实对称矩阵实对称矩阵第1页，共14页。对称矩阵如果方阵A满足就称A为对称矩阵例如方阵A为对称矩阵矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等第2页，共14页。定理2实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。设A是对称矩阵实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值必为实数。证明定理3设A是n阶对称矩阵，是A的特征方程的重根，则对应特征值恰有个线性无关的特征向量。第3页，共14页。定理 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向量。实...
实对称矩阵第1页，共14页。对称矩阵如果方阵A满足就称A为对称矩阵例如方阵A为对称矩阵矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等第2页，共14页。定理2实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。设A是对称矩阵实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值必为实数。证明定理3设A是n阶对称矩阵，是A的特征方程的重根，则对应特征值恰有个线性无关的特征向量。第3页，共14页。定理 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向量。实对称矩阵的对角化第4页，共14页。例 用正交变换把下列对称矩阵对角化解 （１）求方阵Ａ的特征值 由 得特征值 （２）求特征向量 对于 对于 解方程组 得一个基础解系 解方程组 得一个基础解系 第5页，共14页。（３）将特征向量组正交化、单位化 令 正交化 单位化 第6页，共14页。（４）构造矩阵Ｐ，写出相应的对角形矩阵 令 则有 第7页，共14页。求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：1、求矩阵A的特征值2、求特征向量3、将特征向量正交化、单位化4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵第8页，共14页。练习设实对称矩阵解A的特征多项式为A的特征值为求正交矩阵P,使为对角矩阵.第9页，共14页。当解方程组即得到两个线性无关的特征向量对于得到特征向量取是矩阵A的正交特征向量组第10页，共14页。单位化令则有第11页，共14页。定义设A为n阶方阵,若则称A为反对称矩阵性质(1)实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数.(2)奇数阶反对称阵对应的行列式为0.(3)非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.反对称矩阵第12页，共14页。定义设A为n阶方阵,若满足则称A为幂等矩阵.性质(1)幂等矩阵的特征值为0或1.(2)幂等矩阵一定相似于形如的对称阵.幂等矩阵第13页，共14页。幂零矩阵定义设A为n阶方阵,若满足(ｍ为正整数），则称Ａ为幂零矩阵．性质(1)幂零矩阵的特征值为0.(２)非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵.第14页，共14页。
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