中考数学二轮复习课件专题16几何模型-瓜豆模型(含答案)

中考数学第二轮总复习精讲精练方法技巧当堂训练强化训练专题16几何模型“瓜豆”模型考点归纳知识梳理题型概述在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值.本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.种圆得圆01种线得线02种形得形03 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 1.如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,连接QM,PO,任意时刻,QM:PO=AQ:AP=1:2.则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半,AQPOM知识点一知识归纳种圆得圆2.如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.【考虑】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆时针旋转90º得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.当AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；当AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.OAPQM知识点一知识归纳种圆得圆3.如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90º且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为2.OAPQM知识点一知识归纳种圆得圆【 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 】为了便于区分动点P,Q,可称点P为主动点,点Q为从动点.此类问题的必要条件：两个定量主动点,从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；主动点,从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)．【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q与P的关系相当于旋转+伸缩.古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.“种”圆得圆,“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.OAPQM知识点一知识归纳种圆得圆【思考1】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为一边作等边△APQ.【考虑】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?【分析】Q点满足(1)∠PAQ=60º；(2)AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：1)当∠PAQ=60º,可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60º；2)当AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来,故圆M亦由圆O旋转得来,旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系.OAPQM知识点一知识归纳种圆得圆【思考2】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为斜边作等腰直角△APQ.【考虑】当点P在圆O上运动时,如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足(1)∠PAQ=45º；(2)AP:AQ=:1,故Q点轨迹是个圆.连接AO,构造∠OAM=45º且AO:AM=:1.M点即为Q点轨迹圆圆心,此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ.即可确定点Q的轨迹圆.OAPQM知识点一知识归纳种圆得圆【例1】如图,已知P是⊙O外一点,Q是⊙O上的动点,线段PQ的中点为M,连接OP,OM.若⊙O的半径为2,OP=4,则线段OM的最小值是(　)A.0B.1C.2D.3BPQMON定点定长NNM=0.5OQ辅助圆知识点一典例精讲种圆得圆如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点,点C是MB的中点,则AC的最小值是_____.【分析】M点为主动点,C点为从动点,B点为定点.考虑C是BM中点,可知C点轨迹：取BP中点N,以N为圆心,NC为半径作圆,即为点C轨迹.yxOBAPCMNMC1.5知识点一针对训练种圆得圆种圆得圆01种线得线02种形得形03知识点引例：如图,A为直线BC外一定点,P是直线BC上一动点,连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,Q点轨迹是?【分析】当P点轨迹是直线时,Q点轨迹也是一条直线.分别过A、Q向BC作垂线,垂足分别为M、N,在运动过程中,因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直线.NCBPQAM知识点二知识归纳种线得线【引例】如图,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90º且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹?【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形.当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置,连线即可,比如Q点的起始位置和终点位置,连接即得Q点轨迹线段.CBPQAQ2P2P1Q1知识点二知识归纳种线得线必要条件:主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90º时，∠PAQ等于MN与BC夹角)P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ(由△ABC∽△AMN,可得AP:AQ=BC:MN)CBPAMQNααCBANMαα知识点二知识归纳种线得线【例2】如图,在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动,连结PD,以PD为边,在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时,点F运动的路径长是____.【分析】根据△DPF是等边三角形,所以可知F点运动路径长与P点相同,P从E点运动到A点路径长为8,故此题答案为8.ADFPECB8知识点二典例精讲种线得线1.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,AD为BC边上的高,点E为线段AD上一动点,连接EF,CE,将CE绕点C逆时针旋转60º得到线段CF,连接DF.△CEF的周长的最小值为___,DF的最小值是___.GADEFCB16知识点二针对训练种线得线【方法一】连接BF,可得△CFB≌△CAE,∴∠CBF=∠CAE=30º,∴点F在射线BF上，当DF⊥BF时，DF最短，【方法二】取AC的中点G,连接EG,可得△CFD≌△CEG,∴DF=EG,由垂线段最短得:当GE⊥AD时GE最短,即DF最短。2.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD与OA的位置关系是()A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直A60º60º60º60º【变式】如图,等边△AOB的边长为4cm,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边作等边△ACD.在点C从点O开始移动至点B的过程中,求点D移动的路径长.【分析】连接BD,得出△AOC≌△ABD,点D的运动路径即线段BD,BD=OC=OB=4cm。知识点二针对训练种线得线3.如图,等边△ABC的边长为8,点D为AB边上一动点,DE始终平行于BC,MN为△ADE的中位线,现将点D开始沿AB方向移动,移动到点B处停止,在整个移动过程中线段MN扫过的面积是____.AMDECBN知识点二针对训练种线得线双动点的运动问题中,第二动点的运动轨迹如果是直线型,通常可以找到第二动点所在直线与已知直线的位置关系如：平行、垂直等,或者是某一条特殊直线(或直线上的一部分)如中位线、平分线等.种圆得圆01种线得线02种形得形03知识点所谓“瓜豆原理”,就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性,根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比,可确定从动点的轨迹,而当主动点轨迹是其他图形时,从动点轨迹必然也是．知识点三知识归纳种形得形MNyOxACB【例3】如图,在反比例函数的图像上有一动点A,连接AO并延长交图像的另一支于点B,在第一象限内一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数的图像上运动,若tan∠CAB=2,则k的值为()A.2B.4C.6D.8【分析】∠AOC=90º且AO:OC=1:2,∴点C的轨迹也是一条双曲线,分别作AM、CN垂直x轴,垂足分别为M、N,连接OC,易证△AMO∽△ONC,∴CN=2OM,ON=2AM,∴ON·CN=4AM·OM,故k=4×2=8.【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少?D知识点三典例精讲种形得形1.如图,A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),点P是△ABC边上一动点,连接OP,以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ,当点P在△ABC边上运动一周时,点Q的轨迹形成的封闭图形面积为___.【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：点Q的运动轨迹与点P的轨迹形状相同，根据OP:OQ=,可得点P的轨迹图形与点Q的轨迹图形相似比为，故面积比为2:1,△ABC面积为0.5×3×4=6，故点Q的轨迹形成的封闭图形面积为3.【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图.yOxQPCBA3知识点三针对训练种形得形2.如图所示,AB=4,AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角△BCD,连接AD并延长至点P,使AD=PD,则PB的取值范围为_______.【分析】固定AB不变,AC=2,则点C的轨迹是以A为圆心,2为半径的圆,以BC为斜边作等腰直角△BCD,则点D的轨迹是以点M为圆心、为半径的圆.∵AP=2AD,故点P轨迹是以N为圆心，为半径的圆，即可求出PB的取值范围.ACDPBMN知识点三针对训练种形得形