线性代数知识点总结

名照精St—优秀资料名照精St—优秀资料名姬精缄―优秀资料线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节矩阵定义的数表mxn个数a(i=1,2,m,j三1n)排成的mija11a21a12a22a......1na2几称为m行n列矩阵。简称m乂n矩阵，记作A二am1am2简记为A二A.amn二(a)<),aaa11121naaa2122,•,2naa•••a,ml,••••nrn，7mxnijmxnij这m义n个数称为4的元素，简称为元。•・说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n的矩阵A。记作：An。行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵。也称行（列）向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB同型，且对应元素相等。记作：A=B零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作：En（不引起混淆时，也可表示为E）（课本P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个mxn矩阵A（a）和B=（b），那么矩阵A与B的和记作A+Bijija+ba+ba+by111112121n1na+ba+ba+b规定为A+B=21212222•••2n2n(a+ba+b•••a+b,ml)>••mlm2-1••m2•••mn>*••mn说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，，才能进行加法运算。（课本P33）矩阵加法的运算规律（1）A+B=B+A；(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)设矩阵A=(a),记-A=(-a)ijmxnijmxn一a11-a21,一a••ml-a-a121几-a-a22…2n，-A称为矩阵A…—a—a,••ml•••••mn/的负矩阵…(4)A+(-A)=0,A-B=A+(-B)。(课本P33)数与矩阵相乘数九与矩阵4的乘积记作九A或A兀规定为,九a九a九a、11121n数九与矩阵A的乘积记作九A或A，规定为九A=故=人a人a人a2122…2n'九a九a九aJ•,ml••ml•••••mn/数乘矩阵的运算规律（设A、B为mxn矩阵，九,^为数）(1)%)A=入3A)；(2)(九+R)A=九A+RA；（3）九（A+B”九A+九B。（课本P33）矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。名痈精缄一优秀资料名施精缴一优秀资料名蛔优秀资料矩阵与矩阵相乘设5=（b）是ij个加xs矩阵，B=（b）是一个sx/t矩阵，那么规定矩ij的乘积是一个mxn矩阵C=（c,）其中ijGailz2ais（bijb2j+〃/?+i22j+abissjEab,6=1,2,m;J=1,2,,n）,ikkjk=lbsjJ并把此乘积记作C^AB汪思loA与B能相乘的条件是：A的列数=B的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB^BA,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3o对于n阶方阵A和B,若AB=BA,则称A与B是可交换的。矩阵乘法的运算规律（1）C4B）C=A（BC）；（2）X（AB）=（XA）B=A（XB）（3）A（B+C）=AB+AC,（B+C）A=BA+CA（4）AE=EA=Amxnhxhmxmmxnmxn（5）若八是〃阶方阵，则称印为八的k次幕，即4=A,并且AnA左个（AJ=Amk（m,左为正整数）o规定：4）=e注意矩阵不满足交换律，即（AB>wAkBk（但也有例外）（课本P36）纯量阵矩阵入E二称为纯量阵，作用是将图形放大九倍。且有（九E）A=A（kE学九AA为n阶方阵时，有（九E）A=A（九E）=XA，表明纯量阵与nnnnn任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36）转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作At，’14、，A「=2528、乙0J转置矩阵的运算性质（1）（at）=A；(2)(A+B>=At+Bt；(3)(kA)=kAt；(4)(AB)t=BtAt。(课本P39)方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A|或detA（记住这个符号）注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质（D|At|=|A|；（2）|kA|=kn|A|；（3）|AB|=|A||B|=|B|A|=|BA|（课本P40）对称阵设A为n阶方阵，如果满足A=A，即a=aG,j=1,2,,n）那么A称为对称ijjiTOC\o"1-5"\h\z阵。…说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果Ar=-A则称矩阵A为反对称的。即反对称矩阵A=（*中的元素满足aij=-aji,i,j=1,2,n伴随矩阵行列式|A|的各个元素的代数余子式A^j所构成的如下矩阵（AAA\1121n1AAAA*=1222…八2称为矩阵A的伴随矩阵。…IAAA）•4n•Qm••••rm・♦♦性质AA*=A*A=|A|E（易忘知识点）（课本p?）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节逆矩阵定义对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B/使得AB=BA=E则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。A的逆矩阵记作A-1,即A-1=B。说明A,B互为逆阵，A=B-1只对方阵定义逆阵。.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。定理1矩阵A可逆的充分必要条件是IA|丰0，并且当A可逆时，有A-1=A-A*^（重要）（证明见课本P?）奇异矩阵与非奇异矩阵当|A=0时，A称为奇异矩阵，当|臼。0时，A称为非奇异矩阵。即A可逆oA为非奇异矩阵o|A|丰0。推论若AB=矶或A=E），则B=A-1（证明见课本P?）⑴先求IAI并判断当IAI。0时逆阵存在；求逆矩阵方法（2）求A*；1（3）求一A*=A-1。IAI更好的求逆矩阵的方法--chapter3初等变换法（A,E）逆矩阵的运算性质（1）若A可逆,则A-1亦可逆,且（A-）1=A（2）若A可逆，数九。0,则九A可逆，且（九AA=1A-i。k（3）若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆,且（B-i=B-iA-i。（以上证明见课本P43）（4）若A可逆,则At亦可逆，且（At）-1=（A-1）。（5）若A可逆,则有|A-1|=|A|t。总结逆矩阵的计算方法（1）待定系数法；（2）利用公式A-1=二；（3）初等变换法（下一章介绍）网第四节矩阵分块法矩阵分块将矩阵八用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为小的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。名痈精St—优秀资料名痈精St—优秀资料名姬精缄―优秀资料分块矩阵的运算规则加法A与B同型，且A、B的分块方法相同，则A与B的和定义为对应子块相加。数乘九A=(九A)。ij转置乘法A11A21A12A22A13A2312At'13AT21AT22AT23。（先外转再内转）首先AB有意义，其次A的列的分法与B的行的分法相同。设A为m义l矩阵,B为l义“矩阵,分块成A=(A,A,12A）（即列向量组），Bt（即行向量组）其中A,A,i1i2,A的列数分别等于B,B,,B的行数,那么AB=it1j2jtjICiCJsr其中C=^LAB(i=1,,s;j=1,,r)。ijikkjk=1结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块对角阵（准对角矩阵）设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，Ai且非零子块都是方阵，即A二其中A（i=1,2,s）都是方阵，则i有：1)网=1A』AJA。12S“1TOC\o"1-5"\h\z一.一“2)若每个|A|w0,则“可逆，且有“=2IA可逆oA可逆i=1,2,,s且A-1=diagG-1,A-1,i127(diag(A)表示又t角阵A)(课本P?)有用的结论设AtA=O,则A=O(证明见课本P?)线性方程组的分块表示线性方程组《ax+ax+...+ax=b1111221nn1ax+ax+...+ax=bax+ax+...+ax=记A=(a),x=ijm11rx)1x2m2mnnb)b2B=bna11a21a12a22a1na2nb)1b2其中A为系数矩阵，x称为未知数向量，Iam1amnbmJmb称为常数向量，B称为增广矩阵。增广矩阵可以2112222nn2分块表示为：B=(A,b)或B二(a/a2,...,3)