高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细标准)

函数的单一性和奇偶性例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单一区间．解：函数图像以以下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．评析函数单一性是对某个区间而言的，对于单唯一个点没有增减变化，所以对于区间端点只需函数存心义，都能够带上．（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，务实数a的取值范围．剖析要充分运用函数的单一性是以对称轴为界限这一特点．２x＝1-a．因为解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是在区间（-∞，1-a］上f（x）是单一递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单一递减，对称轴x＝1-a一定在x=4的右边或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．评析这是波及逆向思想的问题，即已知函数的单一性，求字母参数范围，要注意利用数形联合．例2判断以下函数的奇偶性：1（1）f（x）＝-（2）f（x）＝（x-1）．解：（1）f（x）的定义域为R．因为f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜2＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．所以f（x）为奇函数．2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不对于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法以下：1）求函数的定义域，并考察定义域能否对于原点对称．（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一能否建立．f（-x）与-f（x）的关系其实不明确时，可考察f（-x）±f（x）＝0能否建立，从而判断函数的奇偶性．例3已知函数f（x）＝．1）判断f（x）的奇偶性．2）确立f（x）在（-∞，0）上是增函数仍是减函数?在区间（0，+∞）上呢? 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论．解：因为f（x）的定义域为R，又f（-x）＝＝3＝f（x），所以f（x）为偶函数．2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，因为f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．其证明：取x1＜x2＜0，f（x1）-f（x2）＝-4＝＝．因为x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1+x2＜0，x21+1＞0，x22+1＞0，得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．评析奇函数在（a,b）上的单一性与在（-b,-a）上的单一性同样，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单一性相反．例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝5在（-∞，0）上是增函数仍是减函数?证明你的结论．剖析依据函数的增减性的定义，能够任取x1＜x2＜0，从而判断F（x1）-F（x2）＝-＝的正负．为此，需分别判断f（x1）、f（x2）与f（x2）6的正负，而这能够从已条件中推出．解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．①又∵f（x）是奇函数，∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）②由①、②得f（x2）＞f（x1）＞0．于是F（x1）-F（x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），所以F（x）＝在（-∞，0）上是减函数．评析本题最简单发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，睁开证明．这样就不可以保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的随意性而致使错误．防止错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地睁开证明活动．7例5议论函数f（x）＝（a≠0）在区间（-1，1）内的单一性．剖析依据函数的单一性定义求解．解：设-1＜x1＜x2＜１，则f（x1）-f（x2）＝-8＝∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，x1-x2＜0，1+x1x2＞0，（1-x21）（1-x22）＞0于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．评析依据定义议论（或证明）函数的单一性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内随意两个值，且x1＜x2；2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确立函数的单一性．9例6求证：f（x）＝x+（k＞0）在区间（0，k］上单一递减．解：设0＜x1＜x2≤k，则f（x1）-f（x2）＝x1+-x2-10＝∵0＜x1＜x2≤k，x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，f（x1）-f（x2）＞0f（x1）＞f（x2），∴f（x）＝x+中（0，k］上是减函数．评析函数f（x）在给定区间上的单一性反应了函数f（x）在区间上函数值的变化趋向，是函数在区间上的整体性质．所以，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就一定证明对于区间［a,b］上随意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））近似能够证明：11函数f（x）＝x+（k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例7判断函数f（x）＝的奇偶性．剖析确立函数的定义域后可脱去绝对值符号．12解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜2-x．∴f（x）＝，∴f（-x）＝＝13＝f（x）．且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x）＝是偶函数，不是奇函数．评析因为函数 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 式中的绝对值使得所给函数不像拥有奇偶性，若不作深入思虑，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭露以后，函数的奇偶性就特别显然了．这样看来，解题中先确立函数的定义域不单能够防止错误，并且有时还能够避开议论，简化解题过程．函数奇偶性练习一、选择题1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）A．1a，b＝0．a＝－，b＝0．a＝，b＝0．a＝，b＝0B1C1D333．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）14A．y＝x（x－2）B．y＝x（｜x｜－1）C．y＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）A．－26B．－18C．－10D．101x2x1）5．函数f(x)x2是（1x1A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数6．若(x)，g（x）都是奇函数，f(x)abg(x)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－3二、填空题x227．函数f(x)的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．1x28．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若1，则f（x）的分析式为_______．f(x)g(x)x110．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的全部实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（）在区间［0，2］上单一递减，若f（1－）＜f（），务实xmm数m的取值范围．12．已知函数f（x）知足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．13.已知函数f（）是奇函数，且当x＞0时，f（）＝x3＋22—1，求f（）在R上的表达式．xxxx1514.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单一递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单一性，并用定义赐予证明．15.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对随意非零实数x1、x2知足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．函数的奇偶性练习参照答案1．分析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，(x)x为奇函数，∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·(x)知足奇函数的条件．答案：A2．分析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．1．应选A．又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴a33．分析：由x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．x(x2)(x0),∴f(x)2)(x0)即f（x）＝x（|x|－2）x(x,答案：D4．分析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．答案：A165．分析：本题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0．答案：B6．分析：(x)、g（x）为奇函数，∴f(x)2a(x)bg(x)为奇函数．又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，∴f（x）－2有最大值3．∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数8．答案：0分析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．9．分析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，可得f(x)g(x)1，联立f(x)g(x)1x1x，∴1(1111f(x)x11)．2xx21答案：f(x)110．答案：011．答案：m1x21212．证明：令x＝＝0，有f（0）＋f（0）＝2（0）·（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令xyff0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．13．分析：本题主假如培育学生理解观点的能力．f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，∴f（x）＝x3－2x2＋1．x32x21(x0),所以，f(x)0(x0),x32x21(x0).评论：本题主要考察学生对奇函数观点的理解及应用能力．14．分析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上单一递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即单一减函数．评论：本题要注意灵巧运用函数奇偶性和单一性，并实时转变．15．分析：由x1，x2R且不为0的随意性，令x1＝x2＝1代入可证，（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，17f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．评论：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特别值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，而后再联合详细题目要求结构出合适结论特点的式子即可．18