,2
23x,2x,3?= ,2
2，102,10解得=，=(不合题意，舍去) xx1222
2，103?P点的坐标为(，)…………………………8分 ,22
2x,2x,3(3)过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P(x，)， y
y,x,3易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为(x，x,3).
111 S,S，S，S,AB,OC，QP,OE，QP,EB,ABC,BPQ,CPQ四边形ABPC222
112 ,，4，3，(,x，3x)，322
23375,,= ……………10分 ,x,，,,228,,
3当时，四边形ABPC的面积最大 x,2
315,,此时P点的坐标为，四边形ABPC的 ,,,,24,,
75面积( ………………12分 的最大值为8
25.(晋江)(13分)已知:如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，OCBAOC,3BC,2
取AB的中点M，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到MC,MBCOCx
. ,DAO
(1)试直接写出点D的坐标;
BPD(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过
PQ,xQP作轴于点，连结. 点OP
QPP?若以、、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标; O,DAO
TTO,TB?试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.
y
M A B
x O C
25.(本小题13分)
解:(1)依题意得:
3,,y D,,2;…………………………………,,2,,
………………(3分) P
M (2) ? ?OC,3，BC,2，?. ，，B3,2A D B
?抛物线经过原点，
2?设抛物线的解析式为 y,ax，bx，，a,0
3,,x O E C Q D,,2又抛物线经过点与点 ，，B3,2,,2,,
T
4,9a，3b,2,a,,,,,,9? 解得: ,93,2a,b,2,,b,,42,,3,
422?抛物线的解析式为.…………………(5分) y,x,x93
P?点在抛物线上，
42,,2Px,x,x?设点. ,,93,,
422x,xPQQO51x93,PQO?，则,， ，解得:(舍去)或， 1)若,DAOx,x,0,213DAAO162
2
51153,,P,?点.………………………………………………………………(7分) ,,1664,,
422x,xOQPQ9x93,OQP,2)若?，则， ，解得:(舍去)或， ,DAOx,x,0,213DAAO22
2
9,,P,6?点.……………………………………………………………………(9分) ,,2,,
TTOTB,?存在点，使得的值最大.
3422Ex,抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点y,x,xx493
3,,E,0.………………………………………………………………………(10分) ,,2,,
3Ex,?点O、点关于直线对称， 4
?TO,TE……………………………………………………………………(11分) TO,TBTE,TB要使得的值最大，即是使得的值最大，
TEBTE,TB根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值
最大. ……………………………………………………………………………(12分)
y,kx，bBE设过、两点的直线解析式为， ，，k,0
3k，b,2,4,,k,,,,A? 解得: 3,3,k，b,0,,b,,22,,
4?直线BE的解析式为. y,x,23
D343当x,时，. y,，,2,,1434BCM
3,,T,,1?存在一点使得TOTB,最,,P4,,EH大.………………………(13分)
Q
22.(满分14分)(福州)
yx,2如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，x
12OA=5。若抛物线过点O、A两点。 yxbxc,，，6
(1)求该抛物线的解析式;
yx,2(2)若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由; (3)如图2，在(2)的条件下，?O是以BC为直径的圆。过原点O作O的切线OP，P11为切点(P与点C不重合)，抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O相切,若1存在，求出点Q的横坐标;若不存在，请说明理由。
28.(兰州)(本题满分11分)如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在
2y,,x，bx，cx轴、y轴上，且AD=2，AB=3;抛物线经过坐标原点O和x轴上另一
点E(4,0)
(1)当x取何值时，该抛物线的最大值是多少,
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平
行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0?t?3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
11t,4? 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由;
? 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的
坐标;若无可能，请说明理由(
图1 第28题图 图2
28. (本题满分11分)
2y,,x，bx，c 解:(1)因抛物线经过坐标原点(0,0)和点 OE(4,0)故可得c=0,b=4
2y,,x，4x所以抛物线的解析式为…………………………………………1分
22yx,,,，24，，y,,x，4x由
得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分
(2)? 点P不在直线ME上.
已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，
设直线ME的关系式为y=kx+b.
k,,24k，b,0,,,,b,82k，b,4,,于是得 ，解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分
11111111t,P(,)4444由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分 ? P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.
11t,4? 当时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ?以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
? 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
? OA=AP=t.
2? 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t+4t) …………………………………6分
2? AN=-t+4t (0?t?3) ,
2 2 2? AN-AP=(-t+4 t)- t=-t+3 t=t(3-t)?0 , ? PN=-t+3 t …………………………………………………………………………………7分
(?)当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形
11
22的高为AD，? S=DC?AD=×3×2=3.
(?)当PN?0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
? PN?CD，AD?CD，
11
2 222? S=(CD+PN)?AD=[3+(-t+3 t)]×2=-t+3 t+3…………………8分
2当-t+3 t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分
而1、2都在0?t?3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t=1时，此时N点的坐标(1,3)………………………………………10分
当t=2时，此时N点的坐标(2,4)………………………………………11分
说明:(?)中的关系式，当t=0和t=3时也适合.(故在阅卷时没有(?)，只有(?)也可以,不扣分)
28((甘肃)(12分) 如图，抛物线与x轴交于A(,1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，,3)，设抛物线的顶点为D(
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗,为什么,
(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与?BCD相似,若存
在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标;若不存在，请说明
理由(
28(本小题满分12分
2解:(1)设该抛物线的解析式为， y,ax，bx，c
由抛物线与y轴交于点C(0，,3),可知c,,3.
2即抛物线的解析式为( ………………………1分 y,ax，bx,3
ab,,,30,,把A(,1，0)、B(3，0)代入, 得 ,9330.ab，,,,
a,1,b,,2解得.
2? 抛物线的解析式为y = x,2x,3( ……………………………………………3分 ? 顶点D的坐标为. ……………………………………………………4分 ，，1,,4
2a,1,b,,2说明:只要学生求对～不写“抛物线的解析式为y = x,2x,3”不扣分. (2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下:
过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F. yx
2BC,18在Rt?BOC中，OB=3，OC=3，? . …………………………6分
2CD,2在Rt?CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，? . …………………………7分
2BD,20在Rt?BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，? . …………………………8分
222BC，CD,BD? ， 故?BCD为直角三角形. …………………………9分 (3)连接AC，可知Rt?COA? Rt?BCD，得符合条件的点为O(0，0)( ………10分
过A作AP?AC交y轴正半轴于P，可知Rt?CAP? Rt?COA? Rt?BCD， 111
1求得符合条件的点为( …………………………………………11分 P(0,)13
过C作CP?AC交x轴正半轴于P，可知Rt?PCA? Rt?COA? Rt?BCD， 222
求得符合条件的点为P(9，0)( …………………………………………12分 2
1 ?符合条件的点有三个:O(0，0)，，P(9，0). P(0,)213
2yx,,,1A(1,0),30((广安)如图，直线与抛物线都经过点、yaxbx,，,4
B(3,4),(
(1)求抛物线的解析式;
(2) 动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度
的最大值;
(3) 当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使?PCQ是以PC为
直角边的直角三角形?若存在，请求出Q点的坐标;若不存在(请说明理由(
24((茂名)如图，在直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，
2点B的坐标为(6，6)，抛物线y,ax，bx，c经过点A、B，且3a,b,,1( (1)求a、b、c的值(
(2)动点E、F同时分别从点A、B出发，分别沿A?B、B?C运动，速度都是每秒1
个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动(设运动时间为t秒，
?BEF的面积为S(?试求出S与t的函数关系式，并求出S的最大值;?当S取
最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以点E、B、R、F为顶点的四边形是平
行四边形,若存在，求出此时点R的坐标;若不存在，请说明理由(
y y
A A B B
E E F F
x x O C O C
(备用图)
226((南宁)如图12，把抛物线(虚线部分)向右平移1个单位长度，再向上平移yx,,
AByO1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称.点、、分别是抛lll121
DE物线、与轴的交点，、分别是抛物线、的顶点，线段交轴于点. CCDyllllx1212)分别写出抛物线与的解析式; (1ll12
y
E D C
B A
x O
l l12
图12
PDP(2)设是抛物线上与、两点不重合的任意一点，点是点关于轴的对称点，OylQ1
PD试判断以、、、为顶点的四边形是什么特殊的四边形,说明你的理由. CQ
MM(3)在抛物线上是否存在点，使得SS,，如果存在，求出点的坐l,ABM1,四边形AOED
标，如果不存在，请说明理由.
22lyx:11,,,，26(解:(1)(或);………………………………(1分) yxx,,，2，，1
22lyx:11,,,，(或);………………………………(2分)yxx,,,2，，2
PD(2)以、、C、为顶点的四边形为矩形或等腰梯形.………………………(3分) Q
DP理由:点C与点，点与点关于y轴对称， Q
？CDPQx??轴.
,,,PP?当点是的对称轴与的交点时，点、的坐标分别为(1，3)和(1， 3)，llQ21
CDPQCPCD,,，，CPQDD,11C，而点、的坐标分别为()和(1，1)，所以四边形
是矩形.………………………………………………………………………………………(4分)
P?当点不是的对称轴与的交点时，根据轴对称性质， ll21
CPDQ,CQDP,CDPQ,有:(或)，但.
CPQDCQPD四边形(或四边形)是等腰梯形.…………………………………(5分) ？
)存在.设满足条件的M点坐标为，连接依题意得: (3xy，MAMBAD，，，，，
ABE20，，-2，0，0，1， ，，，，，，
121，，，，3S,,.……………………………………………………………(6分) 梯形AOED22
13?当时， Sy,，，,，y,04,ABM22
3…………………………………………………………………………………(7分) ？,y(4
133将代入的解析式，解得: lx=(x,，y,121224
3313,,,,？M，M，(，……………………………………………………………(8分) 12,,,,2424,,,,
13?当时， Sy,，，,,，y,04，，,ABM22
3………………………………………………………………………………(9分) ？,,y(4
73x,,1(将代入的解析式，解得: ly,,124
,,,,27，327,3？M，-M，-(，……………………………………(10分) ,,,,43,,,,2424,,,,
25((16分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，3)，
点C在线段AB上，过点C作CD?x轴于点D(
(1)求直线AB的解析式;
43(2)若S,，求点C的坐标; 四边形OBCD3
(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与?OBA相似,若存
在，请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由(
y
B
C
O D A x
16,(悟州,(本题满分12分)
A(100)， 如图，在平面直角坐标系中，点，?OBA=90?，BC?OA，OB=8，点E从点B出发，以每秒l个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个个单位长度沿OB向点B运动。现点E、F同时出发，当F点到达点B时，E、F两点同时停止运动。
(1)求梯形OABC的高BG的长(
(2)连接E、F并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形(
(3)动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上?如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值;如果不会，请说明理由(
y
EBC
F
0OGADx
25((黔南州)(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，4)，直线x,2
2与x轴相交于点B，连接OA(抛物线y,x从点O沿OA的方向平移，与直线x,2交
于点P，顶点M到达点A时停止移动(
(1)求线段OA所在直线的解析式(
(2)设抛物线顶点M的横坐标m:
?用m的代数式表示点P的坐标;?当m为何值时，线段PB最短(
(3)当m线段PB最短时，相应抛物线上是否存在点Q，使得?AMQ的面积与?AMP
的面积相等,若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由(
y x,2
A
M P
B x O
8326((桂林)(本题满分12分)如图，过A(8，0)、B(0，)两点的直线与直线y,3x
yl交于点C(平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右x
l平移，到C点时停止;分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边?DEF，
l设?DEF与?BCO重叠部分的面积为S(平方单位)，直线的运动时间为t(秒)(
(1)直接写出C点坐标和t的取值范围;
y
B 83
yx,3
C
A
O x8
备用图1(2)求S与t的函数关系式;
y
B 83 l
yx,3D
CF
E
A
O8 xP
(3)设直线l与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形x
为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由(
26((本题12 分)解(1)C(4，) ……………………………2分 43
的取值范围是:0??4 ……………………………… 3分 tt
(2)?D点的坐标是(，)，E的坐标是(，) t,，383tt3t?DE=-= ……………………4分 ,，383t3t8323,t
?等边?DEF的DE边上的高为:123,t
123,t?当点F在BO边上时:=，?=3 ……………………5分 tt
23t? 当0?<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为:- …7分 t8323,t3t23 y(83238323),，,,tttS= 23
Bt14 83 l= (1633),t23 yx,3D
72= ………………………………8分 ,，383tt3CF? 当3??4时，重叠部分为等边三角形 t
1ES= ………………… 9分 (8323)(123),,tt2
A2O8P= ……………………10分 33243483tt,，x
24(3)存在，P(，0) ……………………12分 7
明:?FO?说，FP?，OP?4 4343
?以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,
2424若FO=FP时，=2(12-3)，=，?P(，0) ttt77
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