《数值分析插值法》PPT课件备课讲稿

《数值 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 插值法》 ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt 课件x0x1x2x3x4xP(x)f(x)f(x)y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)其它点P(x)f(x)=y2.1.1插值问题设y=f(x)是区间[a,b]上的一个实函数,xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知y=f(x)在xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一个次数不超过n的多项式Pn(x)使其满足Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)(5-1)这就是多项式插值问题.2.1引言其中Pn(x)称为f(x)的n次插值多项式,f(x)称为被插函数,xi(i=0,1,...,n)称为插值节点,(xi,yi)(i=0,1,…,n)称为插值点,[a,b]称为插值区间,式(5-1)称为插值条件。从几何意义来看,上述问题就是 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 一条多项式曲线y=Pn(x),使它通过已知的n+1个点(xi,yi)(i=0,1,…,n),并用Pn(x)近似 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示f(x).即P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn其中ai为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值，若P(x)为三角多项式,就称为三角插值，本章只讨论插值多项式与分段插值。本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛些及误差估计等。定理1设节点xi(i=0,1,…,n)互异,则满足插值条件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)的次数不超过n的多项式存在且唯一.证设所求的插值多项式为Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn(5-2)则由插值条件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得关于系数a0,a1,…,an的线性代数方程组2.1.2插值多项式的存在性和唯一性此方程组有n+1个方程,n+1个未知数,其系数行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：（5-3）由克莱姆法则知方程组(5-3)的解存在唯一.证毕。考虑最简单、最基本的插值问题.求n次插值多项式li(x)(i=0,1,…,n),使其满足插值条件2.2.1基函数可知,除xi点外,其余都是li(x)的零点,故可设Lagrange法1736-18132.2拉格朗日插值其中A为常数,由li(xi)=1可得称之为拉格朗日基函数,都是n次多项式。n=1时的一次基函数为:y1Oxy1Ox即已知函数f(x)在点x0和x1点的函数值y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性函数L(x)=a0+a1x使满足条件：L(x0)=y0,L(x1)=y1.此为两点线性插值问题或用直线的两点式表示为：插值基函数的特点： x0x1l010l1011x0x1l0l1记n=2时的二次基函数为:可知其满足2.2.2拉格朗日插值多项式利用拉格朗日基函数li(x),构造次数不超过n的多项式称为拉格朗日插值多项式,再由插值多项式的唯一性,得特别地,当n=1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.当n=2时又叫抛物（线）插值,其几何意义为过三点的抛物线.注意:(1)对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关;以xi(i=0,1,…,n)为插值节点,函数f(x)1作插值多项式,由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性质(2)插值基函数li(x)仅由插值节点xi(i=0,1,…,n)确定,与被插函数f(x)无关;(3)插值基函数li(x)的顺序与插值节点xi(i=0,1,…,n)的顺序一致.这是因为若取(x)=xk(k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有特别当k=0时,就得到所以例1已知用线性插值(即一次插值多项式)求的近似值。基函数分别为:解插值多项式为()例2求过点(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的抛物线插值(即三次插值多项式).解以以为节点的基函数分别为:则拉格朗日的三次插值多项式为截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)也称为n次Lagrange插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。定理2设f(x)在区间[a,b]上存在n+1阶导数,xi∈[a,b](i=0,1,…,n)为n+1个互异节点,则对任何x∈[a,b],有2.2.3插值余项且与x有关)证由插值条件和n+1(x)的定义,当x=xk时,式子显然成立,并且有n+1(xk)=0(k=0,1,…,n),这表明x0,x1,…,xn都是函数n+1(x)的零点,从而n+1(x)可表示为其中K(x)是待定函数。对于任意固定的x[a,b],xxk,构造自变量t的辅助函数由式n+1(xk)=0和式Ln(xk)=yk(k=0,1,…,n),以及可知：x0,x1,,xn和x是(t)在区间[a,b]上的n+2个互异零点,因此根据罗尔(Rolle)定理,至少存在一点=(x)(a,b),使即所以一般来说,外推比内插效果差,在估计误差时下列不等式很有用。的抛物插值多项式,且计算f(3)的近似值并估计误差。例3设解插值多项式为因为故于是另　见书p29的例1.用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差.例4给定函数表解取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有ln11.25L2(11.25)在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可得误差估计式实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.2.3.1均差及其基本性质定义1称为f(x)在x0、x1点的一阶均差.一阶均差的均差(差商)称为函数f(x)在x0、x1、x2点的二阶均差.英1642-17272.3均差与牛顿插值 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 一般地，n-1阶均差的均差称为f(x)在x0,x1,…,xn点的n阶均差。差商的计算步骤与结果可列成均差表，如下一般f(xi)称为f(x)在xi点的零阶均差，记作f[xi]。表5-1（均差表）给出节点x0,x1,…,xn和函数值(x0),(x1),…,(xn),可按如下的差商表顺序逐次计算各阶差商值.这一性质可以用数学归纳法证明，它表明均差与节点的排列次序无关，即f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,x0]性质1均差可以表示为函数值的线性组合，即称之为均差的对称性（也称为对称性质）。性质2由性质1立刻得到或性质3n次多项式f(x)的k阶差商,当kn时是一个n-k次多项式;当k>n时恒等于0.性质4若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且节点x0,x1,…,xn∈[a,b],则至少存在一点[a,b]满足下式例1f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].解f(8)(x)=－6·8!,f[1,2,…,9]=-6,f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.2.3.2牛顿插值多项式设x是[a，b]上一点，由一阶均差定义得同理，由二阶均差定义如此继续下去，可得一系列等式得得依次把后式代入前式，最后得其中可见,Nn(x)为次数不超过n的多项式,且易知Rn(xi)=0即Nn(xi)=yi,(i=0,1,…,n)满足插值条件,故其为插值问题的解,Nn(x)称为牛顿插值多项式。Rn(x)称为牛顿型插值余项。由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式是等价的,即Ln(x)Nn(x)且有如下递推形式和余项公式由此即得性质4。且例1已知f(x)=shx的数表,求二次牛顿插值多项式,并由此计算f(0.596)的近似值。解由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为又可得过前四点的三次牛顿插值多项式故可得N3(x)的截断误差设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih(i=0,1,…,n)上的函数值为fi=f(xi)(h为步长)定义2fi=fi+1-fi和fi=fi-fi-1分别称为函数f(x)在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分。一般地,f(x)在点xi处的m阶向前差分和m阶向后差分分别为mfi=m-1fi+1-m-1fi和mfi=m-1fi-m-1fi-12.4差分与等距节点插值2.4.1差分及其性质构造差分表5-2容易证明，差分有如下基本性质性质1各阶差分均可用函数值表示.即且有等式nfi=nfi+n.性质3均差与差分的关系式为性质2函数值均可用各阶差分表示.即且有差分与微商的关系式为差分的其它性质参看本章p59习题8，9，10，11.代入牛顿插值公式,可得称为牛顿向前插值公式，其余项为插值节点为xi=x0+ih(i=0,1,…,n),如果要计算x0附近点x处的函数值f(x),可令x=x0+th(0tn)2.4.2等距节点差值公式类似地,若计算xn附近的函数值f(x),可令x=xn+th(-nt0)，可得牛顿向后插值公式及其余项例2设y=f(x)=ex,xi=1,1.5,2,2.5,3,用三次插值多项式求f(1.2)及f(2.8)的近似值.解相应的函数值及差分表如下:求f(1.2)用牛顿前插公式,且由1.2=1+0.5t,得t=0.4求f(2.8)用牛顿后插公式,且由2.8=3+0.5t,得t=-0.4求f(1.8)呢?2.5.1三次埃尔米特插值多项式设y=f(x)是区间[a,b]上的实函数,x0,x1是[a,b]上相异两点,且x0＜x1,y=f(x)在xi上的函数值和一阶导数值分别为yi=f(xi)(i=0,1)和mi=f(xi)(i=0,1),求三次多项式H3(x),使其满足：H3(x)称为三次埃尔米特插值多项式。法1822-19012.5埃尔米特(Hermite)插值构造三次埃尔米特插值多项式如下:定理3满足条件式的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。由可将它写成即插值点的Lagrange一次基函数.可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为定理4设f(x)在包含x0、x1的区间[a,b]内存在四阶导数，则当x∈[a,b]时有余项设则当x∈(x0,x1)时,余项有如下估计式（误差限）2.5.2误差估计且与x有关)例2已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表,用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值,并估计其截断误差.解得由可求得2.6分段低次插值先看下面的例子对ƒ(x)=(1+25x2)-1,在区间[-1,1]上取等距节点xi=-1+ih,i=0,1,…,10,h=0.2,作ƒ(x)关于节点xi(i=0,1,…,10)的10次插值多项式L10(x),如图所示xyo1-10.511.5y=L10(x)这个现象被称为Runge现象.表明高次插值的不稳定性.实际上,很少采用高于7次的插值多项式.2.6.1分段线性插值求一个分段函数P(x),使其满足:P(xi)=yi(i=0,1,...,n);在每个子区间[xi，xi+1]上是线性函数.称满足上述条件的函数P(x)为分段线性插值函数.分别作线性插值得,在每个子区间[xi，xi+1]已知或由线性插值的误差即得分段线性插值在区间[xi,xi+1]上的余项估计式为因此,在插值区间[a,b]上有余项2.6.2分段抛物线插值(2)在每个子区间[xi-1,xi+1]上，L(x)是次数不超过2的多项式.称满足上述条件的函数L(x)为分段抛物线插值函数.L(xi)=yi(i=0,1,...,n);对求一个分段函数L(x),使其满足:即将区间[a,b]分为小区间[xi-1,xi+1](i=1,2,…,n)2.6.3分段三次Hermite插值已知求一个分段函数H(x),使其满足:(2)在每个子区间[xi,xi+1]上，H(x)是次数不超过3的多项式.称满足上述条件的函数H(x)为分段三次Hermite插值函数.或[xi，xi+1]上得在每个子区间由分段三次埃尔米特插值在区间[xi,xi+1]上的余项估计式为因此，在插值区间[a,b]上有余项例3构造函数f(x)=lnx在1≤x≤10上的数表,应如何选取步长h,才能使利用数表进行分段插值时误差不超过0.5×10-4。解欲使即进行分段线性插值时，应取h≤2×10-2，误差不超过0.5×10-4。欲使即进行分段三次埃尔米特插值时,应取误差不超过0.5×10-4。2.7.1问题的提出定义给定区间[a,b]的一个划分a=x0