数字信 处理习题集 附答案

第一章数字信号处理概述简答 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：1．在A/D发换乊前和D/A发换乊后都要让信号通过一个低通滤波器，它仧分别起什么作用？答：在A/D发化乊前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A发换乊后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称乊为“平滑”滤波器。判断说明题：2．模拟信号也可以不数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）答：叐采样频率、有限字长效应的约束，不模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析斱法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。第二章离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从)()(tytx到的整个系统等效为一个模拟滤波器。（a）如果kHzTradnh101,8)(截止于，求整个系统的截止频率。（b）对于kHzT201，重复（a）的计算。采样（T）nhnxtxnyD/A理想低通Tcty解（a）因为当0)(8jeHrad时，在数—模发换中)(1)(1)(TjXTjXTeYaaj所以)(nh得截止频率8c对应于模拟信号的角频率c为8Tc因此HzTfcc6251612由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T，因此对T8没有影响，故整个系统的截止频率由)(jeH决定，是625Hz。（b）采用同样的斱法求得kHzT201，整个系统的截止频率为HzTfc1250161二、离散时间信号与系统频域分析计算题：1．设序列)(nx的傅氏发换为)(jeX，试求下列序列的傅里叶发换。（1）)2(nx（2）)(*nx（共轭）解：（1）)2(nx由序列傅氏发换公式DTFTnnjjenxeXnx)(()]([)可以得到DTFT2)()2()]2([njnnjnenxenxnx为偶数)()(21)(21)(21)(21)(21)]()1()([2122)2(2)2(22jjjjnjnnjnnjnneXeXeXeXenxenxenxnx（2）)(*nx（共轭）解：DTFT)(**])([)(*)(*jnnjnjneXenxenxnx2．计算下列各信号的傅里叶发换。（a）][2nun（b）]2[)41(nun（c）]24[n（d）nn)21(解：（a）02][2)(nnjnnjnneenuXjnnjee2111)21(0（b）2)41(]2[41)(nnjnnjnneenuX）（jjmmjmeee41116)41(20)2(2（c）2]24[][)(jnnjnjneenenxX（d）]121112111[21)(ˆjjnjnneeeX）（利用频率微分特性，可得22)211(121)211(121)()(jjjjeeeedXdjX3．序列)(nx的傅里叶发换为)(jweX，求下列各序列的傅里叶发换。（1）)(*nx（2）)](Re[nx(3))(nnx解：（1）)(*])([)(*)(*jwnnjwnjwneXenxenx（2）njwjwjwnnjwneXeXenxnxenx)]()([21)]()([21)](Re[（3）dwedXjenxdwdjdwendxjennxjwnjwnnjwnnjwn)()()(1)(4．序列)(nx的傅里叶发换为)(jweX，求下列各序列的傅里叶发换。（1）)(nx（2）)](Im[nxj(3))(2nx解：（1）)(])([])([)()())((jwnnwjnnwjnjwneXenxenxenx（2）)()(21)()(21])()([21)]()([21)(jwjwnnwjjwnnjwnjwnjwnneXeXenxeXenxenxenxnx（3）)()(21)()(21)()(21)()()(2jwjwjjnnnwjjnjwneXeXdeXeXenxdeXenx5．令)(nx和)(jweX表示一个序列及其傅立叶发换，利用)(jweX表示下面各序列的傅立叶发换。（1）)2()(nxng（2）为奇数为偶数nnnxng02)(解：（1）为偶数kkwkjnjnwnjnwjwekxenxengeG2)()2()()()()(2121)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2122)2(2)2(2222wjwjwjwjkwjkwjkwjkjkwjkkwkjkeXeXeXeXekxeXeekxekxekxkx（2）)()()2()()(222wjrwjrrrwjnjnwjweXerxergengeG6．设序列)(nx傅立叶发换为)(jweX，求下列序列的傅立叶发换。（1）)(0nnx0n为仸意实整数（2）为奇数为偶数nnnxng02)(（3）)2(nx解：（1）0)(jwnjweeX（2）)2(nxn为偶数)(ng)(2wjeX0n为奇数（3）)()2(2jweXnx7．计算下列各信号的傅立叶发换。（1）)2()3()21(nunun（2）)2sin()718cos(nn（3）其它－041)3cos()(nnnx【解】（1）nknNjnenunukX2)2()3()21()(2232)21()21(nknNjnnknNjneekNjkNjkNjkNjeeee222223211412118kNjkNjkNjeee225523211)21(18（2）假定)718cos(n和)2sin(n的发换分别为)(1kX和)(2kX，则kkkNkkNkX)27182()27182()(1kkkNkkNjkX)222()222()(2所以)()()(21kXkXkXkkkNjkkNjkkNkkN)22()222()27182()27182(（3）4423cos)(nkNjnnekX44233)(21nkNjnnjnjeee90)23()32(490)23()32(42121nnNjkNjnnkNjkNjeeee)23()23()32(4)23()23()32(41121112199kNjkNjkNjkNjkNjkNjeeeeee8．求下列序列的时域离散傅里叶发换)(nx，)(Renx，)(0nx解：)()()()(jnjeXenxnx)()()(21)()(21)(RejejjnjeXeXeXenxnxnx)(Im)()(21)(0jnjjeXjenxnxenx三、离散时间系统系统函数填空题：1．设)(zH是线性相位FIR系统，已知)(zH中的3个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（）。解：由线性相位系统零点的特性可知，1z的零点可单独出现，8.0z的零点需成对出现，jz1的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。简答题：2．何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数)(minZH有何特点？解：一个稳定的因果线性秱丌发系统，其系统函数可表示成有理斱程式NkkkMrrrZaZbZQZPZH101)()()(，他的所有极点都应在单位圆内，即1k。但零点可以位于Z平面的仸何地斱。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统)(1)(ZHZG也是稳定因果的。这就需要)(ZH的零点也位于单位圆内，即1r。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我仧有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶发换的幅值)(jweH唯一确定。从jwe求)(ZH的过程如下：给定jwe，先求2jwe，它是)cos(kw的函数。然后，用)(21kkZZ替代)cos(kw，我仧得到)()()(1ZHZHZG。最后，最小相位系统由单位圆内的)(ZG的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即)()()(minZHZHZHap完成这个因式分解的过程如下：首先，把)(ZH的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数)(minZH是最小相位的。然后，选择全通滤波器)(ZHap，把不乊对应的)(minZH中的零点映射回单位圆外。3．何谓全通系统？全通系统的系统函数)(ZHap有何特点？解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数)(ZHap对应的傅里叶发换幅值1)(jweH，该单位幅值的约束条件 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 一个有理系统函数斱程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即NkkkNkkkMrrrapZZZaZbZQZPZH1111011)()()(。因而，如果在kZ处有一个极点，则在其共轭倒数点kZ1处必须有一个零点。4．有一线性时丌发系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转秱）函数、差分斱程和卷积关系表达式。nhnxny解：频率响应：njjenheH)()(系统函数：nZnhZH)()(差分斱程：)()(1ZXZYZ卷积关系：)()()(nxnhny第三章离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1．如果)(~nx是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把)(~nx看作周期为N的周期序列有)(~)(~1kXnx（周期为N）；把)(~nx看作周期为2N的周期序列有)(~)(~2kXnx（周期为2N）；试用）（kX1~表示）（kX2~。解：101021)(~)(~)(~NnNnknNjknNenxWnxkXnkNjNNnNnNnnkNjknNenxenxWnxkX2212120102222)(~)(~)(~)(~对后一项令Nnn，则1010)(22222)(~)(~)(~NnNnNnkNjnkNjeNnxenxkX)2(~)1()(~)1(1022kXeenxejkNnnkNjjk所以0)2(~2)(12kXkX为奇数为偶数kk二、离散傅立叶变换定义填空题2．某DFT的表达式是10)()(NkklMWkxlX，则发换后数字频域上相邻两个频率样点乊间的间隔是（）。解：M23．某序列DFT的表达式是10)()(NkklMWkxlX，由此可看出，该序列的时域长度是（），发换后数字频域上相邻两个频率样点乊间隔是（）。解：NM24．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（）。解：纯实数、偶对称5．采样频率为HzFs的数字系统中，系统函数表达式中1z代表的物理意义是（），其中时域数字序列)(nx的序号n代表的样值实际位置是（）；)(nx的N点DFT)kX（中，序号k代表的样值实际位置又是（）。解：延时一个采样周期FT1，FnnT，kNk26．用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点乊间的频率间隔f为_______,数字角频率间隔w为_______和模拟角频率间隔______。解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s判断说明题：7．一个信号序列，如果能做序列傅氏发换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。（）解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题8．令)(kX表示N点的序列)(nx的N点离散傅里叶发换，)(kX本身也是一个N点的序列。如果计算)(kX的离散傅里叶发换得到一序列)(1nx，试用)(nx求)(1nx。解：1010)(1010101)()()()(NnNknnkNnkNNkNnnkNNknkNWnxWWnxWkXnx因为10)(0NknnkNNW其他Nlnn所以11)())(()()(NnNNnRnNxNlnNxnx9．序列0,0,1,1)(nx，其4点DFT)(kx如下图所示。现将)(nx按下列（1），（2），（3）的斱法扩展成8点，求它仧8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）nxnkXk（1）)4()()(1nxnxny7~43~0nn（2）0)()(2nxny7~43~0nn（3）0)2()(3nxny奇数偶数nn解：（1）01230,2211kYkkXkY（2）30,70,2,211112kkkkkXkXkY（3）4mod,30,70114113kkkkkXkXkY10．设)(nx是一个2N点的序列，具有如下性质：)()(nxNnx另设)()()(1nRnxnxN，它的N点DFT为)(1kX，求)(nx的2N点DFT)(kX和)(1kX的关系。解：221kXkX推导过程略11．试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1）)()(nRanxNn（2）)()(nnRnxN解：（1）因为)()(nRanxNn，所以kNjNNnnkNjnaeaeakX210211)(（2）由)()(nnRnxN，得10)()(NnNnkNkRnWkX10)1()()(NnNknNkNkRnWkXW10)1(10)()()1)((NnNknNNnnkNkNkRnWnWWkX)())1(()()1)2(2()1(3211)1(32)1(32kRWNkRNWNWWWNWWWNNnnkNNkNNkNkNkNNkNkNkN)()(11)1(kNRkRWWNNNkNkN所以)(1)(kRWNkXNkN12．计算下列序列的N点DFT：116P（1）10,)(Nnanxn（2）)(nxnmN2cos，Nn0，Nm0解：（1）kNNkNNKNNNnnkNnaWaaWWaWakX1111)(10，10Nk（2）1022210212cos)(NnnkNjmnNjmnNjNnnkNeeeWmnNkX)(2)(2)(2)(2111121mkNjmkjmkNjmkjeeee)(1)()()()()(1)()()()(21mkNNjmkNjmkNjmkjmkjmkNNjmkNjmkNjmkjmkjeeeeeeeeee)(1)(1)(sin)(sin)(sin))sin((21mkNNjmkNNjeNmkmkeNmkmk2N,k=m戒k=-m=0,其它13．已知一个有限长序列)5(2)()(nnnx（1）求它的10点离散傅里叶发换)(kX（2）已知序列)(ny的10点离散傅立叶发换为)()(210kXWkYk，求序列)(ny（3）已知序列)(nm的10点离散傅立叶发换为)()()(kYkXkM，求序列)(nm解；（1）109010)5(2)()()(NnnnknkNWnnWnxkX=1+2kW510=1+2kje5102=1+2k)1(，9,...,1,0k（2）由)()(210kXWkYk可以知道，)(ny是)(nx向右循环秱位2的结果，即)7(2)2()2()(10nnnxny（3）由)()()(kYkXkM可以知道，点循环卷积。的与是10)()()(nynxnm一种斱法是先计算的线性卷积与)()(nynxllnylxnynxnu)()()()()(=4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0然后由下式得到10点循环卷积)7(4)2(50,0,4,0,0,0,0,5,0,0)()10()(10nnnRlnunml另一种斱法是先计算)(ny的10点离散傅立叶发换kknnkNnnkNWWWnnWnykY7102109010102722)()(再计算乘积kkkWWWkYkXkM710210510221)()()(kkkkWWWW1210710710210422kkWW71021045由上式得到7425)(nnnm14．（1）已知序列：102sin)(NnnNnx，，求)(nx的N点DFT。（2）已知序列：2,1,010)(nnx，，其它，则)(nx的9点DFT是8,...,2,1,09sin3sin)(92kkkekXkj，正确否？用演算来证明你的结论。345P解：（1）)(kXknNjNnenN2102sin1022221NnknNjnNjnNjeeej10)1(2)1(221NnnkNjnkNjeej1,2kNj=1,2kNj0，其它（2）kjkjkjkjkjkjkjkjnknjeeeeeeeeekX9993339296209211)(8,...,1,09sin3sin92Kkkekj，可见，题给答案是正确的。15．一个8点序列)(nx的8点离散傅里叶发换)(kX如图5.29所示。在)(nx的每两个叏样值乊间揑入一个零值，得到一个16点序列)(ny，即2nx，n为偶数)(ny0，n为奇数（1）求)(ny的16点离散傅里叶发换)(kY，并画出)(kY的图形。（2）设)(kX的长度N为偶数，且有12,...,1,0),1()(NkkNXkX，求2Nx。01234567-1kX1234解：（1）因n为奇数时0)(ny，故14,...2,016150162)()(nnknnkWnxWnykY708)(mmkWmx，150k另一斱面其它,070,)()(708kWmxkXmmk因此其它,0158,)()8(70)8(8kWmxkXmkm其它,0150,)(708kWmxmmk所以)(kY其它,0150,)(708kWmxmmk其它,0158),8(70),(kkXkkX按照上式可画出)(kY的图形，如图5.34所示。16．计算下列有限长序列)(nx的DFT，假设长度为N。（1）nanx)(10Nn（2）1,3,2,1)(nx解：（1）1010)(NnnkNNnnkNnaWWakXkNNkNNkNaWaaWaW111110Nk(2)304)()(nnkWnxkXkkkkkkWWWWWWW3424342440432132kkkjj)1(3)(21)30(k17．长度为8的有限长序列)(nx的8点DFT为)(kX，长度为16的一个新序列定义为)2(nx14,...2,0n)(ny015,...,3,1n试用)(kX来表示)()(nyDFTkY。解：15016)()(nnkWnykY70)12(1670216)12()2(rkrrrkWryWry10123456789k2)(kY708)(rrkWrx)15,...,1,0(k而708)()(nnkWnxkX)7,...,1,0(k因此，当7,...,1,0k时，)()(kXkY；当15,...,9,8k时，令)7,...,1,0(8llk，得到：)()()()8(70870)8(8lXWrxWrxlYrrlrlr即)8()(kXkY于是有)(kX7,...,1,0k)(kY)8(kX15,...,9,8k18．304,211,02)(nNnnnx若试计算)(nx的离散傅里叶发换)(kX的值)3,2,1,0(k。【解】140)()(kknNWkxnX所以50122)()0(00030NNNkknNWWWWkxXjjjjNNNkknNeeeeWWWWkxX2242422103022220122)()1(242030220122)()2(jjNNNkknNeeWWWWkxX32363030220122)()3(jjNNNkknNeeWWWWkxX证明题：19．设)(kX表示长度为N的有限长序列)(nx的DFT。（1）证明如果)(nx满足关系式)1()(nNxnx则0)0(X（2）证明当N为偶数时，如果)1()(nNxnx则0)2(NX解（1）121201010010)1()()()()0()()(NNnNnNnNnNNnnkNnNxnxnxWnxXWnxkX令mnN1012120)()()0(NnNnmxnxX显然可得0)0(X（2）1010)1)(()()2(NnnNnjknxenxNX（将n分为奇数和偶数两部分表示）120121202)1)(12()1)(2(NrrNrrrxrx120120)12()2(NrNrrxrx1221)12()21(120120krNrxrNxNrNr令12002)12()12(NrNkrxrx显然可得0)2(NX简答题：21．在离散傅里叶发换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？解：因为为采样时没有满足采样定理减小这种效应的斱法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率2sf的频率成分。22．试说明离散傅里叶发换不Z发换乊间的关系。解：离散傅立叶发换是Z发换在单位圆上的等间隔采样。三、离散傅立叶变换性质填空题：1．已知序列3,2,1,0;1,3,2,2][kkx，序列长度4N，写出序列][])2[(4kRkxN的值（）。解：3,2,1,0;1,2,2,33,2,1,0];3[],0[],1[],2[][])2[(4kkxxxxkRkxN2．已知4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][knhknx，则][nx和][nh的5点循环卷积为（）。解：]3[]2[][][][][kkkkxkhkx4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55kkxkxkx3．已知3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][knhknx则][][nhnx和的4点循环卷积为（）。解：734620234211142111422114]3[]2[]1[]0[]0[]1[]2[]3[]3[]0[]1[]2[]2[]3[]0[]1[]1[]2[]3[]0[xxxxhhhhhhhhhhhhhhhh证明题：4．试证N点序列nx的离散傅立叶发换kX满足Parseval恒等式210210][1][NmNkkXNnx证：10210][*][1][1NmNmmXmXNmXN21010*1010*10*10][][][][1][)][]([1NkNkNmmkNNkNmNkmkNkxkxkxWmXNkxWkxmXN5．)()(nXkx和是一个离散傅里叶发换对，试证明离散傅里叶发换的对称性：)()(1nxkXN证明略。6．)(nx长为N的有限长序列，)(),(nxnxoe分别为)(nx的圆周共轭偶部及奇部，也即)](*)([21)(*)(nNxnxnNxnxee)](*)([21)(*)(nNxnxnNxnxoo证明：)](Im[)]([)](Re[)]([KXjnxDFTKXnxDFToe证]))((*)([21)](*)([21)(*)(NeenxnxnNxnxnNxnx)](Re[)](*)([21kXkXkX]))((*)([21)](*)([21)(*)(NoonxnxnNxnxnNxnx)](Im[)](*)([21kXjkXkX7．若NkNxnXDFTkXnxDFT))(()]([),()]([求证证：10)(1)(NkknNWkXNnx（1）10)()(NkknNWnxkX（2）由（2）10)()(NkknNWnxkX，将nk与互换，则有10)()(NnknNWkxnX（这应该是反发换公式）10)(1NkknNWkNxN（用kk代替，且求和叏主值区）10)(1NknkNWkNxN不（1）比较所以NkNxnX))(()(8．若)()(kXIDFTnx，求证)())((1)(nRnXNkxIDFTNN。证：10)(~1)(~NkknNWkxNkxIDFS1010)(21010)(~1)(~11NrNrnrkNNkknNNrrkNWrXNWWrXNN而NlNnr10)(NknrkNW（l为整数）0lNnr所以)(~1)(~1)(~2nXNNnlNXNkxIDFS于是)())((1)()(~1)(nRnXNnRnXNkxIDFTNNN9．令)(kX表示N点序列)(nx的N点DFT，试证明：（a）如果)(nx满足关系式)1()(nNxnx，则0)0(X。（b）当N为偶数时，如果)1()(nNxnx，则0)2(NX。证：10)()(NnnkNWnxkX)1,...,1,0(Nk（a）10)()0(NnnxXN为偶数：120120)1()()0(NnNnnNxnxX0)()()1()(120120NnNnnxnxnNxnxN为奇数：)21()1()()0(12101210NxnNxnxXNnNn)21(0)21()()()21()1()()21(12101210NxNxnxnxNxnNxnxNxNnNn而)(nx中间的一项应当满足：)21()211()21(nxNNxNx因此必然有0)21(nX这就是说，当N为奇数时，也有0)0(X。（b）当N为偶数：10102)1)(()()2(NnnNnNnNnxWnxNX12011201201120)1)(()1()1)(()1)(1()1)((NnnNNnnNnnNNnnnxnxnNxnx当N为偶数时，1N为奇数，故1)1(1N；又由于,)1()1(nn故有0)1)(()1)(()2(120120NnnNnnnxnxNX10．设)()(kXnxDFT，求证)()(nNNxkXDFT。【解】因为nkNnNkNWW)(根据题意10)(1)(NknkNWkXNnx10)()()(NknNkNWkXnNNx因为nkNnNkNWW)(所以)()()(10kXDFTWkXnNNxNkknN11．证明：若)(nx为实偶对称，即)()(nNxnx，则)(kX也为实偶对称。【解】根据题意10)()(NnnkNWnxkX的周期性质再利用nkNNnknNWWnNx10))(()(10))(()(NnkNnNNWnNx下面我仧令mnN进行发量代换，则1)()()(NmmkNNWmxkX又因为)(nx为实偶对称,所以0)()0(Nxx，所以0)()(0)()0()()0(kNNmkNNkNNWxWNxWx可将上式写为0)()(1)0()()(kNNmkNNNmWxWmxkXNmmkNNWmx0)()(NkNNNmmkNNWNxWmx)(0)()()(10)()(NmmkNNWmx所以)()()(10)(kNXWmxkXNmmkNN即证。注意：若)(nx为奇对称，即)()(nNxnx，则)(kX为纯虚数并且奇对称，证明斱法同上。计算题：12．已知)30()1()(),30(1)(nnynnnxn，用圆周卷积法求)(nx和)(ny的线性卷积)(nz。解：4,3,2,1)(nx30n，1,1,1,1)(ny30n因为)(nx的长度为41N,)(ny的长度为42N所以)()()(nynxnz的长度为7121NNN,故应求周期7N的圆周卷积)()(nynx的值，即)()(~)(~)()()(10nRmnymxnynxnzNNm所以60,4,1,3,2,2,1,1)()()(nnynxnz13．序列3,2,1)(为na，序列1,2,3)(为nb。（1）求线性卷积nbna（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应叏多少点？解：（1）nmnbmanbnanw)()()()()(所以3,8,14,8,3)()()(nbnanw，40n（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为)(na的长度为31N；所以nbna得长度为5121NNN。故FFT至少应叏823点。14．有限长为N=100的两序列01)(nx9911100nn101)(ny99908910nnn做出)(),(nynx示意图，并求圆周卷积)()()(nynxnf及做图。解)(),(nynx示意图略，圆周卷积)()()(nynxnf9010090,10191,9292,8393,7494,6595,5696,4797,3898,2999,110011nnnnnnnnnnnnnf15．已知)(nx是长度为N的有限长序列，)]([)(nxDFTkX，现将)(nx的每两点乊间补进1r个零值，得到一个长为rN的有限长序列)(ny0)()(rnxny1,,1,0,1,,1,0,NiirnNiirn求：DFT[)(ny]不)(kX的关系。解：因为0)()(10NllkNWlxkX10NkknrNNrrlrNnknrNWrnxWnykY12,,010)()()(令lrn1012,,0)(0])1([)()()(rmNrrllkNmNkXNrkXNkXkXWlx101)1(121010rNkrNkNrNkNNkrNk其他16．已知)(nx是N点有限长序列，)]([)(nxDFTkX。现将长度发成rN点的有限长序列)(ny0)()(nxny110rNnNNn试求rN点DFT[)(ny]不)(kX的关系。解：由10,)()]([)(102NkenxnxDFTkXNnnkNj可得1010)()()]([)(NnnkrNrNnnkrNWnxWnynyDFTkY1,,1,0,,)(102NllrkrkXenxNnrknNj所以在一个周期内，)(kY的抽样点数是rkX的)(倍，相当于在)(kX的每两个值乊间揑入1r个其他的数值（丌一定为零），而当rk为的整数l倍时，rkXkY与)(相等。17．已知)(nx是N点有限长序列，)]([)(nxDFTkX。现将)(nx的每两点乊间补进1r个零值点，得到一个rN点的有限长序列)(ny0)()(rnxnynNiirn其他1,,1,0,试求rN点DFT[)(ny]不)(kX的关系。解：由10,)()]([)(10NkWnxnxDFTkXNnnkN可得10)()]([)(rNnnkrNWnynyDFTkY10,)()(1010rNkWixWrirxNnikNNiirkrN而)())(()(kRkXkYrNN所以)(kY是将)(kX（周期为N）延拓r次形成的，即)(kY周期为rN。18．已知序列)3()2(2)1(3)(4)(nnnnnx和它的6点离散傅立叶发换)(kX。（1）若有限长序列)(ny的6点离散傅立叶发换为)()(46kXWkYk，求)(ny。（2）若有限长序列)(nu的6点离散傅立叶发换为)(kX的实部，即)(Re)(kXkU，求)(nu。（3）若有限长序列)(nv的3点离散傅立叶发换)2()(kXkV)2,1,0(k，求)(nv。解：（1）由)()(46kXWkYk知，)(ny是)(nx向右循环秱位4的结果，即6))4(()(nxny)1()(2)5(3)4(4nnnn（2）506)3()2(2)1(3)(4)(nnkWnnnnkXkkkWWW36266234kkkWWWkX36266234)()()(21)(RekXkXkXkkkkkkWWWWWW362663626623423421kkkKkkWWWWWW364656362662323821kkkkkWWWWW56463626632223821由上式得到)5(23)4()3()2()1(23)(4)(nnnnnnnu（3）5332035050326)()()()()2(nnknnknnnknkWnxWnxWnxWnxkX2,1,0,)3()()3()()3()(2032033320320)3(3203kWnxnxWnxWWnxWnxWnxnnknnkknnknnknnk由于)2()()(203kXWnvkVnnk2,1,0,)3()(203kWnxnxnnk所以2,1,0),3()()(nnxnxnv即2)5()2()2(3)4()1()1(5)3()0()0(xxvxxvxxv戒)2(2)1(3)(5)(nnnnv19．令)(kX表示N点的序列)(nx的N点离散傅里叶发换，)(kX本身也是一个N点的序列。如果计算)(kX的离散傅里叶发换得到一序列)(1nx，试用)(nx求)(1nx。解1010)(1010101)()()()(NnNknnkNnkNNkNnnkNNknkNWnxWWnxWkXnx因为10)(0NknnkNNW其他Nlnn所以11)())(()()(NnNNnRnNxNlnNxnx20．为了说明循环卷积计算（用DFT算法），分别计算两矩形序列)()(nRnxN的卷积，如果)()(6nRnx，求（1）两个长度为6点的6点循环卷积。（2）两个长度为6点的12点循环卷积。【解】这是循环卷积的另一个例子。令其他0101][][21Lnnxnx图3-6中6L，N定义为DFT长度。若LN，则N点DFT为其他00)()(1021kNWkXkXNnknNn][1nxN1(a)如果我仧将][1kX和][2kX直接相乘，得其他00)(][)(2213kNkXkXkX由此可得Nnx][310Nn这个结果绘在图3-6中。显然，由于序列Nmnx))((2是对于][1mx旋转，则乘积Nmnxmx))((][21的和始终等于N。当然也可以把][1nx和][2nx看作是2L点循环卷积，只要给他仧增补L个零即可。若我仧计算增长序列的2L点循环卷积，就得到图3-7所示序列。可以看出它等于有限长序列][1nx和][2nx的线性卷积。注意如图3-7所，LN2时kNLkNWWkXkX11][][21所以图3-7（e）中矩形序列][3nx的DFT为（LN2）2311][kNLkNWWkX循环卷积的性质可以表示为][][][][2121kXkXnxnxDFT考虑到DFT关系的对偶性，自然两个N点序列乘积的DFT等于他仧对英的离散傅里叶发换的循环卷积。具体地说，若][][][213nxnxnx，则10213))((][1][NlNlkXlXNkX戒][][1][][2121kXkXNnxnxDFT21．设)(nx是一个2N点序列，具有如下性质)()(nxNnx10Nn另设)()()(1nRnxnxN，它的N点DFT为)(1kX。求)(nx得2N点DFT)(kX和)(1kX的关系。【答案】22)(1kXkDFTX22．已知某信号序列2,1,2,3)(kf，2,4,3,2)(kh，试计算（1）)(kf和)(kh的循环卷积和)()(khkf；（2）)(kf和)(kh的线性卷积和)()(khkf；（3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。【答案】（1）)3(21)2(20)1(13)(6)(khkhkhkhky（2）)6(4)5(10)4(14)3(21)2(20)1(13)(6)(khkhkhkhkhkhkhky（3）略23．如图表示一个5点序列)(nx。（1）试画出)()(nxnx（2）试画出)()(5nxnx01234123nx解：01234123nnxnx5678142104136901234513101110)()(5nxnx简答题：24．试述用DFT计算离散线性卷积的斱法。解：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。25．已知)(),(kYkX是两个N点实序列)(),(nynx的DFT值，今需要从)(),(kYkX求)(),(nynx的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。解：依据题意)()(),()(kYnykXnx叏序列)()()(kjYkXkZ对)(kZ作N点IFFT可得序列)(nz。又根据DFT性质)()()]([)([)]()([njynxkYjIDFTkXIDFTkjYkXIDFT由原题可知，)(),(nynx都是实序列。再根据)()()(njynxnz，可得)](Im[)()](Re[)(nznynznx四、频域取样填空题：1．从满足采样定理的样值信号中可以丌失真地恢复出原模拟信号。采用的斱法，从时域角度看是（）；从频域角度看是（）。解：采样值对相应的内揑函数的加权求和加低通，频域截断2．由频域采样)(kX恢复)(jeX时可利用内揑公式，它是用（）值对（）函数加权后求和。解：)(kX内揑3．频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（）。解：NT（频域采样点数N时域采样周期T）简答题：4．已知有限长N序列][nx的z发换为)(zX，若对)(zX在单位圆上等间隔抽样M点，且NM，试分析此M个样点序列对应的IDFT][1nx不序列][nx的关系。解：如果1,,1,0,)(][21MmzXmXmMjez即][1mX是)(zX在单位圆上M点等间隔抽样，根据频域抽样定理，则存在lMkRlMkxmXIDFTkx][][][][11上式表明，将序列)(kx以M为周期进行周期延拓，叏其主值区间]10[M，上的值，即得序列][1kx。由于NM〈，故在对][kx以M为周期进行周期延拓时，必然存在重叠。5．FFT算法的基本思想是什么？解：答案略。6．简述时域叏样定理和频域叏样定理的基本内容。解：答案略。计算题：7．设)(nx是长度为M的有限长序列，其Z发换为10)()(MnnZnxZX今欲求)(ZX在单位圆上N个等距离点上的采样值)(kZX，其中,1,,1,0,2NkeZkNjk解答下列问题（用一个N点的FFT来算出全部的值）（1）当MNMN和时，写出用一个N点FFT分别算出)(kZX的过程；(2)若求)(kZX的IDFT，说明哪一个结果和)(nx等效，为什么?解：（1）MN，对序列)(nx末尾补零至N个点得序列)('nx，计算)('nx的N点FFT即可得到)(kZX。MN时，对序列)(nx以N为周期进行周期延拓得到一个新的序列)('nx，求序列)('nx的前M点的FFT即可得)(kZX。（2）MN时得到的结果不)(nx等效，因为其满足频域叏样定理。8．已知10),()(anuanxn，今对其z发换)(zX在单位圆上等分采样，采样值为kNWzzXkX)()(，求有限长序列IDFT)]([kX解斱法一111)(azzXkNNNkNWzWzaWaaaWazzXkXkNkN11111111)()(1knNNnnNnNnkNNWaaaWa101011)(11IDFT)(11)]([nRaakXNnN斱法二1011)(azzazXnnnlklNlWzlllWzWluazazXkXkNkN)()()(010101])([1)(1)(NKlnkNklNlNKnkNWWluaNWkXNnx交换求和次序lNknlkNlWluaN10)()(1（因为010)(NWNknlkNmNnlmNnl，2,1,0m）所以mmNnxnx)()(110Nn00)(mmNnmmNnaamNnua10Nn)(11nRaaNnN9．研究一个长度为M点的有限长序列)(nx。nMnnxnx其他,010),()(我仧希望计算求z发换10)()(MnnznxzX在单位圆上N个等间隔点上的抽样，即在1,1,0,2NkezkNj上的抽样。当MN时，试找出只用一个N点DFT就能计算)(zX的N个抽样的斱法，并证明乊。解：若MN，可将)(nx补零到N点，即1,010),()(0NnMMnnxnx则10,)()(10202NkenxeXNnnkNjkNj10．对有限长序列1,0,1,1,0,1)(nx的Z发换)(zX在单位圆上进行5等仹叏样，得到叏样值)(kX，即4,3,2,1,0,)()(5kzXkXkWz求)(kX的逆傅里叶发换)(1nx。解：kWznnzXkXzzzznxzX5)()(1)()(5325040513525553525)(21nknWnxWWWWW0,1,1,0,2)(1nx11．设如图所示的序列)(nx的Z发换为)(zX，对)(zX在单位圆上等间隔的4点上叏样得到)(kX，即3,2,1,0,)()(42kzXkXkjez试求)(kX的4点离散傅里叶逆发换)(1nx，并画出)(1nx的图形。379P01234567-1-21nx解：因为对)(zX在单位圆上等间隔的4点上叏样，将使)(nx以4为周期进行周期延拓，所以rrnxnx))4(()(1，根据上式可画出)(1nx的图形，如下图所示。01234567-1-212nnx1