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2023年上海高考数学满分复习攻略第02讲不等式(含详解)

2023年上海高考数学满分复习攻略第02讲不等式(含详解)第02讲不等式【考点梳理】一、等式与不等式的性质1.两个实数比较大小的方法a－b>0⇔a>b，(1)作差法a－b＝0⇔a＝b，a－b1aRb>0⇔a>baRb>0a作商法＝＝（，≠），(2)b1⇔abab0a（∈，）（∈，）b0⇔a0.2.等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.3.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b...

第02讲不等式【考点梳理】一、等式与不等式的性质1.两个实数比较大小的方法a－b>0⇔a>b，(1)作差法a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a1aRb>0⇔a>baRb>0a作商法＝＝（，≠），(2)b1⇔abab0a（∈，）（∈，）b<1aRb>0⇔a0.2.等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.3.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；nn(6)可开方：a＞b＞0⇒a＞b(n∈N，n≥2).二、均值不等式及其应用a＋b均值不等式：≤1.ab2(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.a＋b其中称为正数，的算术平均数，称为正数，的几何平均数(3)2ababab.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.a＋b2(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.23.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).s2如果和＋是定值，那么当且仅当＝时，有最大值是简记：和定积最大(2)xysxyxy4().三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程有两相异实根，有两相等实根x＝x11ax2＋bx＋c＝0b没有实数根＜x2(x1x2)x＝－(a＞0)的根22aax2＋bx＋c＞0{x|x＞xb2x|x≠－R或＜2a(a＞0)的解集xx1}ax2＋bx＋c＜0＜＜∅∅{x|x1xx2}(a＞0)的解集3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集解集不等式ab(x－a)·(x－b)>0{x|xb}{x|x≠a}{x|xa}(x－a)·(x－b)<0{x|a0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).f(x)≥≤≥≤且≠(2)g(x)0(0)⇔f(x)·g(x)0(0)g(x)0.【解题方法和技巧】1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的a＋b2a2＋b2a＋ba2＋b2几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，ab≤≤(a>0，2222b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.5.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.6.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【考点剖析】【考点1】不等式的性质题型一：不等式性质一、单选题1．（2020·上海市崇明中学高三期中）下列选项是真命题的是（）A．若ab，则ac2bc2B．若ab，cd，则acbd11C．若ab0，cd0，则acbdD．若ba0，则ab二、填空题2．（2020·上海高三专题练习）已知函数fxaxb(其中a,bR)满足：对任意x0,1，有fx1，则2a12b1的最小值为_________．三、解答题a2b2a2b23．（2020·上海崇明区·高三月考）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、ab2ab等.2（1）判断上述三者的大小关系，并证明；a2b2a2b2a2b2ab（2）定义：间距||，间距||，判断两者的大小关系，并证明.1ab2222【考点2】一元二次不等式题型二：一元二次不等式的解法一、单选题ac1．（2022·上海·高三专题练习）已知a，b，cR，若关于x不等式0xb1的解集为xxx,xxxxx0，则（）123321A．不存在有序数组(a,b,c)，使得xx121B．存在唯一有序数组(a,b,c)，使得xx121C．有且只有两组有序数组(a,b,c)，使得xx121D．存在无穷多组有序数组(a,b,c)，使得xx1212．（2022·上海·高三专题练习）已知aZ,关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A．13B．18C．21D．26二、填空题3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知集合Ax∣x22x30，B{x∣x0}，则AB___________．2x4．（2022·上海黄浦·模拟预测）不等式0的解集为___________.1x三、解答题5．（2022·上海交大附中模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种256x64，0x4生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间x（单位：小时）变化的函数为ux4，a12x，4x12已知当x4时，u的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到0.1小时）(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量v关于时间x的函数为1v，0x12，记uv为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出uv的最大值．（结果精确到0.1）x16．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知fxax22bx4ca,b,cR.(1)若f01，a2b0，解关于x的不等式fxa1x3；1b(2)若ac0，fx在2,2上的最大值为2，最小值为，求证：2.32a7．（2022·上海·高三专题练习）设t为实数，函数f(x)x21,g(x)|xt|.（1）判断函数yg(x)的奇偶性，并说明理由；（2）当t2时，求函数yg(x)f(x)的最小值；m(b)m(a)（3）对于函数ym(x)，在定义域内给定区间[a,b]，如果存在xaxb，满足mx，000ba则称函数m(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，x是它的一个“均值点”.如函数yx2是[1,1]上的平均值函0数，0就是它的均值点.现有函数h(x)f(x)mx是区间[1,1]上的平均值函数，求实数m的取值范围.题型三：一元二次不等式恒成立问题一、单选题1．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知不等式：ax2bxc0a0有实数解．结论（1）：设x，x12bc是的两个解，则对于任意的x，x，不等式xx和xx恒成立；结论（2）：设x是的一个1212a12a0解，若总存在x，使得ax2bxc0，则c0，下列说法正确的是（）000A．结论①、②都成立B．结论①、②都不成立C．结论①成立，结论②不成立D．结论①不成立，结论②成立2．（2022·上海·高三专题练习）设集合Pxx2ax10，Pxx2ax20，Qxx2xb0，121Qxx22xb0，其中a,bR，下列说法正确的是（）A．对任意a，P是P的子集，对任意的b，212Q不是Q的子集12B．对任意a，P是P的子集，存在b，使得Q是Q的子集1212C．存在a，使得P不是P的子集，对任意的b，Q不是Q的子集1212D．存在a，使得P不是P的子集，存在b，使得Q是Q的子集1212二、填空题3．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知实数abc满足abc0，集合Axax2bxc0，则A的长度的取值范围是__________．（集合xsxt的长度定义为ts，其中ts）4．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知定义在R上的奇函数fx满足f1xf1x2，当x[0，1]时，fx2xx2，若fxxb对一切xR恒成立，则实数b的最大值为___________.5．（2022·上海·高三专题练习）对数列a，bnN*，如果存在正整数k，使得ab1，则称数列nnkka是数列b的“优数列”，若an32n22tnt2，bn3n24n1，并且a是b的“优数列”，bnnnnnnn也是a的“优数列”，则t的取值范围是____________．n三、解答题xa26．（2022·上海·高三专题练习）关于x的不等式0的解集为1,b．1x1求实数a，b的值；2若zabi，zcosisin，且zz为纯虚数，求tan的值．12127．（2022·上海·高三专题练习）对于满足p2的所有实数p，求使不等式x2px1p2x恒成立的x的取值范围．【考点3】均值不等式及其应用题型四：均值不等式及其应用1．（2020·上海高三专题练习）在ABC中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，若a、b、c成等差数列，则B的取值范围是（）A．0BB．0BC．0BD．B43222．（2020·宝山区·上海交大附中高三月考）已知a0，b0，若ab4，则（）A．a2b2有最小值B．ab有最小值111C．有最大值D．有最大值abab2xy113．（2020·上海普陀区·高三一模）若直线l：1经过第一象限内的点P(,)，则ab的最2baabab大值为（）7A．B．422C．523D．6326【真题模拟题专练】一、单选题ba1．（2022·上海黄浦·二模）若a、b均为非零实数，则不等式2成立的一个充要条件为（）．abA．ab0B．ab0C．ab0D．ab≤02．（2022·上海崇明·二模）如果a0,b0，那么下列不等式中正确的是（）A．a2b2B．ab11C．abD．ab3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知ab，c0，则下列不等式中恒成立的是（）A．acbcB．a2cb2cC．a2cb2cD．ac2bc221二、填空题4．（2022·上海静安·二模）若函数f(x)2(x0)的反函数为f1(x)，则不等式f1(x)3xx2的解集是__________.xy205．（2022·上海浦东新·二模）已知x、y满足x2y30，则zy4x的最小值为________．y096．（2022·上海虹口·二模）函数f(x)x(x0)的值域为_________.x7．（2022·上海松江·二模）已知正实数a、b满足ab42ab，则ab的最小值为_______．8．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数fxx2axb在2,2上存在零点，且0b2a2，则b的取值范围是_____.9．（2022·上海·位育中学模拟预测）设全集Ux∣x2,xN，集合Ax∣x39,xN，则CA_____.Uxy010．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）若实数x、y满足条件xy10，则x3y的最大值为0x1__________．111．（2022·上海·模拟预测）在直角ABC中，A为直角，AB1,AC2，M是ABC内一点，且AM，2若AMABAC，则23的最大值为_________．12．（2022·上海·模拟预测）某蔬菜基地要将120吨新鲜蔬菜运往上海，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装蔬菜20吨，每辆乙型货车运输费用300元，可装蔬菜10吨，若每辆车至多只运一次，则该蔬菜基地所花的最少运输费用为_________元．三、解答题13．（2022·上海闵行·二模）某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源.如图，ABC是边长为6的等边三角形，边BC的中点M处为固定光源，E、F分别为边AB、AC上的移动光源，且ME始终垂直于MF，三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域.(1)当F为边AC的中点时，求线段EF的长度；(2)求△EFM的面积的最小值.14．（2022·上海浦东新·二模）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y（微克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为2x(0x6)y8x．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．12x(6x12)(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？15．（2022·上海松江·二模）如图，农户在AB100米、BC80米的长方形地块ABCD上种植向日葵，并在A处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为PAQ45，其中点P、Q分别在长方形的边BC、CD上，监控的区域为四边形APCQ．记BAP(045)．(1)当30时，求P、Q两点间的距离；（结果保留整数）(2)问当取何值时，监控区域四边形APCQ的面积S最大？最大值为多少？（结果保留整数）16．（2022·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计48当一袋桃酥的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付3x万元x5的管理费.一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元）(1)求该超市一年的利润L（万元）与每袋桃酥食品的售价x的函数关系式；(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润L最大，并求出L的最大值.第02讲不等式【考点梳理】一、等式与不等式的性质1.两个实数比较大小的方法a－b>0⇔a>b，(1)作差法a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a1aRb>0⇔a>baRb>0a作商法＝＝（，≠），(2)b1⇔abab0a（∈，）（∈，）b<1aRb>0⇔a0.2.等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.3.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；nn(6)可开方：a＞b＞0⇒a＞b(n∈N，n≥2).二、均值不等式及其应用a＋b均值不等式：≤1.ab2(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.a＋b其中称为正数，的算术平均数，称为正数，的几何平均数(3)2ababab.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.a＋b2(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.23.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).s2如果和＋是定值，那么当且仅当＝时，有最大值是简记：和定积最大(2)xysxyxy4().三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程有两相异实根，有两相等实根x＝x11ax2＋bx＋c＝0b没有实数根＜x2(x1x2)x＝－(a＞0)的根22aax2＋bx＋c＞0{x|x＞xb2x|x≠－R或＜2a(a＞0)的解集xx1}ax2＋bx＋c＜0＜＜∅∅{x|x1xx2}(a＞0)的解集3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集解集不等式ab(x－a)·(x－b)>0{x|xb}{x|x≠a}{x|xa}(x－a)·(x－b)<0{x|a0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).f(x)≥≤≥≤且≠(2)g(x)0(0)⇔f(x)·g(x)0(0)g(x)0.【解题方法和技巧】1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的a＋b2a2＋b2a＋ba2＋b2几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，ab≤≤(a>0，2222b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.5.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.6.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【考点剖析】【考点1】不等式的性质题型一：不等式性质一、单选题1．（2020·上海市崇明中学高三期中）下列选项是真命题的是（）A．若ab，则ac2bc2B．若ab，cd，则acbd11C．若ab0，cd0，则acbdD．若ba0，则ab【答案】D【分析】取特殊值可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确.【详解】对于A，若ab，当c0时，ac2bc2，故A错误；对于B，令a1,b4,c0,d3，此时acbd，故B错误；对于C，令a2,b1,c2,d1，此时acbd，故C错误；11对于D，若ba0，则，故D正确.故选：D.ab二、填空题2．（2020·上海高三专题练习）已知函数fxaxb(其中a,bR)满足：对任意x0,1，有fx1，则2a12b1的最小值为_________．【答案】9【分析】根据题意f0b，f1ab，可得bf0，af1f0，且1f01，1f11，所以将2a12b1用f0和f1 表示，即可求最值.【详解】因为fxaxb，对任意x0,1，有fx1，所以f0b，f1ab，即bf0，af1f0，所以2a12b14ab2ab14f1f0f02f114f024f0f1f12f122f11222f12f0f11f12f0，2当f11，f01时f12f0最大为9，2此时f12f0最小为9，所以2a12b1的最小值为9，故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据x0,1，有fx1，可知1f01，1f11，由f0b，f1ab可得bf0，af1f0，所以2a12b1可以用f0和f1表示，再配方，根据平方数的性质求最值.三、解答题a2b2a2b23．（2020·上海崇明区·高三月考）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、ab2ab等.2（1）判断上述三者的大小关系，并证明；a2b2a2b2a2b2ab（2）定义：间距||，间距||，判断两者的大小关系，并证明.1ab2222a2b2a2b2ab【答案】（1）；证明见解析；（2），证明见解析.ab2212【分析】（1）作差法，判断差的符号，可得证；a2b2aba2b2（2）由（1）和基本不等式可得+2，可得证.ab22a2b2a2b2ab【详解】（1），证明如下：因为ab22222a2b22a2b22a2+b2a2+b2a+ba2+b2ab，ab22a+b22a+b2a2b22a2b2又a、b是正数，所以a2+b2>0，a+b2>0，ab20，所以，ab2当且仅当ab时，取等号，a2b2a2b2故；ab22222a2b2ab22aba+bab因为0，当且仅当ab时，取等号，2244a2b2a+b所以；22a2b2a2b2ab故.ab222a2b2ab2a2b2+ab（2）因为a、b是正数，所以+ab22a+b22222ababa2b22a2b22，2a+b2当仅且当2a2b2ab2，即ab时取等号.a2b2aba2b2所以+2，ab22a2b2aba2b2所以+20，所以.12ab2212【点睛】本题考查运用作差法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题.【考点2】一元二次不等式题型二：一元二次不等式的解法一、单选题ac1．（2022·上海·高三专题练习）已知a，b，cR，若关于x不等式0xb1的解集为xxx,xxxxx0，则（）123321A．不存在有序数组(a,b,c)，使得xx1B．存在唯一有序数组(a,b,c)，使得xx12121C．有且只有两组有序数组(a,b,c)，使得xx121D．存在无穷多组有序数组(a,b,c)，使得xx121【答案】D【分析】根据x>0，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结1论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式0x2bxacx的解集为x,xxxxx0，123321x2bxa0即的解集是x,xx，x2bxacx123则不等式x2bxa0的解是{x|xx或xx}，不等式x2bxacx的解集是{x|xxx}，2313设xm，xm1，xn(m1n)，123所以cn0，nc，m1和n是方程x2bxa0的两根，则bm1nmc1，a(m1)nmcc，又m2bmam2m(mc1)mcccm，所以m是x2bxacx的一根，所以存在无数对(a,b,c)，使得xx1．21故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．2．（2022·上海·高三专题练习）已知aZ,关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A．13B．18C．21D．26【答案】Cf(2)0【分析】设f(x)x26xa，根据二次函数的性质，结合题意可得，，代入计算，即可得答案.f(1)0【详解】设f(x)x26xa，其图象为开口向上，对称轴为x3的抛物线，根据题意可得，364a0，解得a9，因为f(x)0解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得f(2)0412a0，即，f(1)016a0解得5a8，又aZ,所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.故选：C二、填空题3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知集合Ax∣x22x30，B{x∣x0}，则AB___________．【答案】(0，3)【分析】求得A(1,3)再求交集即可【详解】A(1,3),B(0,)AB(0,3)；故答案为：(0，3)2x4．（2022·上海黄浦·模拟预测）不等式0的解集为___________.1x【答案】(1,2)2x【分析】先将分式不等式0转化为(x2)(x1)0，再解一元二次不等式即可.1x2x【详解】0(x2)(x1)0，解得1x2，故解集为(1,2)，1x故答案为(1,2).三、解答题5．（2022·上海交大附中模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种256x64，0x4生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间x（单位：小时）变化的函数为ux4，a12x，4x12已知当x4时，u的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到0.1小时）(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量v关于时间x的函数为1v，0x12，记uv为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出uv的最大值．（结果精确到0.1）x1【答案】(1)10.8小时(2)6.5【分析】（1）由f(4)28求出a，分0x4、4x12，解不等式f(x)3.5可得答案；65265t61uv1（2）当0x4时，令tx1，uv1，再令m65t61，面积15616由基本t(t3)m317m713不等式求得最值；当4x12时，uv1，利用单调性可得uv的最大值，再比较可得答案．2x17(1)由于f(4)28，则a，2256当0x4时，f(x)x643.5x256.5x140，x4解得0.25x4，7当4x12时，f(x)(12x)3.54x11，2即产生有效作用的时间段为0.25x11，故产生有效作用的时间为110.2510.7510.8小时．(2)当0x4时，令tx1，则t[1,5)，125665t61同时uvt651，tt3t(t3)再令m65t61，则m[4,264)，m652uv11面积m1m115616，3m3176565m1561615616由基本不等式，m3172m317215616317，mm652当且仅当m15616[4,264)时等号成立，则uv在[0,4)上的最大值为uv6.456.5，215616317712x713当4x12时，uv1，则此时uv在[4,12]是单调递减的，2x12x128则最大值在x4时取到，uv5.6，5综上所述，uv在[0,12]上的最大值为6.5．6．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知fxax22bx4ca,b,cR.(1)若f01，a2b0，解关于x的不等式fxa1x3；1b(2)若ac0，fx在2,2上的最大值为2，最小值为，求证：2.32a【分析】（1）根据题意求出c，将b用a表示，然后再把a分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得出答案；（2）利用反证法证明，若a等于0，得到c也等于0，所以f(x)等于2bx，得到f（2）与f(2)互为相反数，不合题意；若a不为0，由ac0，解得ca，代入f(x)中，求出二次函数的对称轴，假设对称轴小于2或大于2，即可得到对称轴在区间的左外侧或右外侧，得到f(x)为单调函数，函数的最值在x2，2取到，把2和2代入得到最值互为相反数，不合题意，所以假设错误，综上，得证；(1)解：因为f01，所以4c1，又因a2b0，所以2ba，所以fxax2ax1，则不等式fxa1x3即为ax22a1x20，即ax1x20，若a0，则不等式的解集为2,；1若a0，则不等式的解集为2,,；a若a0，11当0a时，则不等式的解集为2,；2a1当a时，则不等式的解集为；211当a时，则不等式的解集为,2；2a(2)解：若a0，则c0，f(x)2bx，当2x2时，2fx4bmax3则无解，1fx4bmin2所以a0；若a0时，由ac0，得f(x)ax22bx4a，bb对称轴为x，假设(，2)(2，)，aa区间[2，2]在对称轴的左外侧或右外侧，所以f(x)在[2，2]上是单调函数，则f(x)的最值必在x2，x2处取到，211f24b，f(2)4b，f2f(2)0()，326b所以假设错误，则2，ab综上，得到2.a7．（2022·上海·高三专题练习）设t为实数，函数f(x)x21,g(x)|xt|.（1）判断函数yg(x)的奇偶性，并说明理由；（2）当t2时，求函数yg(x)f(x)的最小值；m(b)m(a)（3）对于函数ym(x)，在定义域内给定区间[a,b]，如果存在xaxb，满足mx，000ba则称函数m(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，x是它的一个“均值点”.如函数yx2是[1,1]上的平均值函0数，0就是它的均值点.现有函数h(x)f(x)mx是区间[1,1]上的平均值函数，求实数m的取值范围.3【答案】（1）t0时，g(x)为偶函数；t0时，g(x)为非奇非偶函数；（2）；（3）(0,2).4【解析】（1）求出函数定义域，分t0，t0两种情况讨论即可；（2）t2代入yg(x)f(x)转化为分段函数，由二次函数求最值即可；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在x1,1，使得gxm”从而转化为一元二次方程有解问题．00【详解】（1）函数gx定义域为R当t0时，g(x)|x|,g(x)g(x)，g(x)为偶函数，当t0时，g(1)|1t|,g(1)|1t|,g(1)g(1)且g(1)g(1)所以gx为非奇非偶函数综上：t0时，g(x)为偶函数；t0时，g(x)为非奇非偶函数x2x3,x2（2）当t2时，yx2x21x2x1,x2所以yg(x)f(x)在[2,)上的最小值为3，此时x231yg(x)f(x)在(,2)上的最小值为，此时x4233因为3，所以函数yg(x)f(x)的最小值为44（3）因为函数h(x)x2mx1是区间[1,1]上的平均值函数，h(1)h(1)所以存在x(1,1)，使hx001(1)h(1)h(1)而m，存在x(1,1)，使得hxm1(1)00即关于x的方程x2mx1m在(1,1)内有解；由x2mx1m得x2mxm10解得x1,xm1，12所以1m11，即0m2故m的取值范围是(0,2)【点睛】关键点点睛：本题处理函数奇偶性时，要分类讨论，含绝对值的函数求最值时要先转化为分段函数，第3问的核心在于转化为“存在x1,1，使得gxm”从而转化为一元二次方程有解问题.00题型三：一元二次不等式恒成立问题一、单选题1．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知不等式：ax2bxc0a0有实数解．结论（1）：设x，x12bc是的两个解，则对于任意的x，x，不等式xx和xx恒成立；结论（2）：设x是的一个1212a12a0解，若总存在x，使得ax2bxc0，则c0，下列说法正确的是（）000A．结论①、②都成立B．结论①、②都不成立C．结论①成立，结论②不成立D．结论①不成立，结论②成立【答案】B【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.【详解】当a0且b24ac0时，b：ax2bxc0a0的解为全体实数，故对任意的x，x，xx与的关系不确定，例如：1212abc：x22x20,取x=1，x4,而2，所以xx42，故结论①不成立.12a12a当a0且b24ac0时，：ax2bxc0的解为xxp或xq，其中p,q是ax2bxc0的两个根.当xp,xq此时ax2bxc0，但c值不确定，比如：：-x2x20，取x3，则00000-x2x20，但c0，故结论②不成立.00故选：B2．（2022·上海·高三专题练习）设集合Pxx2ax10，Pxx2ax20，Qxx2xb0，121Qxx22xb0，其中a,bR，下列说法正确的是（）2A．对任意a，P是P的子集，对任意的b，Q不是Q的子集1212B．对任意a，P是P的子集，存在b，使得Q是Q的子集1212C．存在a，使得P不是P的子集，对任意的b，Q不是Q的子集1212D．存在a，使得P不是P的子集，存在b，使得Q是Q的子集1212【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令mP，推得mP，可得对任意a，P是P的子集；再由b1，b5，1212求得Q，Q，即可判断B正确，A，C，D错误．12【详解】解：对于集合P{x|x2ax10}，P{x|x2ax20}，12可得当mP，即m2am10，可得m2am20，1即有mP，可得对任意a，P是P的子集；故C、D错误212当b5时，Q{x|x2x50}R，Q{x|x22x50}R，12可得Q是Q的子集；当b1时，Q{x|x2x10}R，Q{x|x22x10}{x|x1且xR}，1212可得Q不是Q的子集，故A错误．12综上可得，对任意a，P是P的子集，存在b，使得Q是Q的子集．1212故选：B.二、填空题3．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知实数abc满足abc0，集合Axax2bxc0，则A的长度的取值范围是__________．（集合xsxt的长度定义为ts，其中ts）3【答案】,32c【分析】由实数的知识得a0,c0，求得方程ax2bxc0的两根差的绝对值，然后求出的范围后可a得．【详解】由abc满足abc0，得a0,c0，bb24ac所以b24ac0，ax2bxc0的解为x，1,22ab24ac(ac)24acaccxx1，21aaaac1abc，所以2acabca2c，即2ac0a2c，2，a23c所以13，2a3故答案为：,3．24．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知定义在R上的奇函数fx满足f1xf1x2，当x[0，1]时，fx2xx2，若fxxb对一切xR恒成立，则实数b的最大值为___________.1【答案】4【分析】根据题设条件画出函数的图象，结合图象可求实数b的最大值.【详解】因为f1xf1x2，故fx的图象关于1,1中心对称当x[1,0]时，f(x)fxx22x，故fx的图象如图所示：结合图象可得：只需当x[1,0]时，f(x)x22xxb即可，1211即bx，故b，2441故答案为：.45．（2022·上海·高三专题练习）对数列a，bnN*，如果存在正整数k，使得ab1，则称数列nnkka是数列b的“优数列”，若an32n22tnt2，bn3n24n1，并且a是b的“优数列”，bnnnnnnn也是a的“优数列”，则t的取值范围是____________．n【答案】t1．【分析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围.【详解】因为a是b的“优数列”，nn所以存在正整数k，ab1kk即k32k22tkt2k3k24k11，k2(2t4)kt220显然成立，所以tR；因为b是a的“优数列”，nn所以存在正整数m，ba1mm即m3m24m1m32m22tmt21，m2(2t4)mt20(2t4)24t20t1当t1时，由于对称轴mt21，所以必存在正整数m，使得m2(2t4)mt20综上，t1故答案为：t1【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题xa26．（2022·上海·高三专题练习）关于x的不等式0的解集为1,b．1x1求实数a，b的值；2若zabi，zcosisin，且zz为纯虚数，求tan的值．12121【答案】（1）a1，b2（2）2【分析】(1)由题意可得:1,b是方程x2ax20的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得zzcos2sin2cossini为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出．12xa2【详解】解：(1)不等式0即xxa20的解集为1,b．1x1,b是方程x2ax20的两个实数根,由1ba，b2，解得a1,b2．(2)由(1)知a1,b2,zz12icosisincos2sin2cossini为纯虚数，12cos2sin0,2cossin0,1解得tan.2【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7．（2022·上海·高三专题练习）对于满足p2的所有实数p，求使不等式x2px1p2x恒成立的x的取值范围．【答案】x1或x3.【分析】由题设有(x1)px22x10，构造一次函数f(p)在闭区间内恒成立，再解一元二次不等式组，求解集即可.【详解】由题设，知：(x1)px22x10，f(2)0x24x30设f(p)(x1)px22x1，则f(p)在[2,2]上恒大于0，∴，即，解得：x1或f(2)0x210x3.【考点3】均值不等式及其应用题型四：均值不等式及其应用1．（2020·上海高三专题练习）在ABC中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，若a、b、c成等差数列，则B的取值范围是（）A．0BB．0BC．0BD．B4322【答案】Bac【分析】由题意得出b，利用余弦定理以及基本不等式求出cosB的取值范围，再结合角B的取值2范围，以及余弦函数的单调性可求出角B的取值范围.ac【详解】由于a、b、c成等差数列，则b，2ac2ac22ac由余弦定理得a2c2b223ac2，cosB12ac2ac8ac23ac232ac1由基本不等式得cosB11，当且仅当ac时，等号成立，8ac8ac2又0B，0B，故选B.3【点睛】本题考查利用基本不等式求三角形中角的取值范围，同时也考查了余弦定理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．（2020·宝山区·上海交大附中高三月考）已知a0，b0，若ab4，则（）A．a2b2有最小值B．ab有最小值111C．有最大值D．有最大值abab【答案】A【分析】根据基本不等式的性质，即可求解a2b2有最小值，得到答案.【详解】由题意，可知a0，b0，且ab4，ab因为a0,b0，则ab2ab，即ab()24，所以2a2b2ab22ab162ab16248，当且仅当ab2时，等号成立，取得最小值8，故选A．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2xy113．（2020·上海普陀区·高三一模）若直线l：1经过第一象限内的点P(,)，则ab的最2baabab大值为（）7A．B．422C．523D．6326【答案】B2xy11【分析】直线l:1经过第一象限内的点P(，)，可得a，b0，2baababb221211b2t11．abab()a．令t0，g(t)，a(2ba)b(ab)a(2ba)b(ab)bb121a12t1taa(t0)再利用基本不等式计算可得．【详解】2xy11解：直线l:1经过第一象限内的点P(，)，2baabab21则a，b0，1．a(2ba)b(ab)b2212ba1abab()a．a(2ba)b(ab)a2babbb121aab2t12t1t12t令t0，g(t)a12t1t12t1t12t214tt111．2t23t12t23t12t3t1112因为2t322t3322，当且仅当2t即t时取最小值；ttt2111142221322。即gtg422故选：B．2t3max2t【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【真题模拟题专练】一、单选题ba1．（2022·上海黄浦·二模）若a、b均为非零实数，则不等式2成立的一个充要条件为（）．abA．ab0B．ab0C．ab0D．ab≤0【答案】A【分析】利用基本不等式及充要条件的定义判断即可；bab2a2【详解】解：因为a、b均为非零实数且2，所以2，abab因为b20，a20，所以b2a20，所以ab0，abbababa由ab0，可得0，0，所以22，当且仅当，即ab时取等号，baabababba所以不等式2成立的一个充要条件为ab0；ab故选：A2．（2022·上海崇明·二模）如果a0,b0，那么下列不等式中正确的是（）A．a2b2B．ab11C．abD．ab【答案】D11【分析】对A,B,C，举反例判定即可，对D，根据0判定即可ab【详解】对A，若a2,b1，则a2b2，ab不成立，故AB错误；对C，若a1,b2，则ab不成立，故C错误；11对D，因为0，故D正确；ab故选：D3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知ab，c0，则下列不等式中恒成立的是（）A．acbcB．a2cb2cC．a2cb2cD．ac2bc2【答案】D【分析】利用不等式的基本性质即可求解【详解】∵ab，c0，∴acbc，则选项A不正确；1当a1，b时，即a2b2，∴a2cb2c和a2cb2c成立，则选项B、C不正确；2∵c0,∴c20，∴ac2bc2，则选项D正确；故选：D.二、填空题214．（2022·上海静安·二模）若函数f(x)2(x0)的反函数为f1(x)，则不等式f1(x)3的解集是xx2__________.25【答案】2,9【分析】先由反函数的定义求出f1(x)，再解不等式求出解集即可.211211x1【详解】令y211，由x0可得y2，则，则f(x)x2，xx2xy11x1112525则3解得2x，故解集为2,.x119925故答案为：2,.9xy205．（2022·上海浦东新·二模）已知x、y满足x2y30，则zy4x的最小值为________．y0【答案】12【分析】画出可行域再根据y4xz截距与z正相关，分析取最值时过的点求解即可【详解】不等式组表示的可行域如图：由zy4x可得y4xz，由图可得当直线y2xz过点A3,0时纵截距最小，即z最小，最小值为z04312故答案为：1296．（2022·上海虹口·二模）函数f(x)x(x0)的值域为_________.x【答案】6,【分析】根据基本不等式即可解出．9【详解】因为x0，所以f(x)x296，当且仅当x3时取等号．x故答案为：6,．7．（2022·上海松江·二模）已知正实数a、b满足ab42ab，则ab的最小值为_______．【答案】4【分析】根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.【详解】因为a0,b0，ab2所以ab42ab2，当且仅当ab时等

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2023年上海高考数学满分复习攻略第02讲 不等式(含详解)

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