(完整版)高中数学不等式知识点总结弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）ab,bcac③（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）ab,c0acbcab,c0acbc⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbdabab0,0cd（异向正数可除性）cdab0anbn(nN,n1)⑥（平方法则）且nn⑦（开方法则）ab0ab(nN,且n1)1111ab0;ab0⑧（倒数法则）abab2、几个重要不等式a2b2a2b22aba，bRab.①（,当...
弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）ab,bcac③（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）ab,c0acbcab,c0acbc⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbdabab0,0cd（异向正数可除性）cdab0anbn(nN,n1)⑥（平方法则）且nn⑦（开方法则）ab0ab(nN,且n1)1111ab0;ab0⑧（倒数法则）abab2、几个重要不等式a2b2a2b22aba，bRab.①（,当且仅当ab时取""号）.变形公式：2ababa，bR②（基本不等式）2,（当且仅当ab时取到等号）.2abab.变形公式：ab2ab2用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.abc3abc③（三个正数的算术—几何平均不等式）3(a、b、cR)（当且仅当abc时取到等号）.222abcabbccaa，bR④（当且仅当abc时取到等号）.333⑤abc3abc(a0,b0,c0)（当且仅当abc时取到等号）.ba若ab0,则2⑥ab（当仅当a=b时取等号）ba若ab0,则2ab（当仅当a=b时取等号）bbmana1ab0m0n0)⑦aambnb，（其中，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.22当a0时，xaxaxa或xa;⑧22xaxaaxa.ababab.⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式2aba2b211ab①平均不等式：ab22，（a,bR，当且仅当ab时取""号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：2222abab22(ab)ab;ab.222②幂平均不等式：22212a1a2...an(a1a2...an).n③二维形式的三角不等式：222222x1y1x2y2(x1x2)(y1y2)(x1,y1,x2,y2R).④二维形式的柯西不等式：22222(ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3).⑥一般形式的柯西不等式：2222222(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn).⑦向量形式的柯西不等式：ururururururururur,,k设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数k，使时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：aa...a,bb...bc,c,...,cb,b,...,b设12n12n为两组实数.12n是12n的任一排列，则abab...abacac...acabab...ab.1n2n1n11122nn1122nn（反序和乱序和aa...abb...b顺序和），当且仅当12n或12n时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）f(x)x1,x2(x1x2),若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有xxf(x)f(x)xxf(x)f(x)f(12)12或f(12)12.2222则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：131(a)2(a)2;①舍去或加上一些项，如242②将分子或分母放大（缩小），111122122,2,,如kk(k1)kk(k1)2kkkkkk112(kN*,k1)kkk1等.5、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式axbxc0(或0)2(a0,b4ac0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)f(x)g(x)00g(x)g(x)0（“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f(x)0f(x)a(a0)f(x)a2⑴f(x)0f(x)a(a0)2⑵f(x)af(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或2g(x)0⑶f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2⑷f(x)0f(x)g(x)g(x)0⑸f(x)g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：f(x)g(x)⑴当a1时,aaf(x)g(x)f(x)g(x)⑵当0a1时,aaf(x)g(x)规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)⑴当a1时,f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)⑵当0a1时,规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：a(a0)a.⑴定义法：a(a0)22f(x)g(x)f(x)g(x).⑵平方法：⑶同解变形法，其同解定理有：xaaxa(a0);①xaxa或xa(a0);②f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)③f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)④规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法2解形如axbxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题2⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;a0②当a0时0.2⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：b0,c0;①当a0时a0②当a0时0.f(x)a;⑶f(x)a恒成立maxf(x)a;f(x)a恒成立maxf(x)a;⑷f(x)a恒成立minf(x)af(x)a.恒成立min15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：zAxBy;yybzz;②“斜率”型：x或xa2222zxyzxy;③“距离”型：或2222z(xa)(yb)或z(xa)(yb).在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
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