(完整版)三角形四心与向量

-PAGE\*MERGEFORMAT#-3-PAGE\*MERGEFORMAT#--PAGE\*MERGEFORMAT#-三角形“四心”向量形式的充要条件应用 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 总结[hjIAABC=OA+OB+OC=0o是的重心;AABC一S=S=S=1sOA+OB+OC=0若o是的重心，贝UABOCAAOCAAOB3AABC故UA十十UPG=3(PA+PB+PC)OG为AABC的重心.O是AABC的垂心oOA.OB=OB.OC=OC.OAAABCS：S：S-tanAJanB：tanC若O是‘、=一"，（非直角三角形）的垂心，则ABOCAAOCAAOB>故tanAOA+tanBOB+tanCOC=0o是AABC的外心o|OA|=|OB|=|OC|(或OA2=OB2=OC2)AABCS：S：S=sin/BOGsin/AOGsin/AOB-sin2A:sin2B:sin2C若O是的外心则ABOCAAOCAAOBh1-—故sin2AOA+sin2BOB+sin2coe=04,O是内心AABC的充要条件是|AB|ACAC)=OB(0|BA||BC|jOC.(口|CA||CB|CB-)=0AB,BC,CAe,e,e引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为123，则刚才o是AABC内心的充要条件OA-(e+e)=OB-(e+e)=OC-(e+e)=0可以写成131223,o是AABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC0AABCS：S：S=a：b：caOA十DOB+cOC=0。若o是AABC的内心，则ABOCAAOCAAOB[[I—b=]][-I-.aOA+DOB+cOC=0或sinAOA+sinBOB+sinCOC=0故.IABIPC+IBCIPA+ICAIPB=0oP是AABC的内心;向量，rABJiACM，。0）所在直线过AABC的内心（是/BAC的角平分线所在直IABIIACI线）；B（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1.o是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足0P=OA+'(”+王一ABAC'P点的轨迹一定通过AABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心AB,又OP-OA=AP，则原解析：因为是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为，和eAB।2式可化为4尸=九（匕+%），由菱形的基本性质知AP平分/BAC,那么在AABC中，AP平分/BAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2."是△ABC所在平面内任一点，==。点H是AABC的垂心.由HAHB=HBHCoHB(HC—HA)=0oHB♦AC=0=HB上AC,同理HC±AB,HA±BC.故H是^ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.（湖南）P是4ABC所在平面上一点，若PA,PB=PB,PC=PC,PA，则P是^ABC的（D）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:由PA•PB=PB•PC得PA•PB—PB•PC=0.即PB•(PA—PC)=0,即PB•CA=0（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”则PB1CA，同理PA1BC,PC1AB所以p为AABC的垂心.故选d.例4.G是^ABC所在平面内一点，GA+GB+GC=0=点G是^ABC的重心.证明作图如右，图中GB+GC=GE连结BE和CE，贝UCE=GB，BE=GC=BGCE为平行四边形=D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GB+GC=GE代入GA+GB+GC=0,得GA+EG=0=GA=-GE=-2GD，故G是^ABC的重心.（反之亦然（证略））例5.P是^ABC所在平面内任一点.G是^ABC的重心oPG=；（PA+PB+PC）.证明PG=PA+AG=PB+BG=PC+CGn3PG=(AG+BG+CG)+(PA+PB+PC):G是^ABC的重心GA+GB+GC=0nAG+BG+CG=0,即3PG=PA+PB+PC由此可得PG=；（PA+PB+PC）.（反之亦然（证略））例6若O为AABC内一点，OA+OB+OC=0，则O是AABC的(A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由OA+OB+0c=0得OB+0c=~OA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则OB+OC=OD，由平行四边形性质知OE=1ODOA=2OE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选Do（四）将平面向量与二角形外心结合考查例7若O为AABC^^^OA^OB=OC,则O是AABC丝A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定义知O到AABC的三顶点距离相等。故O是AABC的外心，选B。（五）将平面向量与三角形四心结合考查TOC\o"1-5"\h\z例8.已知向量OP1,OP2,OP&满足条件OP1+OP2+OP”0,IOP11=1OP21=1OP&1=1,JL乙JJL乙JJL乙J求证△P1P2P3是正三角形.《 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 》第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明由已知OP1+OP2=-OP3,两边平方得OP1•OP2=-1,JL乙JJL乙/同理OP•OP=OP•OP=—-,23=31=2，.••IPP|=|PP|=|PP|=3，从而△P1P2P3是正三角形.122331123反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP+OP.+OP.=0且10PlI=IOP.I=IOP.I.123123123即0是^ABC所在平面内一点，0P+0P+0P.=0且1OPI=IOP.I=IOP.IO点0是正△P1P2P3的中心.123123123例9.在^ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A（0,0）、B（x1,0）、C（X2，y2）,D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：—y)BC=(x—x,y)AH±BC:.AH•BCFF±AC2y2yH(x2,y4),D（号,0）、E（W2,卷）、F（x,5）由题设可设2（号,y）x+xy.・：QG=(X+X□、-x-x)=(-332y2,2x-x=(-2F,3x(x一x)a□i.££JLy2―212y2G(T一2,二):AH=(x,y),QF=(即。H=3QG,故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2例10.若O、H分别是的外心和垂心.求证OH=OA+OB+OC.迎明茗山WU的垂立为",外心为。，女曲A连并延长交外接圆于D,连结AD,CD.：.AD±AB,CDLBC.又垂心为H,AHLBC,CHLAB,CHHAD,,CH//AD,...四边形AHCD为平行四边形，AH=DC=DO+OC，故OH=OA+AH=OA+OB+OC.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11.设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证OG=3OH证明按重心定理G是^ABC的重心oOG=3(OA+OB+OC)按垂心定理OH=OA+OB+OC由此可得OG=；OH.补充练习1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP2OA+2OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的A.AB边中线的中点C.重心B.AB边中线的三等分点(非重心)D.AB边的中点1.B取AB边的中点M,则0A+OB=20M,由OP1OA(2OB+2OC)可得3OP=3OM+2MC,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.2.在同一个平面上有AABC及一点o满足关系式:oA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,则。为aabc外心)内心C重心垂心已知△ABC的三个顶点A、C及平面内一点P^足：PA+PPJ++PC=，^p^^ABC的外心内心C重心垂心3.已知。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足:OP=OA+九(AB+AC)，则P的轨迹一定通过^ABC的A夕卜心B内心C重心D垂心4,已知4人8^P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足:-PAGE\*MERGEFORMAT#--PAGE\*MERGEFORMAT#-PA・PC+PA・PB+PB・PC=0,则p点为三角形的A外心B内心C重心D垂心.已知4ABC,^p为三角形所在平面上的一点，/点P满足：a•PA+bPB+;.PC=0,则P点为三角形的(B)A外心B内心C重心D垂心.在三角形ABC中，动点P满足：CA2=CBB-2AB•CP,则P点轨迹一定通过△ABC的：(B)A外心B内心C重心D垂心■应'——IABIIACI)•BC=0且空iABi—>,一>一一.已知非零向量AB与AC满足(AC1=2,则4ABC为()IACIA.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形ABAC1rABIIACI=2ABAC.解析：非零向量与满足(+)=0,即角A的平分线垂直于BC,：.AB=AC,又cosA=IABIIACI所以△ABC为等边三角形，选D..AABC的外接圆的圆心为。，两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC)，则实数m=」.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA•OB=OB•OC=OC•OA，则点O是AABC的(B)(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点.如图1,已知点G是AABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点，且AM=xAB,…一11cAN=yAC则一十—=3，、xy证点g是AABC的重心，知GA+GB+GC=0,1得-AU+ABt)-AG)十AC(J-AG)=O，有Ag=3(AB+AC):又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在九,R，使得八G='AM十|LAN且，十*'=1)，——一1―一有AG=kxAB+RyAC=3(AB十AC)，11°1，于是得一十一二3xy^―3教学目标：教学重点：教学难点：教学过程：1、2、3、4、5、例讲三角形中与向量有关的问题1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法2、3、4、向量的加法、数量积等性质利用向量处理三角形中与向量有关的问题数形结合灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题课前练习1.1已知。是4ABC内的一点，若0AA=0B2=0C,则。是△人8。的（〕A、重心B、垂心C、外心D、内心1.2在^ABC中为等腰三角形；A、①②知识回顾2.12.22.3有命题①AB—AC=BC；②AB+BC+CA=0；③若^A,B+AC），—ACL0④若AB•AC>0，则^ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是1〕B、①④C、②③D、②③④三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法向量的有关性质上述两者间的关联利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例1、已知^ABC中，有AB+AC,则^ABC•BC=0ABAC1二不试判断^ABC的形状。练习1、已知4ABC中，AB=a,BC=b,B是^ABC中的最大角，若a•b<0,试判断^ABC的形状。运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知。是4ABC所在平面内的一点，满足A、重心B、垂心OAC、外心运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题2+网2=Ob|2+|ac|D、内心例3、已知口是4ABC所在平面内的一动点，且点P满足0P=OA+九ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心=pc1+|aB|2，则O是4ABC的（〕ABABACAC，入£6,+s）,则动点p一定过△练习2、已知。为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+lfAB+1BC],九g（0,+8）2，J则动点P的轨迹一定通过^ABC的（〕A、重心B、垂心C、外心D、内心例4、已知O是^ABC所在平面内的一点，动点P满足OP=OA+九ABcosB\ACcOCjG（0,+8），则动点P一定过^ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心练习3、已知。是^ABC所在平面内的一点，动点P满足0P=OB+OC、AB-2+[画cosB则动点P一定过△A8。的（〕A、重心B、垂心C、外心D、内心11例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且AM=x•AB,AN=〉•AC,求证：一+—=3xy6、小结处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。7、作业1、A、重心B、垂心C、外心D、内心2、若4ABC的外接圆的圆心为0,半径为1,且OA+OB+0c=0，贝UOA•OB等于（〕3、A、B、0已知O是^ABC所在平面上的一点ABC的〔〕A、重心B、垂心C、1D、A、B、C、所对的过分别是a、b、c若a•OA+b•OB+c•OC=0，则0是4C、外心D、内心4、已知口是4ABC所在平面内与A不重合的一点满足AB+AC=3AP,则P是4ABC的（〕A、重心B、垂心C、外心D、内心5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OA+OB+OC=0，OA=OB=|OC|=1，求证：△ABC为正三角形。6、在^ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2,求OA-（OB+OC）已知。是^ABC内的一点，若OA+OB+0c=0，则。是^ABC的（〕