2021.04.19理论攻坚-数量关系2李亚波（讲义笔记）（2021三支一扶系统班：职业能力倾向测验）

理论攻坚-数量关系2（讲义+笔记）主讲教师：李亚波授课时间：2021.04.19粉笔公考·官方微信微信公众号：玉米资料库理论攻坚-数量关系2（讲义）第一节工程问题一、给完工时间型1.特征：给多个完成时间。2.方法：（1）赋工作总量（时间的公倍数）。（2）计算效率（效率=工作总量/时间）。（3）根据工作过程列式。【例1】单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。那么，甲实际工作了（）小时。A.2B.4C.5D.3【例2】一项工程，甲单独做24天完成，乙单独做36天完成。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人每次做3天，则完成这项工程一共需要（）天。A.28B.29C.30D.31二、给效率比例型1.特征：给多个效率的比例关系。2.方法：（1）赋效率（尽量赋为整数）。（2）计算工作总量（工作总量=效率*时间）。（3）根据工作过程列式。【例3】甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5∶4∶6。先由甲、乙两人合作6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的60%，若剩1微信公众号：玉米资料库下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是（）。A.9B.11C.10D.15【例4】有一批零件，甲和乙合作需要15天完成。若甲和乙合作10天后，乙再独自工作6天，最后这批零件还有总任务的1/10没完成，则甲单独做这批零件需要（）天。A.30B.36C.38D.40【例5】某工程50人进行 施工 文明施工目标施工进度表下载283施工进度表下载施工现场晴雨表下载施工日志模板免费下载 。如连续施工20天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有5天时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派15人并加班施工。若工程队想按期完成，则平均每天需工作（）小时。A.12.5B.11C.13.5D.11.5三、给具体数值型1.特征：给效率的具体值或工作总量的具体值。2.方法：方程法。【例6】甲、乙、丙三员工共同修剪6060平方米草地，甲的修剪效率为30平方米/分钟，乙的修剪效率为40平方米/分钟，丙的修剪效率为60平方米/分钟。上午，甲7点30分开始修剪，乙7点45分开始，丙8点15分开始，他们同一时间完成工作，乙用了（）分钟。A.56B.57C.58D.59第二节行程问题一、基础行程问题2微信公众号：玉米资料库1.利用公式直接运算：路程=速度*时间。2.火车过桥：路程=桥长+火车长。3.等距离平均速度：V̅=2V1V2/（V1+V2）。【例1】一列火车要通过两座大桥，已知完全通过第一座大桥用时30秒，桥长650米，之后为了尽快到达目的地，火车将速度提升了25%，随后完全通过第二座大桥用时40秒，桥长1250米。问火车的长度为多少米？（）A.150B.175C.200D.250【例2】甲去北京出差，去时坐飞机，返回时坐高铁。若飞机的速度比高铁快3倍，且往返平均速度为480千米/小时，问甲乘坐的飞机速度为多少千米/小时？（）A.720千米/小时B.768千米/小时C.960千米/小时D.1200千米/小时二、相对行程问题1.相遇：同时出发，相向而行。路程和=（大速度+小速度）*相遇时间。2.追及：同时出发，同向而行。路程差=（大速度–小速度）*追及时间。3.环形：相遇n次，路程和为n圈；追及n次，路程差为n圈。4.流水行船：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。【例3】甲、乙两人从相距10千米的地方相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时跑10千米，当狗碰到乙的时候就往回跑向甲，碰到甲的时候又折回跑向乙，如此反复。当甲、乙两人相遇时，狗跑的路程是（）。A.10千米B.12千米C.15千米D.20千米【例4】某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20公里/小时的速度去相距60公里的八一村，1小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1小3微信公众号：玉米资料库时后，乙宣传员以50公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距离为（）。A.25公里B.30公里C.35公里D.40公里【例5】两名运动员在湖的周围环形道上 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过（）分钟两人相遇。A.3B.4C.5D.6【例6】在一次航海模型展示活动中，甲、乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲、乙两款模型相遇次数是（）。A.9B.10C.11D.12【例7】甲、乙两港口相距360千米，某船只从甲港口顺流而下至乙港口需要4.5小时，从乙港口返回至甲港口所花的时间为顺流的2倍。假设该船只的静水速度一定，则该河的水流速度为（）千米/小时。A.12B.15C.18D.20三、比例行程1.s相等（不变），v、t成反比。2.t相等（不变），s、v成正比。3.v相等（不变），s、t成正比。【例8】甲、乙、丙三人都始终以匀速进行400米赛跑，当甲冲过终点时，领先乙50米，领先丙120米。当乙到达终点时，领先丙多少米？（）4微信公众号：玉米资料库A.40米B.70米C.80米D.90米5微信公众号：玉米资料库理论攻坚-数量关系2（笔记）第一节工程问题【注意】工程问题：研究生活中修路、造桥、加工零件等问题。1.三量关系：总量=效率*时间（W=P*t），核心公式。2.切入点：主要讲解题型特征与解题思路。（1）给定完工时间型。（2）给定效率比例型。（3）给定具体单位型。一、给完工时间型1.特征：给多个完成时间。2.方法：（1）赋工作总量（时间的公倍数）。（2）计算效率（效率=工作总量/时间）。（3）根据工作过程列式。【知识点】给定完工时间型：1.题型特征：给完成同一个工程的多个完工时间。关键词：同一个工程、多个（≥2）完工时间。2.例：搬完一车砖，小李需要45分钟，小龙需要30分钟，现俩人合作搬完，需要多久？答：小学时假设工作总量为1，小李的效率为1/45、小龙的效率为1/30，效率和=1/45+1/30=2/90+3/90=5/90，总时间=1÷（5/90）=90/5=18分钟。出现分数，需要通分，不方便计算。因为将工作总量视为单位1，才会出现分数，如果总量既是45的倍数，又是30的倍数，分数会消失。赋值工作总量为45、30的公倍数90，小李的效率=90/45=2、小龙的效率=90/30=3，效率和=2+3=5，总时间=90/5=18分钟。90不是实际的工作总量，只是赋值的结果，但凡能赋值的都不是实际量。3.方法步骤：6微信公众号：玉米资料库（1）赋总量（时间的公倍数）。（2）算效率：效率=总量/时间。（3）根据过程列式求解。4.找公倍数训练：短除法（两两之间没有公因数为止）。（1）25、30：画短除号，25、30都能被5整除，结果分别为5、6。5、6没有公因数，将最外围的数字相乘，5*5*6=150，即150是25、30的最小公倍数。（2）8、12、18：画短除号，8、12、18都能被2整除，结果分别为4、6、9。4、6都能被2整除，结果分别为2、3，将9抄在下面。3、9都能被3整除，结果分别为1、3，将2抄在下面。2、1、3没有公因数，将最外围的数字相乘，2*2*3*2*1*3=72，即72是8、12、18的最小公倍数。【例1】单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。那么，甲实际工作了（）小时。A.2B.4C.5D.3【解析】例1.10小时、15小时、20小时是甲、乙、丙单独完成某项工程所用的时间，为给定完工时间型的工程问题。（1）赋总量：赋值总量为完工时间10、15、20的公倍数60。（2）算效率：甲的效率=60/10=6、乙的效率=60/15=4、丙的效率=60/20=3。（3）列式求解：设甲的工作时间为t，W总=W甲+W乙+W丙→7微信公众号：玉米资料库60=6t+4*6+3*6→10=t+4+3→t=3小时，对应D项。【选D】【注意】10、15、20的公倍数：画短除号，10、15、20都可以被5整除，结果分别为2、3、4。2、4都可以被2整除，结果分别为1、2，将3抄在下面。1、3、2不存在公因数，将最外围的数字相乘，5*2*1*3*2=60，即60是10、15、20的公倍数。【例2】一项工程，甲单独做24天完成，乙单独做36天完成。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人每次做3天，则完成这项工程一共需要（）天。A.28B.29C.30D.31【解析】例2.24天、36天是甲、乙单独完成工程所用的时间，为给定完工时间型的工程问题。（1）赋总量：赋值总量为完工时间24、36的公倍数72。（2）算效率：甲的效率=72/24=3、乙的效率=72/36=2。（3）列式求解：已知“按照甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作”，甲、乙为一个周期，一个周期中甲、乙各工作3天，一个周期工作（3+2）*3=15份工作量，72/15=4个周期……12份工作量，4个周期包含4*6=24天，12份工作量中甲先工作3天，3*3=9份工作量，剩余12-9=3份工作量，乙需要工作3/2=1.5天，总时间=24+3+1.5=28.5天，28天无法完成全部工作，取整为29天，对应B项。【选B】【注意】1.24、36的公倍数：画短除号，24、36都可以被6整除，结果分别为4、6。4、6都可以被2整除，结果分别为2、3。2、3不存在公因数，将最外围的数字相乘，6*2*2*3=72，即72是24、36的公倍数。8微信公众号：玉米资料库2.结合周期问题考查时解题技巧：（1）找周期。（2）一个周期的工作量。（3）需要几个周期。（4）余数。二、给效率比例型1.特征：给多个效率的比例关系。2.方法：（1）赋效率（尽量赋为整数）。（2）计算工作总量（工作总量=效率*时间）。（3）根据工作过程列式。【知识点】给定效率比例型：1.题型特征：给多个效率的比例关系。2.例：小李和小张的效率之比为2：3,两人合作完成一项工程需要4天，则小李单独做需要几天？答：已知“小李和小张的效率之比为2：3”，给出效率的比例关系。设小李的效率为2x、小张的效率为3x，工作总量=（2x+3x）*4=20x，小李的时间=20x/（2x）=10天。如果设未知数求解，未知数会在计算过程中被消掉。赋值小李的效率为2、小张的效率为3，工作总量=（2+3）*4=20，小李的时间=20/2=10天。3.方法步骤：（1）赋效率（满足比例即可）。（2）算总量：效率*时间=总量。（3）根据工作过程列式求解。4.效率比例72变：（1）直接给：甲：乙=3：4，则赋值甲的效率为3、乙的效率为4；甲的效9微信公众号：玉米资料库率是乙的3/4→甲/乙=3/4，则赋值甲的效率为3、乙的效率为4。（2）间接给（比较难）：甲4天的工作量等于乙3天的工作量，4天、3天都不是完工时间，甲的效率*4=乙的效率*3→甲的效率/乙的效率=3/4，则赋值甲的效率为3、乙的效率为4。（3）特殊形式：30台机器、40个人，默认每台机器、每个人的效率相同，赋值每台机器、每个人的效率为1，则30台机器的效率为1*30=30、40个人的效率为1*40=40。如一项工程需要30台机器工作15小时才能完成。【例3】甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5：4：6。先由甲、乙两人合作6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的60%，若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是（）。A.9B.11C.10D.15【解析】例3.已知“工作效率之比是5：4：6”，为给定效率比例型的工程问题。（1）赋效率：赋值甲的效率为5、乙的效率为4、丙的效率为6。（2）算总量：（5+4）*6+4*9=W总*60%→90=W总*0.6→W总=90/0.6=150。（3）列式求解：剩下的工程由丙单独完成，设丙需要的天数为t，150*（1-60%）=6*t→60=6t→t=10天，对应C项。【选C】【例4】有一批零件，甲和乙合作需要15天完成。若甲和乙合作10天后，乙再独自工作6天，最后这批零件还有总任务的1/10没完成，则甲单独做这批零件需要（）天。A.30B.36C.38D.40【解析】例4.只给出一个完工时间（15天），间接给出效率比例。已知“甲和乙合作需要15天完成”，（甲+乙）*15=W总①；已知“甲和乙合作10天后，乙再独自工作6天，最后这批零件还有总任务的1/10没完成”，（甲+乙）*10+6*乙=W总*（9/10）②。②*10、①*9得：（甲+乙）*15*9=（甲+乙）*100+60*乙→7*（甲+乙）=12*乙→7*甲=5*乙→甲/乙=5/7。（1）赋效率：赋值甲的效率为5、10微信公众号：玉米资料库乙的效率为7。（2）算总量：W总=（5+7）*15。（3）列式求解：设甲单独做这批零件需要的时间为t，W总=甲*t→12*15=5*t→t=36天，对应B项。【选B】【例5】某工程50人进行施工。如连续施工20天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有5天时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派15人并加班施工。若工程队想按期完成，则平均每天需工作（）小时。A.12.5B.11C.13.5D.11.5【解析】例5.提及人数，默认每人效率相同，为给定效率比例的特殊形式。（1）赋效率：赋值每人每天每小时的效率为1，则50人每天每小时的效率为50*1=50。（2）算总量：W总=50*20*10。（3）列式求解：画线段图 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，一共20天工期，有5天无法施工，工期还剩余8天，实际工作20-5-8=7天，W总=W1+W2，后8天需要加班进行。设剩余8天每天的工作时间为t，列式：50*20*10=7*10*50+8*t*（50+15）→13*10*10=8*13*t→100=8t→t=12.5小时，对应A项。【选A】三、给具体数值型1.特征：给效率的具体值或工作总量的具体值。2.方法：方程法。【知识点】给定具体单位型：1.题型特征：一般给出工作效率或者工作量的具体值，不能赋值。2.方法：（1）设未知数。（2）根据工作过程列方程（优先以工作量为等量关系）。11微信公众号：玉米资料库【例6】甲、乙、丙三员工共同修剪6060平方米草地，甲的修剪效率为30平方米/分钟，乙的修剪效率为40平方米/分钟，丙的修剪效率为60平方米/分钟。上午，甲7点30分开始修剪，乙7点45分开始，丙8点15分开始，他们同一时间完成工作，乙用了（）分钟。A.56B.57C.58D.59【解析】例6.“6060平方米草地”为工作总量，为给定具体单位型的工程问题，不能赋值，列方程求解。已知“甲7点30分开始修剪，乙7点45分开始，丙8点15分开始，他们同一时间完成工作”，甲、乙、丙开始的时间不同，但是同时结束，甲比乙多工作7：45-7：30=15分钟，丙比乙少工作8：15-7：45=30分钟。设乙的工作时间为x，则甲的工作时间为x+15，丙的工作时间为x-30，列式：W甲+W乙+W丙=6060→30*（x+15）+40x+60*（x-30）=6060→3*（x+15）+4x+6*（x-30）=606→3x+45+4x+6x-180=606→13x=606+180-45=741→x=57分钟，对应B项。【选B】【注意】工程问题：1.给完工时间型：（1）特征：给多个完工时间。（2）方法：赋工作量、计算效率、列方程求解。（3）技巧：工作量一般赋公倍数（短除法）。2.给效率比例型：12微信公众号：玉米资料库（1）特征：给效率的比例关系。（2）方法：赋效率、计算工作量、列方程求解。（3）技巧：按比例赋效率，尽量赋整数。3.给具体数值型：（1）特征：给效率或工作量的具体值。（2）方法：找等量关系列方程。（3）技巧：以工作量为等量关系。第二节行程问题【注意】行程问题：整体难度不是很大，但是有些题目难度较大，考试时如果读题就有思路，可以尝试解题，如果没有思路，建议跳过。1.三量关系：路程=速度*时间（S=V*t）。2.题型：（1）基础行程问题（简单）。（2）相对行程问题（较难、重点）。（3）比例行程（补充部分）。一、基础行程问题1.利用公式直接运算：路程=速度*时间。2.火车过桥：路程=桥长+火车长。3.等距离平均速度：V̅=2V1V2/（V1+V2）。【知识点】基础行程：1.基本公式考查：路程=速度*时间。（1）例：飞行员前4分钟用半速飞行，后4分钟用全速飞行，在8分钟内一共飞行72千米，则飞机的时速是（）。A.360千米B.540千米C.720千米D.840千米答：根据“路程=速度*时间”，列式：4*（1/2）*V+4V=72→6V=72→V=72/6=12千米/分钟，问“时速”，注意单位，12千米/分钟=720千米/小时，对应C项。13微信公众号：玉米资料库（2）1米/秒=60米/分钟=3600米/小时。2.火车过桥（简单）：（1）火车过桥（考查较多，重点记忆）：路程=桥长+火车长。从火车车头达到桥面，直到车尾离开桥面，火车本身有长度，关注火车车头，火车行驶的路程（车头到车头的距离）=桥长+车长。（2）火车完全在桥上（考查较多）：路程=桥长-火车长。从火车车尾抵达桥面，直到车头离开桥面，火车本身有长度，关注火车车头，火车行驶的路程（车头到车头的距离）=桥长-车长。3.等距离平均速度。【例1】一列火车要通过两座大桥，已知完全通过第一座大桥用时30秒，桥长650米，之后为了尽快到达目的地，火车将速度提升了25%，随后完全通过第二座大桥用时40秒，桥长1250米。问火车的长度为多少米？（）A.150B.175C.200D.250【解析】例1.火车过桥问题：路程=桥长+车长=V车*t。设火车的长度为x，已知“完全通过第一座大桥用时30秒，桥长650米”，650+x=V车*30①；已知“火车将速度提升了25%，随后完全通过第二座大桥用时40秒，桥长1250米”，1250+x=V车*（1+25%）*40②。方法一：两个未知数、两个方程，②-①得：600=20*V车→V车=30米/秒，则650+x=30*30→x=900-650=250米，对应D项。方法二：如果考试时时间不充分，可以猜题。观察①式，650+x=V车*30，即桥长+车长是30的倍数。代入A项：150+650=800，不是30的倍数，排除A项；14微信公众号：玉米资料库代入B项：175+650=825，不是30的倍数；代入C项：200+650=850，不是30的倍数， 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 选择D项。【选D】【知识点】等距离平均速度：1.公式（记忆即可，推导过程不重要）：V̅=2V1V2/（V1+V2）。推导：下班路上有家按摩店，AB=BC=S，A点到B点的速度为V1、B点到C点的速度为V2，V̅=S总/t总=2S÷（S/V1+S/V2）=2÷（1/V1+1/V2）=2÷[V2/（V1V2）+V1/（V1V2）]=2÷[（V1+V2）/（V1V2）]=2V1V2/（V1+V2）。2.适用于：（1）等距离两段。（2）上下坡往返。如上坡的速度为V1，下坡的速度为V2，上坡与下坡的路程相同，可以用等距离平均速度公式。（3）直线往返。如去的时候速度为V1，返回时的速度为V2，往返距离相同，可以用等距离平均速度公式。【例2】甲去北京出差，去时坐飞机，返回时坐高铁。若飞机的速度比高铁快3倍，且往返平均速度为480千米/小时，问甲乘坐的飞机速度为多少千米/小时？（）A.720千米/小时B.768千米/小时C.960千米/小时D.1200千米/小时【解析】例2.平均速度问题，公式：V̅=2V1V2/（V1+V2）。只研究直线距离，15微信公众号：玉米资料库不考虑飞机与高铁的路线。已知“飞机的速度比高铁快3倍”，V飞=4V高→V高=（1/4）*V飞，注意陷阱。代入数据，480=2*V飞*V高/（V飞+V高）=[2V飞*（1/4）*V飞]÷[V飞+（1/4）*V飞]→480=[（1/2）*V飞]÷（5/4）=（1/2）*（4/5）*V飞=（2/5）*V飞→V飞=1200千米/小时，对应D项。【选D】【注意】基础行程：1.路程=速度*时间（S=V*T）。2.火车过桥：（1）过桥：路程=车长+桥长。（2）完全在桥上：路程=桥长-车长。（3）过杆/灯：路程=车长。3.平均速度：（1）平均速度=总路程/总时间。（2）等距离平均速度=2V1*V2/（V1+V2）。二、相对行程问题1.相遇：同时出发，相向而行。路程和=（大速度+小速度）*相遇时间。2.追及：同时出发，同向而行。路程差=（大速度–小速度）*追及时间。3.环形：相遇n次，路程和为n圈；追及n次，路程差为n圈。4.流水行船：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。16微信公众号：玉米资料库【注意】相对行程：记住公式套公式即可。1.相遇问题。2.追及问题。3.流水行船问题。【知识点】1.直线相遇：两人同时相向而行。（1）公式：S和=V和*t。（2）推导：比如甲和乙分别从两端出发，相向而行，同时出发、同时到达C点，时间是一定的，俩人同时出发、同时到达C点，用时是一样的，用t 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示。甲、乙的速度分别为V1、V2，则S甲=V1*t，S乙=V2*t，则S甲+S乙=S和=（V1+V2）*t=V和*t。路程和是两个人同时开始出发时相距的距离。2.直线追及：两人同时同向而行。（1）公式：S差=V差*t。S差：追及刚开始时两人相差的距离。（2）推导：比如甲从A出发，速度是V1；乙从B出发，速度是V2，甲追乙，到C点追上，S甲=V1*t，S乙=V2*t，求两个人最开始相距的距离，即AB，AB=AC-BC，故S差=（V1-V2）*t。路程差是追及刚开始的时候两个人相距的距离。【例3】甲、乙两人从相距10千米的地方相向而行，甲每小时走6千米，17微信公众号：玉米资料库乙每小时走4千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时跑10千米，当狗碰到乙的时候就往回跑向甲，碰到甲的时候又折回跑向乙，如此反复。当甲、乙两人相遇时，狗跑的路程是（）。A.10千米B.12千米C.15千米D.20千米【解析】例3.求两个人相遇的时候狗跑的路程，S狗=V狗*t，根据题干可知，S狗=10t，时间t就是甲和乙从出发到相遇的时间，已知相遇问题中S和=V和*t，代入数据，10=（6+4）*t，解得t=1小时，代入S狗=10t可得所求S狗=10千米，对应A项。【选A】【例4】某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20公里/小时的速度去相距60公里的八一村，1小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1小时后，乙宣传员以50公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距离为（）。A.25公里B.30公里C.35公里D.40公里【解析】例4.题目中给的过程很多，考虑画图帮助理解，先标出红星村和八一村，甲开始的时候是每小时20km，一个小时后出现路面湿滑，故甲走了20*1=20km时遇上路面湿滑（假设是A点），甲从A点出发的时候，甲的速度变成了20*1/2=10km/h；在甲出发1小时后，乙从红星村出发追甲，速度是50km/h，假如追上的点是B点，求的是B点到八一村的距离，后半段没有足够条件，只能通过前面条件分析，求出前面一共走了多少路程。追上，即追及，公式为：S差=V差*t，S差=20km，代入数据：20=（50-10）*t，解得t=0.5h，乙走了20*0.5=25km，求的是B点到八一村的距离，25km是红星村到B点的距离，故所求=60-25=35km，对应C项。【选C】18微信公众号：玉米资料库【注意】问的是与八一村的距离，就是自己跑一段，后来还有一段，即两段加和为60，观察选项，发现A、C项加和为60，正确答案就在A、C项中，考场上来不及算可以蒙一个。【知识点】1.环形相遇（同点、反向）：（1）公式：S和=V和*t。（2）路程关系：相遇1次，S和=1圈；相遇n次，S和=n圈。（3）推导：环形相遇问题与相遇的次数有关，比如相遇1次时，猫和老鼠合作跑了一圈，路程和就是一圈；相遇两次就是合作跑了2圈……每多相遇1次，路程和就多1圈，相遇n次，路程和就是n圈。2.环形追及（同点、同向）：记住结论会用即可。（1）公式：S差=V差*t。（2）路程关系：追上1次，S差=1圈；追上n次，S差=n圈。（3）推导：如图，同点出发，老鼠跑得慢（红色部分），猫跑得快（蓝色部分），猫追上老鼠的时候，比老鼠多跑了一圈。追上1次，S差=1圈；追上n次，S差=n圈。19微信公众号：玉米资料库【例5】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过（）分钟两人相遇。A.3B.4C.5D.6【解析】例5.画图分析，同时同地同向出发：甲跑的用蓝色表示，乙用红色表示，甲追上乙的时候比乙多跑了一圈，S差=V差*t，S差=1圈。反向出发：肯定会相遇，假设相遇在某点，可知S和=V和*t，S和=1圈。可列式：S湖=（250-200）*45=50*45=2250，代入S和=V和*t，即2250=（250+200）*t，解得t=5分钟，对应C项。【选C】【补例】小李和小麦两人从同一起跑线上绕400米的环形跑道跑步，小李的20微信公众号：玉米资料库速度是8米/秒，小麦的速度是6米/秒。问第二次追上小麦时小李跑了几圈。A.10B.8C.6D.4【解析】补例.第一次追上，小李多跑1圈；第二次追上，小李多跑2圈，追及问题公式：S差=V差*t，代入数据：2*400=（8-6）*t，解得t=400秒，小李400秒跑了400*8=8圈，对应B项。【选B】【知识点】直线两端出发多次相遇：1.推导：从两端出发。甲、乙从路程两端出发。第一次迎面相遇，共走1S。指的是两人最开始的距离。第一次相遇之后继续走，到达对点两人都折返。第2次迎面相遇，共走3S。第3次迎面相遇，共走5S。分别是1、3、5、7、9，是等差数列，综上，可推出规律，第n次迎面相遇，S和=（2n-1）*S=（V1+V2）*T2.S：两人起点之间的距离。【例6】在一次航海模型展示活动中，甲、乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲、乙两款模型相遇次数是（）。A.9B.10C.11D.12【解析】例6.问相遇次数，为多次相遇问题，公式：S总=（2n-1）*S=V和*t，求的是相遇的次数，即n，代入数据，S是最开始时的距离，甲的速度是100/72，乙的速度是100/60，故可列式：（2n-1）*100=（100/72+100/60）*12，速度的单位是秒，问的是在12分钟内甲、乙两款模型相遇次数，故要转换单位，即（2n-1）*100=（100/72+100/60）*12*60→（2n-1）*100=100*（1/72+1/60）*12*60→21微信公众号：玉米资料库2n-1=10+12，解得n=11.5次，不能出现0.5次，11.5次还在第12次相遇的路上，故不到12次，只能是11次，对应C项。【选C】【注意】相遇追及：1.相遇追及：（1）相遇：S和=V和*T遇。（2）追及：S差=V差*T追。2.多次运动：（1）线形两端出发第n次相遇：（2n-1）S=V和*T。（2）环形第n次相遇：n圈=V和*T。（3）环形第n次追及：n圈=V差*T。【知识点】流水行船：1.V顺=V船+V水①。2.V逆=V船-V水②。3.注：静水速度=船速、漂流速度=水速，比如一个船上掉下来一个瓶子，瓶子漂流的速度是1m/s，瓶子漂流的速度就是水速。4.若说甲到乙是顺流而下，要知道是顺流；若说甲到乙是逆流而上，要知道是逆水。5.题目中不会直接去求顺水、逆水的速度，而是求船速或水速，若求V船，用（V顺+V逆）/2，若求V水，用（V顺-V逆）/2。22微信公众号：玉米资料库【例7】甲、乙两港口相距360千米，某船只从甲港口顺流而下至乙港口需要4.5小时，从乙港口返回至甲港口所花的时间为顺流的2倍。假设该船只的静水速度一定，则该河的水流速度为（）千米/小时。A.12B.15C.18D.20【解析】例7.船只从甲港口顺流而下即从甲到乙是顺流，需要4.5小时，相距360km，则已知时间和路程，可求得V顺=360/4.5=80km/h，回去的时候是逆水，时间变为原来的2倍，即4.5*2=9h，则V逆=360/9=40km/h，求水速，V水=（V顺-V逆）/2=（80-40）/2=20km/h，对应D项。【选D】三、比例行程1.s相等（不变），v、t成反比。2.t相等（不变），s、v成正比。3.v相等（不变），s、t成正比。【知识点】比例行程：1.路程=速度*时间。（1）路程一定，速度与时间成反比。比如从家到公司，步行的速度慢，时23微信公众号：玉米资料库间用的就多；若打车去，速度变快，所用时间就变少，故速度和时间成反比。（2）速度一定，路程与时间成正比。速度一定，用的时间越多，路程就越长、反之用的时间越少，走的路程就越少。（3）时间一定，路程与速度成正比。速度越快、路程越长，速度越慢，路程越短。2.先确定是路程一定还是速度一定还是时间一定，若只给出时间，求的也是时间，比如路程A——B，甲用5小时走完，乙用3小时走完，都是同样的路，即S一定，甲用时5h，乙用时3h，可求得甲、乙的速度比，已知t甲/t乙=5/3，即V甲/V乙=3/5。【例8】甲、乙、丙三人都始终以匀速进行400米赛跑，当甲冲过终点时，领先乙50米，领先丙120米。当乙到达终点时，领先丙多少米？（）A.40米B.70米C.80米D.90米【解析】例8.已知“当甲冲过终点时，领先乙50米，领先丙120米”，即甲跑了400米，乙跑了350米，丙跑了280米，问乙到达终点时，领先丙多少米，当乙到达终点，即当乙跑了400米时，领先丙多少米。没有给出时间和速度，考查比例行程。第一次跑：时间一定，速度和路程成正比，则S乙/S丙=V乙/V丙，代入数据，350/280=V乙/V丙=5/4；第二次跑：时间一定，V乙/V丙=5/4=S乙/S丙，已知S乙=400，故S丙=320，领先了400-320=80米，对应C项。24微信公众号：玉米资料库方法二：比如小明和小红，小明跑一百米的时候小红跑200米，当小明跑200米的时候，小红跑400米。第一次S乙：S丙=350：280，满足5：4，故第二次S乙：S丙也满足5：4，第二次乙跑了400，若满足5：4，则丙跑了320米，领先了400-320=80米，对应C项。【选C】【注意】行程问题：1.基础行程：（1）路程=速度*时间（S=V*T）。（2）火车过桥：①过桥：路程=车长+桥长。②完全在桥上：路程=桥长-车长。（3）平均速度：①总路程/总时间。25微信公众号：玉米资料库②等距离平均速度=2V1V2/（V1+V2）。2.流水行船：（1）顺水：S=（V船+V水）*T顺。（2）逆水：S=（V船-V水）*T逆。3.相遇追及：（1）相遇追及：①相遇：S和=V和*T遇。②追及：S差=V差*T追。（2）多次运动：①线形两端出发第n次相遇：（2n-1）S=V和*T。②环形第n次相遇：n圈=V和*T。③环形第n次追及：n圈=V差*T。4.比例行程：（1）S一定，V、T成反比。（2）V一定，S、T成正比。（3）T一定，S、V成正比。【注意】1.预习：经济利润问题、排列组合与概率。2.心里揣个小太阳昂扬前进。【答案汇总】工程问题：1-5：DBCBA；6：B行程问题：1-5：DDACC；6-8：CDC26微信公众号：玉米资料库遇见不一样的自己Beyourbetterself27微信公众号：玉米资料库