★形成性考核作业★PAGEPAGE-5-姓名：学号：得分：教师签名：离散数学作业(zuòyè)3离散数学集合(jíhé)论部分(bùfen)形成(xíngchéng)性考核书面(shūmiàn)作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。一、填空题1．设集合，则P(A)-P(B)={{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}}，AB={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3.2>}．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024．3．设集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为{<2,2>，<2,3>，<3,2>}，<3,3>．4．设集合A={1,2,3,4}，B={6,8,12}，A到B的二元关系R＝那么R－1＝{<6,3>,<8,4>}5．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={
,,,}，则R具有的性质是 没有任何性质 ．6．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={,,,}，若在R中再增加两个元素 {,} ，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有2个．8．设A={1,2}上的二元关系为R={|xA，yA,x+y=10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}．9．设R是集合A上的等价关系，且1,2,3是A中的元素，则R中至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>等元素．10．设集合A={1,2}，B={a,b}，那么集合A到B的双射函数是{<1,a>,<2,b>}或{<1,b>,<2,a>}．二、判断(pànduàn)说明题（判断下列(xiàliè)各题，并说明理由．）1．若集合(jíhé)A={1，2，3}上的二元关系R={<1,1>，<2,2>，<1,2>}，则(1)R是自反的关系(guānxì)；(2)R是对称(duìchèn)的关系．（1）错误。R不具有自反的关系，因为<3,3>不属于R。（2）错误。R不具有对称的关系，因为<2,1>不属于R。2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立？并说明理由．解：成立．因为R1和R2是A上的自反关系，即IAR1，IAR2。由逆关系定义和IAR1，得IAR1-1；由IAR1，IAR2，得IAR1∪R2，IAR1R2。所以，R1-1、R1∪R2、R1R2是自反的。abcd图一gefh3．若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．解：错误．集合A的最大元不存在，a是极大元．4．设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，，判断下列关系f是否构成函数f：，并说明理由．(1)f={<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>}；(2)f={<1,6>,<3,4>,<2,2>}；(3)f={<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}．（1）不构成函数。因为对于3属于A，在B中没有元素与之对应。（2）不构成函数。因为对于4属于A，在B中没有元素与之对应。（3）构成函数。因为A中任意一个元素都有A中唯一的元素相对应。三、计算题1．设，求： (1)(AB)~C；(2)(AB)-(BA)(3)P(A)－P(C)；(4)AB．解：(1)(A∩B)∪~C={1}∪{1,3,5}={1,3,5}(2)(A∪B)-(B∩A)={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}(3)P(A)={Φ,{1},{4},{1,4}}P(C)={Φ,{2},{4},{2,4}}P(A)－P(C)={{1},{1,4}}(4)A⊕B=(A∪B)-(B∩A)={2,4,5}2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算(jìsuàn)（1）（AB）；（2）（A∩B）；（3）A×B．解：（1）AB={{1},{2}}（2）A∩B={1,2}（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1,{1,2}>，<2,1>，<2,2>,<2,{1,2}>}3．设A={1，2，3，4，5}，R={|xA，yA且x+y4}，S={|xA，yA且x+y<0}，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R)．解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3><2,1><2,2><3,1>}S=空集(kōnɡjí)R*S=空集S*R=空集R-1={<1,1>,<2,1><3,1><1,2><2,2><1,3>}S-1=空集(kōnɡjí)r(S)={<1,1><2,2><3,3><4,4><5,5>}s(R)={<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><3,1>}4．设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除(zhěngchú)关系，B={2,4,6}．(1)写出关系(guānxì)R的表示式；(2)画出关系R的哈斯图；(3)求出集合B的最大元、最小元．(1)R={<1,1><1,2><1,3><1,4><1,5><1,6><1,7><1,8><2,2><2,4><2,6><2,8><3,3><3,6><4,4><4,8><5,5><6,6><7,7><8,8>}(3)集合B没有最大元，最小元是2四、证明题1．试证明(zhèngmíng)集合等式：A(BC)=(AB)(AC)．1．证明(zhèngmíng)：设，若x∈A(BC)，则x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．即x∈AB且x∈AC，即x∈T=(AB)(AC)，所以(suǒyǐ)A(BC)(AB)(AC)．反之(fǎnzhī)，若x∈(AB)(AC)，则x∈AB且x∈AC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，即x∈A或x∈BC，即x∈A(BC)，所以(suǒyǐ)(AB)(AC)A(BC)．因此．A(BC)=(AB)(AC)．2．试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC)．2．证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)，若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C，也即x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈T，所以ST．反之，若x∈T，则x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以TS．因此T=S．3．对任意三个集合A,B和C，试证明：若AB=AC，且A，则B=C．对于任意∈A×B，其中a∈A，b∈B,因为A×B=A×C，必有∈A×C,其中b∈C因此BC（2）同理，对于任意∈A×C,其中，a∈A，c∈C，因为A×B=A×C必有∈A×B，其中c∈B，因此CB有（1）（2）得B=C4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．若R与S是集合A上的自反关系，则任意x∈A,＜x,x＞∈R,＜x,x＞∈S,从而(cóngér)＜x,x＞∈R∩S,注意x是A的任意元素，所以R∩S也是集合A上的自反关系．内容
总结
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（1）由IAR1，IAR2，得IAR1∪R2，IAR1R2
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