《随机过程》第5章-布朗运动

LOGO随机过程第五章布朗运动1布朗运动的基本概念2布朗运动的首中时及最大值3布朗运动的应用定义性质推广1基本概念中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动2•最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现象；•1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述；•1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此布朗运动又称维纳过程；•是具有连续时间参数和连续状态空间的一类随机过程；•在金融领域的证券市场中（如债券、期权等），有着极其重要的应用。将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。背景背景性质推广中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动3定义：若随机过程*𝑋𝑡,𝑡≥0+满足：(1)𝑋𝑡关于𝑡是连续函数(2)*𝑋𝑡,𝑡≥0+具有平稳独立增量(3)∀𝑠,𝑡>0,𝑠.𝑡.𝑋𝑠+𝑡−𝑋𝑠~𝑁(0,𝑐2𝑡)则称随机过程*𝑋𝑡,𝑡≥0+为布朗运动（或维纳过程）。当𝑐=1时，称随机过程*𝑋𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，记为*𝐵𝑡,𝑡≥0+1基本概念定义•若𝑋0=0，则∀𝑡>0,𝑠.𝑡.𝑋𝑡~𝑁(0,𝑐2𝑡)•若𝐵0=0，则∀𝑡>0,𝑠.𝑡.𝐵𝑡~𝑁(0,𝑡)增量服从正态分布背景性质推广例：设布朗运动𝑋𝑡~𝑁(0,𝑐2𝑡)，求其均值、方差、协方差及相关函数。中南民族大学经济学院4解：《随机过程》第5章-布朗运动1基本概念由布朗运动定义可得：𝜇𝑋(𝑡)=𝐸𝑋𝑡=0,𝜎𝑋(𝑡)2=𝑉𝑎𝑟𝑋𝑡=𝑐2𝑡当𝑡1<𝑡2时，由布朗运动的独立增量性及𝐸𝑋𝑡=0，可得：𝑅𝑡1,𝑡2=𝐸𝑋𝑡1𝑋(𝑡2)=𝐸𝑋𝑡1𝑋𝑡2−𝑋𝑡1+𝑋2(𝑡1)=𝐸𝑋𝑡1−𝑋(0)𝑋𝑡2−𝑋𝑡1+𝐸𝑋2(𝑡1)=𝐸𝑋𝑡1−𝑋(0)𝐸𝑋𝑡2−𝑋𝑡1+𝐸𝑋𝑡1−𝜇𝑋(𝑡1)2=𝑐2𝑡1当𝑡1>𝑡2时，𝑅𝑡1,𝑡2=𝑐2𝑡2∴𝑅𝑡1,𝑡2=𝑐2min𝑡1,𝑡2∴𝑐𝑜𝑣𝑋𝑡1,𝑡2=𝑅𝑡1,𝑡2−𝐸𝑋𝑡1𝐸𝑋𝑡2=𝑐2min𝑡1,𝑡2定义定义背景推广中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动5设*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，在时刻𝑡的概率密度函数为𝑝𝑥;𝑡=12𝜋𝑡𝑒−𝑥22𝑡𝐵𝑡2−𝐵𝑡1(𝑡1<𝑡2)的概率密度函数为𝑝𝑥;𝑡2−𝑡1=12𝜋(𝑡2−𝑡1)𝑒−𝑥22(𝑡2−𝑡1)概率密度函数1基本概念性质定义背景推广中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动6设*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，对∀0=𝑡0<𝑡1<⋯<𝑡𝑛，(𝐵𝑡1,⋯𝐵𝑡𝑛)的联合概率密度函数为𝑓𝐵𝑥1,⋯,𝑥𝑛;𝑡1,⋯,𝑡𝑛=𝑝𝑥𝑖−𝑥𝑖−1;𝑡𝑖−𝑡𝑖−1𝑛𝑖=1其中，𝐵𝑡0=𝐵0=0且𝑥0=0𝑝𝑥;𝑡=12𝜋𝑡𝑒−𝑥22𝑡有限维联合分布1基本概念性质定义推广背景中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动7证明：有限维联合分布1基本概念性质由布朗运动的独立增量性，令𝑋1=𝐵𝑡1,𝑋𝑖=𝐵𝑡𝑖−𝐵𝑡𝑖−1,2≤𝑖≤𝑛，则𝑋1,⋯,𝑋𝑛相互独立，且𝑋𝑖~𝑁(0,𝑡𝑖−𝑡𝑖−1)。所以(𝑋1,⋯,𝑋𝑛)的联合概率密度函数为𝑓𝑋𝑥1,⋯,𝑥𝑛=12𝜋(𝑡𝑖−𝑡𝑖−1)𝑒−𝑥22(𝑡𝑖−𝑡𝑖−1)𝑛𝑖=1𝐵𝑡𝑖=𝑋𝑘𝑖𝑘=1,1≤𝑖≤𝑛⟹(𝐵𝑡1,⋯𝐵𝑡𝑛)的联合概率密度函数为：𝑓𝐵𝑥1,⋯,𝑥𝑛;𝑡1,⋯,𝑡𝑛=𝑓𝑋𝑥1,⋯,𝑥𝑛𝑱其中𝑱=100⋯0−110⋯00−11⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1,𝑱=1∴𝑓𝐵𝑥1,⋯,𝑥𝑛;𝑡1,⋯,𝑡𝑛=12𝜋(𝑡𝑖−𝑡𝑖−1)𝑒−𝑥22(𝑡𝑖−𝑡𝑖−1)𝑛𝑖=1=𝑝𝑥𝑖−𝑥𝑖−1;𝑡𝑖−𝑡𝑖−1𝑛𝑖=1定义背景推广中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动8设*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，对∀𝑡1<𝑡2，当给定𝐵𝑡1=𝑥1时𝐵𝑡2的条件概率密度函数为𝑝𝑥;𝑡2−𝑡1|𝑥1=12𝜋(𝑡2−𝑡1)𝑒−(𝑥−𝑥1)22(𝑡2−𝑡1)=𝑝𝑥−𝑥1;𝑡2−𝑡1条件分布1基本概念性质定义背景推广中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动9设*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，对∀𝑠,𝑡>0，当给定𝐵𝑠=𝑦时𝐵𝑠+𝑡的条件概率密度函数为𝑝𝑥;𝑡|𝑦=𝑝𝑥−𝑦;𝑡=12𝜋𝑡𝑒−(𝑥−𝑦)22𝑡由正态分布的特性，有𝑃𝐵𝑠+𝑡>𝑦𝐵𝑠=𝑦=𝑃𝐵𝑠+𝑡≤𝑦𝐵𝑠=𝑦=12对称性1基本概念性质解释：当给定初始条件𝐵𝑠=𝑦时，对于任意𝑡>0，标准布朗运动在时刻𝑠+𝑡的位置高于或低于初始位置的概率相等，即标准布朗运动的对称性。定义背景推广中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动10平移不变性：设*𝑋𝑡,𝑡≥0+为布朗运动，则*𝑋𝑡+𝑎−𝑋(𝑎),𝑡≥0+(a为常数)也是布朗运动。尺度不变性：设*𝑋𝑡,𝑡≥0+为布朗运动，则*𝑋𝑐𝑡𝑐,𝑡≥0,𝑐>0+也是布朗运动。平移不变性1基本概念性质定义背景推广中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动11正向马尔可夫性：设*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，对∀𝑡1<⋯<𝑡𝑛，在给定𝐵𝑡1,⋯,𝐵𝑡𝑛−1下𝐵𝑡𝑛的条件概率密度函数与只给定𝐵𝑡𝑛−1下𝐵𝑡𝑛的条件概率密度函数相同。逆向马尔可夫性：设*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，对∀𝑡1>⋯>𝑡𝑛，在给定𝐵𝑡1,⋯,𝐵𝑡𝑛−1下𝐵𝑡𝑛的条件概率密度函数与只给定𝐵𝑡𝑛−1下𝐵𝑡𝑛的条件概率密度函数相同。中间关于两边的马尔可夫性：设*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，对∀𝑡1<⋯<𝑡𝑛，在给定𝐵𝑡1,⋯,𝐵𝑡𝑖−1,𝐵𝑡𝑖+1,⋯,𝐵𝑡𝑛下𝐵𝑡𝑖(1<𝑖<𝑛)的条件概率密度函数与只给定𝐵𝑡𝑖−1,𝐵𝑡𝑖+1下𝐵𝑡𝑖的条件概率密度函数相同。马尔可夫性1基本概念性质定义推广背景中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动12证明：马尔可夫性1基本概念性质设*𝑋𝑡,𝑡≥0+为一布朗运动，则由其独立增量性可知，在时间区间𝑠,𝑠+𝑡上的增量𝑋𝑠+𝑡−𝑋(𝑠)与过程在时间𝑠前的状态独立，因此对于∀𝑥,𝑦∈ℝ，有：𝑃𝑋𝑠+𝑡=𝑦𝑋𝑠=𝑥,𝑋𝑢=𝑧,0≤𝑢<𝑠=𝑃𝑋𝑠+𝑡−𝑋𝑠=𝑦−𝑥𝑋𝑠−𝑋𝑢=𝑥−𝑧,𝑋𝑢=𝑧,0≤𝑢<𝑠=𝑃(𝑋𝑠+𝑡−𝑋𝑠=𝑦−𝑥|𝑋𝑠−𝑋𝑢=𝑥−𝑧,𝑋𝑢=𝑧,0≤𝑢<𝑠)=𝑃(𝑋𝑠+𝑡−𝑋𝑠=𝑦−𝑥)𝑃𝑋𝑠+𝑡=𝑦𝑋𝑠=𝑥=𝑃𝑋𝑠+𝑡−𝑋𝑠=𝑦−𝑥𝑋𝑠=𝑥=𝑃(𝑋𝑠+𝑡−𝑋𝑠=𝑦−𝑥)∴𝑃𝑋𝑠+𝑡=𝑦𝑋𝑠=𝑥,𝑋𝑢,0≤𝑢<𝑠=𝑃𝑋𝑠+𝑡=𝑦𝑋𝑠=𝑥性质定义背景中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动13随机过程*𝑋𝑡,𝑡≥0+称为正态过程（或高斯过程），若对一切0≤𝑡1,⋯,𝑡𝑛∈ℝ，𝑋𝑡1,⋯,𝑋(𝑡𝑛)的联合分布为𝑛维正态分布。布朗运动是一个正态过程。高斯过程1基本概念推广性质定义背景中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动14设随机过程*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，则过程𝑋𝑡=𝐵𝑡−𝑡𝐵1,0≤𝑡≤1称为布朗桥，其中𝑋0=𝐵0−0𝐵1=0,𝑋1=𝐵1−1𝐵1=0布朗桥过程也是一个正态过程。且有𝐸𝑋𝑡=0,𝑐𝑜𝑣𝑋𝑡,𝑠=min𝑠,𝑡−𝑡𝑠,𝑠,𝑡∈,0,1-布朗桥过程1基本概念推广性质定义背景中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动15若随机过程*𝑋𝑡,𝑡≥0+满足(1)𝑃𝑋0=0=1(2)*𝑋𝑡,𝑡≥0+具有平稳独立增量(3)∀𝑡>0,𝑠.𝑡.𝑋𝑡~𝑁𝜇𝑡,𝜎2𝑡,𝜎>0,𝜇∈ℝ则称*𝑋𝑡,𝑡≥0+为带有（线性）漂移的布朗运动。可定义为：𝑋𝑡=𝜇𝑡+𝜎𝐵𝑡,𝑡≥0也是一个正态过程。且有𝐸𝑋𝑡=𝜇𝑡,𝑐𝑜𝑣𝑋𝑡,𝑠=𝜎2min𝑠,𝑡,𝑠,𝑡≥0带有漂移的布朗运动1基本概念推广性质定义背景中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动16设随机过程*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，称𝑋𝑡=𝑒𝜇𝑡+𝜎𝐵𝑡,𝑡≥0为几何布朗运动。几何布朗运动不是正态过程。𝐸𝑋𝑡=𝑒𝜇+𝜎22𝑡,𝑐𝑜𝑣𝑋𝑡,𝑠=𝑒𝜇+𝜎22𝑡+𝑠(𝑒𝜎2𝑠−1)几何布朗运动1基本概念推广LOGO随机过程第五章布朗运动1布朗运动的基本概念2布朗运动的首中时及最大值3布朗运动的应用最大值过零点率中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动18定义：设随机过程*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，且𝐵0=0，令𝑇𝑎=inf*𝑡:𝐵𝑡=𝑎,𝑡>0+ 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示首次击中𝑎的时间，即首中时。分布：首中时𝑇𝑎的分布函数为𝑃𝑇𝑎≤𝑡=22𝜋𝑒−𝑥22+∞𝑎𝑡d𝑥且𝐸𝑇𝑎=+∞,𝑃𝑇𝑎<+∞=12首中时及最大值首中时零常返性→←常返性解释：布朗运动以概率1迟早会击中𝑎，但它的平均时间却是无穷的，且布朗运动从任何一点出发击中𝑎的概率都是1。过零点率最大值中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动19证明：分布函数由全概率公式可得：𝑃𝐵𝑡≥𝑎=𝑃𝐵𝑡≥𝑎𝑇𝑎≤𝑡𝑃𝑇𝑎≤𝑡+𝑃𝐵𝑡≥𝑎𝑇𝑎>𝑡𝑃𝑇𝑎>𝑡首中时显然有𝑃𝐵𝑡≥𝑎𝑇𝑎>𝑡=0⟹𝑃𝐵𝑡≥𝑎=𝑃𝐵𝑡≥𝑎𝑇𝑎≤𝑡𝑃𝑇𝑎≤𝑡由布朗运动的对称性知，在𝑇𝑎≤𝑡（即𝐵𝑇𝑎=𝑎）的条件下，*𝐵𝑡≥𝑎+和*𝐵𝑡<𝑎+是等可能的，即：𝑃𝐵𝑡≥𝑎𝑇𝑎≤𝑡=𝑃𝐵𝑡<𝑎𝑇𝑎≤𝑡=12⟹𝑃𝑇𝑎≤𝑡=2𝑃𝐵𝑡≥𝑎当𝑎>0时𝑃𝑇𝑎≤𝑡=22𝜋𝑡𝑒−𝑥22𝑡+∞𝑎d𝑥=22𝜋𝑒−𝑥22+∞𝑎𝑡d𝑥=2(1−Φ𝑎𝑡)当𝑎<0时由布朗运动的对称性可知，𝑇𝑎与𝑇−𝑎同分布，即𝑃𝑇𝑎≤𝑡=𝑃𝑇−𝑎≤𝑡所以对任意𝑎∈ℝ有𝑃𝑇𝑎≤𝑡=22𝜋𝑒−𝑥22+∞𝑎𝑡d𝑥=21−Φ𝑎𝑡,𝑓𝑇𝑎𝑡=𝑎2𝜋𝑡−32𝑒−𝑎22𝑡,𝑡>02首中时及最大值过零点率最大值中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动20证明：常返性𝑃𝑇𝑎<∞=lim𝑡→∞𝑃𝑇𝑎≤𝑡=lim𝑡→∞22𝜋𝑒−𝑥22+∞𝑎𝑡d𝑥=22𝜋𝑒−𝑥22+∞0d𝑥=1首中时2首中时及最大值过零点率最大值中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动21证明：零常返性𝐸𝑇𝑎=𝑃𝑇𝑎>𝑡d𝑡+∞0=22𝜋𝑒−𝑥22𝑎𝑡0d𝑥d𝑡+∞0=22𝜋d𝑡𝑎2𝑥20𝑒−𝑥22d𝑥+∞0=2𝑎22𝜋1𝑥2𝑒−𝑥22d𝑥+∞0≥2𝑎22𝜋1𝑥2𝑒−𝑥22d𝑥10≥2𝑎2𝑒−122𝜋1𝑥2d𝑥10=∞首中时2首中时及最大值过零点率首中时中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动22定义：设随机过程*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，对任意𝑡>0，令𝑀𝑡=max0≤𝑠≤𝑡𝐵(𝑠)表示标准布朗运动在,0,𝑡-上的最大值。分布：当𝑎>0时，存在事件的等价关系*𝑇𝑎≤𝑡+≡*𝑀(𝑡)≥𝑎+⟹𝑃𝑀𝑡≥𝑎=𝑃𝑇𝑎≤𝑡=22𝜋𝑒−𝑥22+∞𝑎𝑡d𝑥𝑀𝑡的密度函数为𝑓𝑀(𝑡)𝑎=𝑎2𝜋𝑡−32𝑒−𝑎22𝑡,𝑎≥00,𝑎<02首中时及最大值最大值最大值首中时中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动23定义：设随机过程*𝐵𝑡,𝑡≥0+为标准布朗运动，对任意𝑡1<𝑡2，记事件0𝑡1,𝑡2=*至少有一个𝑡∈𝑡1,𝑡2，使𝐵𝑡=0+即在𝑡1,𝑡2内至少过一次零点，称𝑃0𝑡1,𝑡2=𝑃0𝑡1,𝑡2|𝐵𝑡1=𝑥+∞−∞12𝜋𝑡1𝑒−𝑥22𝑡1d𝑥为过零点概率。2首中时及最大值过零点率最大值首中时中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动24反正弦定理：记0𝑡1,𝑡2=*至少有一个𝑡∈𝑡1,𝑡2，使𝐵𝑡=0+0𝑡1,𝑡2=*没有一个𝑡∈𝑡1,𝑡2，使𝐵𝑡=0+则𝑃0𝑡1,𝑡2=2𝜋arcsin𝑡1𝑡2且当𝑡1=𝑥𝑡,𝑡2=𝑡,0<x<1时，有𝑃0𝑥𝑡,𝑡=2𝜋arcsin𝑥2首中时及最大值过零点率解释：过零点概率仅与时间区间端点的比值𝑥有关，而与时刻𝑡无关。最大值首中时中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动25证明：反正弦定理由布朗运动的连续性和对称性可知：𝑃0𝑡1,𝑡2𝐵𝑡1=𝑥=𝑃(𝑇𝑥≤𝑡2−𝑡1)⟹𝑃0𝑡1,𝑡2=1𝜋𝑡1(𝑡2−𝑡1)𝑒−𝑦22(𝑡2−𝑡1)d𝑦∞𝑥𝑒−𝑥22𝑡1d𝑥∞02首中时及最大值过零点率𝑓𝑇𝑎𝑡=𝑎2𝜋𝑡−32𝑒−𝑎22𝑡,𝑡>0⟹𝐹𝑇𝑎𝑡=𝑃𝑇𝑎≤𝑡=𝑎2𝜋𝑥−32𝑒−𝑎22𝑥d𝑥𝑡0最大值首中时中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动26证明(续)：反正弦定理2首中时及最大值过零点率𝑃0𝑡1,𝑡2=𝑃0𝑡1,𝑡2|𝐵𝑡1=𝑥+∞−∞12𝜋𝑡1𝑒−𝑥22𝑡1d𝑥=2𝑃(𝑇𝑥≤𝑡2−𝑡1)12𝜋𝑡1𝑒−𝑥22𝑡1d𝑥+∞0=22𝜋𝑡1𝑥2𝜋𝑢−32𝑒−𝑥22𝑢d𝑢𝑡2−𝑡10𝑒−𝑥22𝑡1d𝑥+∞0=1𝜋𝑡1𝑢−32𝑥𝑒−𝑥22(1𝑢+1𝑡1)d𝑥+∞0d𝑢𝑡2−𝑡10=1𝜋𝑡1𝑢−32𝑢𝑡1𝑢+𝑡1𝑒−𝑥22(𝑢+𝑡1𝑢𝑡1)d,𝑥22(𝑢+𝑡1𝑢𝑡1)-+∞0d𝑢𝑡2−𝑡10=1𝜋𝑡1𝑢−32𝑢𝑡1𝑢+𝑡1−𝑒−𝑥22(𝑢+𝑡1𝑢𝑡1)+∞0d𝑢𝑡2−𝑡10=1𝜋𝑡1𝑢−12𝑡1𝑢+𝑡1d𝑢𝑡2−𝑡10最大值首中时中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动27证明(续2)：反正弦定理2首中时及最大值过零点率令𝑢=𝑡1𝑣2,ℎ𝑡1,𝑡2=𝑡2−𝑡1𝑡1，则𝑃0𝑡1,𝑡2=1𝜋𝑡12𝑡1𝑣𝑡1𝑣(𝑡1+𝑡1𝑣2)d𝑣ℎ(𝑡1,𝑡2)0=2𝜋11+𝑣2d𝑣ℎ(𝑡1,𝑡2)0=2𝜋arctanℎ𝑡1,𝑡2=2𝜋arccos𝑡2𝑡1𝑃0𝑡1,𝑡2=1−𝑃0𝑡1,𝑡2=2𝜋arcsin𝑡1𝑡2LOGO随机过程第五章布朗运动1布朗运动的基本概念2布朗运动的首中时及最大值3布朗运动的应用股票期权价值股票期权实施商品价格模型BSDE问题中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动29例：设𝑇(𝑇>0)表示企业破产或投资者“死亡”的时间，𝑇是一个随机变量。再设*𝑋𝑡,𝑡≥0+是具有独立增量的随机过程。令随机过程*𝑌𝑡,𝑡≥0+为𝑌𝑡=𝑌(0)𝑒𝑋(𝑡),𝑡<𝑇0,𝑡≥𝑇式中，随机变量𝑇与过程*𝑋𝑡,𝑡≥0+相互独立。则随机过程*𝑌𝑡,𝑡≥0+通常作为处于破产阶段企业的证券价格的描述模型。特别地，若𝑋𝑡=𝜇−𝜎22𝑡+𝜎𝐵(𝑡)则在破产时刻𝑇之前，企业的证券价格服从几何布朗运动。3布朗运动的应用企业破产过程企业破产过程股票期权实施商品价格模型BSDE问题中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动30例：假设某投资者持有敲定价格为𝐾的欧式买入期权，满期为𝑇。设当前此股票价格为𝑆0=𝑆，且证券价格服从几何布朗运动，计算期权的期望价值。3布朗运动的应用股票期权价值设股票价格为𝑆𝑡，并定义𝑆𝑡=𝑆0𝑒𝐵𝑡。由欧式买入期权的概念，在到期日𝑇，如果股票价格𝑆𝑇高于敲定价格𝐾，则投资者将实施其买入期权从而获取收益；否则将放弃期权。所以期权的期望价值为𝐸𝑚𝑎𝑥𝑆𝑇−𝐾,0|𝑆0=𝑆=𝑃𝑆𝑇−𝐾>𝑥𝑑𝑥+∞0=𝑃𝑆𝑒𝐵𝑇−𝐾>𝑥𝑑𝑥+∞0=𝑃𝐵(𝑇)>ln(𝐾+𝑥𝑆)𝑑𝑥+∞0=12𝜋𝑇𝑒−𝑢22𝑇+∞ln(𝐾+𝑥𝑆)d𝑢d𝑥+∞0解：股票期权价值企业破产过程商品价格模型BSDE问题中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动31例：假设某投资者持有敲定价格为𝐾的美式买入期权。设此股票价格变化遵循带有负漂移系数(𝜇<0)的布朗运动过程，且初始价格为𝑆0=𝑆。讨论投资者实施其期权的收益情况。3布朗运动的应用定义股票价格过程*𝑋𝑡,𝑡≥0+，具有𝑋𝑡=𝜇𝑡+𝐵𝑡,𝑡≥0考虑股票价格在𝑆时实施期权的投资策略，则投资者所得的投资收益为𝑓𝑆(𝑆−𝐾)，𝑓𝑆是过程迟早到达𝑆的概率。则有𝑓𝑆=𝑒2𝜇𝑆,𝑆>0若期望最大的投资收益，则有𝑆=𝐾−12𝜇解：股票期权实施股票期权价值企业破产过程股票期权实施BSDE问题中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动32例：设𝑋𝑛表示某商品在时刻𝑛的价格，且价格比𝑋𝑛𝑋𝑛−1是独立同分布的随机序列。令𝑌𝑛=𝑋𝑛𝑋𝑛−1,𝑛≥1,𝑌0=1则有𝑋𝑛=𝑌1𝑌2⋯𝑌𝑛⟹ln𝑋𝑛=𝑌𝑖𝑛𝑖=1ln𝑋𝑛近似于布朗运动，即商品价格近似于几何布朗运动。3布朗运动的应用商品价格模型商品价格模型股票期权价值企业破产过程股票期权实施中南民族大学经济学院《随机过程》第5章-布朗运动33例：设一个自融资金且无消费的单身汉，𝑇为其成家的日期，他在,0,𝑇-期间的决策是：在时刻将他财产𝑋(𝑡)之中的𝑌(𝑡)用于买股票，𝑋𝑡−𝑌(𝑡)用于买债券，则其财产𝑋𝑡,0≤𝑡≤𝑇满足d𝑋𝑡=𝑓𝑋𝑡,𝑌𝑡d𝑡−𝑌𝑡d𝐵(𝑡)其中𝑓𝑋𝑡,𝑌𝑡=𝑟𝑋𝑡+𝑏−𝑟𝑌𝑡+(𝑅−𝑟)(𝑋𝑡−𝑌𝑡)𝑟>0为债券利率，𝑅是市场贷款利率。一般𝑅>𝑟，当𝑅=𝑟时，𝑓𝑥,𝑦=𝑟𝑥+𝑏−𝑟𝑦。若他计划在𝑇时结婚，自己的财产要达到𝜉元，则此决策问题转化为：d𝑋𝑡=𝑓𝑋𝑡,𝑌𝑡d𝑡−𝑌𝑡d𝐵(𝑡)𝑋𝑇=𝜉求解(𝑋𝑡,𝑌𝑡)0≤𝑡≤𝑇。3布朗运动的应用BSDE问题倒向参数随机微分方程LOGO随机过程第五章布朗运动1布朗运动的基本概念2布朗运动的首中时及最大值3布朗运动的应用