复习大纲一、关系的概念1、关系的定义集合A到B的二元关系定义：设A，B为集合，AxB的任何子集所确定的二元关系叫做从A到B的二元关系当A＝B时则叫做A上的二元关系2、关系的表示1）集合表示R={
|P(x,y)}2）关系矩阵表示：有穷集合A上的二元关系可用布尔矩阵表示3）关系图GR表示：以A中的元素为结点，若∈R，则从到画一条有向弧3、关系的运算1）关系的一般集合的运算：并、交、相对补、补及对称差2）关系的逆运算R-1＝｛|∃∈R｝3）关系的复合运算1）定义：设F，G为二元关系，G对F的右复合记作FoG，FoG＝｛|∃t(∈F∧∈G)等价关系部分复习4）关系的幂运算定义：设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：(1)R0＝{|x∈A}=IA(2)Rn+1＝RnoR即对于A上的任何关系Rl和R2都有R10＝R20＝IA性质:(类似于数的幂运算性质)RmoRn=Rm+n(Rm)n=Rmn4、关系的性质关系的性质主要有以下五种：自反性，反自反性，对称性，反对称性和传递性．(1)若∀x(x∈A→∈R)，则称R在A上是自反的．具有自反性的关系矩阵的特征是：主对角线上元素均为1具有自反性的关系图的特征是：每个结点均有环(2)若∀x(x∈A→┓∈R)，则称R在A上是反自反的具有反自反性的关系矩阵的特征是：主对角线上元素均为0具有自反性的关系图的特征是：每个结点均没有环（3）若∀x∀y（x，y∈A∧∈R→∈R>）则称R为A上的对称的关系．具有对称性的关系矩阵的特征是：是对称矩阵具有对称性的关系图的特征是：两个互异结点之间有弧必有方向相反的两条（4）若∀x∀y（x，y∈A∧∈R∧∈R→x=y）则称R为A上的反对称的关系．具有反对称性的关系矩阵的特征是：是非对称矩阵具有反对称性的关系图的特征是：两个互异结点之间有弧仅有一条（5）若∀x∀y∀z(x，y，z∈A∧∈R∧∈R→∈R)，则称R为A上传递的关系。以上性质的定义中均使用了条件语句，当前件为假时，该语句为真。故当关系R不满足某个性质定义前件时，就可以确定R满足该性质。二、等价关系与划分1、等价关系定义：设R为非空集合上的关系．如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。设R是一个等价关系，若∈R，称x等价于y，记作x∼y注：1）R是等价关系必须同时满足三个性质2)R是等价关系的矩阵特征和图特征2、典型例子：定义整数集上的关系R：R＝｛|x，y∈A∧x≡y(mod5)｝其中x≡y(mod5)叫做x与y模5相等，即x除以5的余数与y除以5的余数相等．3、等价类1)等价类定义：设R为非空集合A上的等价关系，∀x∈A，令[x]R＝｛y|y∈A∧xRy或∈R｝称[x]R为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为[x]R注：[x]R是由A中有与x有关系R的元素组成（A中所有与x等价的元素构成的集合）即所有与x成为序对的成员构成。等价类的代表[x]R可以是该集合内的任何元素4、等价类的性质设R为非空集合A上的等价关系，则1>∀x∈A，[x]R≠ø是A的非空子集2>∀x，y∈A，如果xRy，则［x]R＝[y]R3>∀x，y∈A，如果x与y不具有关系R，则[x]R∩[y]R=ø4>∪｛[x]R|x∈A｝=A．三个定义等价：xRy⇔［x]R＝[y]R⇔[x]∩[y]≠ø问题：同一集合上的等价关系的并及交是否还是等价关系？5、商集1）商集定义：设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记作A／R，即A／R＝｛［x]R|x∈A}由A上等价关系R的所有不同等价类构成的一个新集合6、集合划分的定义设A为非空集合，若A的子集构成的集合族π(π⊆p(A)是A的子集构成的集合)满足下面的条件：1)ø不属于π（不空）2>∀x∀y(x，y∈π∧x≠y→x∩y=ø)互异3>∪π=A则称π是A的一个划分，称π中的元素为A的划分块．集合A的一个划分π与集合A上的一个等价关系R的等价类的关系：1）由等价关系R所确定的集合A的商集A／R是集合A的一个划分集合A上的一个等价关系R与集合A上的一个划分是一一对应关系2）集合A的不同划分对应集合A上的不同等价关系对于集合A的任何一个划分均可确定A上的一个等价关系R由R确定的关于A的商集等于此划分需要掌握：给定A上等价关系R—确定A的一个划分（即确定商集）给定A的一个划分—确定A上的一个等价关系R有限集合上的所有等价关系（即有限集合的所有不同划分）习题类型：p13333、36、40例：设A＝｛1，2，3｝求A上的所有等价关系由于A上的等价关系与A上的划分是一一对应关系，可从对A的划分来确定相应的等价关系三、函数：作为特殊的二元关系来表示1、函数定义：设X、Y为非空集合，fX×Y是X到Y的二元关系满足：对每个xX,都存在一个唯一的yY使f则称关系f为X到Y的函数（映射）记作：f:XYa、存在性：要且对任一xX,f即Dom(f)=Xb.唯一性：对于每个x,存在唯一的y,使f2、若f是A到B的函数，Dom(f)=A集合A称为f的定义域，B成为函数f的陪域，Ran(f)B,Ran(f)称为f的值域3、若f,可记为y=f(x),称y为x在f下的象点。x为y在f下的原象(也可记为x=f-1(y)）。Ran(f)称为函数的像记为：Ran(f)=f(A)={y|yB∧x(xA∧y=f(x))}4、若f是A到B的函数,A1A,B1Bf(A1)={f(x)|xA1}=B1为A1在f下的像(是B的子集）f(A)为函数的像f-1(B1)={x|xA∧f(x)B1}为B1在f下的完全原像(是A的子集)A1Af(A1)B的完全原像f-1(f(A1))是A的子集习题类型：P1601、3、(b）对其中1道题熟悉即可5、所有定义在A到B上的函数用集合BA={f|f是A到B的函数}习题八26、设f:AB,函数：1）若Ran(f)=B则称f为满函数（满函数）f(A)=B即：yB,xA使ff是满函数的必要条件是｜B｜≤｜A｜2）f:AB若:x1x2A,当x1≠x2时有,f(x1)≠f(x2)则称f为单射函数f为单函数的必要条件｜B｜≥｜A｜3）f:AB若f即是单射函数又是满射函数，则称f为双射函数.f双射必要条件：｜B｜＝｜A｜当f是有限集合A上的单函数时则f必是满函数（双射函数）习题类型：习题八5、107、特殊函数1）常值函数：f:XY，xXf(x)=y2）恒等函数：Ix:XXxf(x)=x双射函数性质：f是XY的函数fIx=Iyf3）自然映射：R是X上的等价关系，g:XX/R,xX,g(x)=[x]Rg是X到商集的自然映射，是一个满函数8、函数的复合1）设f是X到Y的函数，g是Y到Z的函数复合关系：fog={|y(yY∧f∧g)}称为f与g的复合函数fog是X到Z的函数，且xX,fog(x)=g(f(x))复合运算不满足交换律（与一般关系相同）若f是X上的函数，ff=f2……fn幂函数2）三类重要性质函数的复合性质—证明的过程要理解f:XY函数，g:YZ函数若fg存在i>f与g均为满函数，fg也是满函数ii>f与g均为单函数，fg也是单函数iii>f与g均为双射函数，fg也是双射函数如果fg是单函数，能否确定f与g均是单函数？如果fg是满函数，能否确定f与g均是满函数？习题类型：习题八16、18、22、269、反函数1）定义：设f:XY的双射函数则：f的逆关系f称为：f的反函数，记为：f-1若函数f存在反函数，则称f是可逆函数。1>并非任何函数都是可逆函数2>若f是可逆函数，则f一定是双射函数3>f是XY的双射函数，则f是可逆函数f-1存在且f-1是YX的双射函数。4>若f是X到Y的可逆函数，g是Y到Z的可逆函数fg是可逆函数，且(fg)-1=g-1f-1ff-1=？f-1f=？四、图的基本概念1、图的定义：一个无向图是一个有序的二元组，记作G，其中(1)V≠ø称为顶点集，其元素称为顶点或结点．(2)E称为边集，它是无序积V＆V的多重子集，其元素称为无向边，简称为边定义2一个有向图是一个有序的二元组，记作D，其中(1)V≠ø称为顶点集，其元素称为顶点或结点．(2)E为边集，它是笛卡儿积VⅹV的有穷多重子集，其元素称为有向边(弧)．2、有关图的术语1）用G表示无向图，D表示有向图有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集2）用｜V(G)｜，｜E(G)｜分别表示G的顶点数和边数(有向图类似）若｜V(G)｜＝n，则称G为n阶图。对有向图可做类似规定3）在图G中，若边集E(G)＝ø，则称G为零图若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图4)常用ek表示无向边(vi，vj)(或有向边)设G＝为无向图，ek=(vi，vj)∈E，则称vj，vj为ek的端点，ek与vi、vj是彼此相关联的．起终点相同的边称为环不与任何边关联的结点称为孤立点（包括有向向图)5）邻接：边的相邻：ek，el∈E．若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的顶点的相邻：两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点，也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。6）平行边：在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数．在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点与终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边为平行边．7）多重图和简单图：含平行边的图称为多重图既不含平行边也不含环的图称为简单图．3、结点的度设G＝为无向图，∀v∈V，称v作为边的端点次数之和为v的度数，简记为dG(v)即为：结点v所关联的边的总条数关于有向图D＝有：∀v∈V，称v作为边的始点的次数之和为v的出度，记作d-(v)，称v作为边的终点的次数之和为v的入度，记作d+(v)，称d+(v)+d-(v)为v的度数，记作dD(v)4、结点的度1）定义4设G＝为无向图，∀v∈V，称v作为边的端点次数之和为v的度数，简记为度记作dG(v)，简记为dG(v)即为：结点v所关联的边的总条数关于有向图D＝有：∀v∈V，称v作为边的始点的次数之和为v的出度，记作d-(v)，称v作为边的终点的次数之和为v的入度，记作d+(v)，称d+(v)+d-(v)为v的度数，记作dD(v)2)称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边5、握手定理（欧拉）1)设G＝为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜=m，则∑d(vi)＝2m(所有结点的度数值和为边数的2倍)2)设D＝为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E|=m，则∑d+(vi)＝∑d-(vi)=m．且∑d(vi)＝2m3)推论任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数4)结点的度数序列(1)设G＝为一个n阶无向图，V＝{v1，v2，…，vn}称d(v1)，d(v2)，…，d(vn)为G的度数列条件：奇度数的结点个数应该是偶数个（2）序列的可图化：d=(d1,d2,…dn)对一个整数序列d,若存在以n个顶点的n阶无向图G，有d(vi)=di称该序列是可图化的（3）设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)则d是可图化的当且仅当∑di=0(mod2)(序列之和必须是偶数)（4）结论：n个结点的简单图中结点的最大度数（△（G)）应小于等于n-16、图的同构定义:两个图的各结点之间，如果存在着一一对应关系f这种对应关系又保持了结点间的邻接关系，那么这两个图就是同构的在有向图的情况下，f不但应该保持结点间的邻接关系，还应该保持边的方向注：1)互为同构的两个图（必要条件）有相同样的阶数（结点）和同样数量的边数及顶点的度数序列2)图之间的同构关系可看成全体图集合上的二元关系同构的图为一个等价类，在同构的意义之下都可以看成是一个图。画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图主要掌握：给出边集E，能表示出图简单图的判断握手定理的应用习题类型：习题十四3、5、87、完全图定义设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n—1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn(n≥1)．设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n—1个顶点，又邻接于其余的n—1个顶点，则称D是n阶有向完全图．完全图的性质：n阶无向完全图G的边数与结点的关系m=n(n-1)/2n阶有向完全图G的边数与结点的关系m=n(n-1)8、通路：首尾相接的边的序列L称为通路2、序列中首尾结点相同，则称L为回路3、通路的表示：边的集合表示可仅用通路中的边序列表示：e1e2…ek也可仅用通路中所经过的结点的序列表示：v1v2v4v1v34、边序列中的各条边全都是互不相同的通路，称为简单通路5、序列中的每一个结点仅出现一次的通路，称为初级通路6、序列中首尾结点相同，则称通路为初级回路或圈。7、序列中边的条数称为它的长度8、关系：有向图中的每一条初级通路，也都必定是简单通路。反之不成立9、在n阶图D中，若从顶点vi到vj存在简单通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于n—1的初级通路10、在一个n阶图D中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在vi到自身长度小于或等于n的初级回路（圈）掌握：初级通路与简单通路的判断，及其关系9、图的连通性1）无向图的连通性结点的连通：设无向图G＝，∀u,v∈V，若u，v之间存在通路则称u,v是连通的记作u～v，∀u∈V，规定u～u结点的连通关系是等价关系若定义：～＝{┃u，v∈V且u与v之间有通路}此关系是自反，对称的，传递的，因而～是V上的等价关系2）无向图的连通图若无向图G中任何两个顶点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连通图或分离图（各子图为连通分支-等价类）3）结点之间的距离设u，v为无向图G中任意两个顶点,若u～v，称u，v之间长度最短的通路为u，v之间的短程线短程线的长度称为u，v之间的距离，记作d(u，v)当u，v不连通时，规定d(u，v)＝∞4）有向图的连通性1、结点的可达性：设D＝为一个有向图．∀vi,vj∈V，若从vi到vj存在通路,则称vi可达vj,记作vi→vj。规定vi总是可达自身的，即vi→vi．2、结点的相互可达若vi→vj且vj→vi则称vi与vj是相互可达的，记作:vi↔vj(规定vi↔vi)3、结点的可达关系可为V上的二元关系，但不是等价关系4、有向图中结点的距离定义：设D＝为有向图∀vi,vj∈V，若vi→vj，称vi到vi长度最短的通路为vi到vj的短程线短程线的长度为vi到vj的距离，记作d一般地：d≠d（可能d不存在）5）设D＝{V，E)为一个有向图．若D的作为无向图是连通图，则称D是弱连通图，简称为连通图．若∀vi,vj∈V,vi→vj与vj→vi至少成立其一，则称D是单向连通图．若∀vi,vj∈V，均有vi↔vj，则称D是强连通图三种图的关系：强连通图一定是单向连通图，反之不成立单向连通图一定是弱连通图．反之不成立掌握：对有向图和无向图连通的判断连通关系与可达关系的性质10、图的矩阵表示1）无向图的关联矩阵令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)为G的关联矩阵，记作M(G)．2）关联矩阵的性质:关联矩阵是n行（结点数）m列（边数）的矩阵(1）M(G)每列元素之和均为2，这正说明每条边关联两个顶点(环所关联的两个端点重合)．∑mij=2(j=1，2，…，m)(2）M(G)第i行元素之和为结点vi的度数，i＝1，2，…n(3)所有行的和（即矩阵所有元素之和）等于边数的2倍。∑d(vi)＝∑∑mij=∑2＝2m，这个结果满足握手定理（4）第j列与第k列相同，当且仅当边ej与ek是平行边．(5)某行i的和为0（即∑mij=0）,当且仅当vi是孤立点．3）有向图的关联矩阵设有向图D＝中无环，V＝{v1，v2，…，vn}。E＝{el，e2,…，em}，令1vi为边ej的起点mij=0vi为边ej不关联－1vi为边ej的终点则称(mij)nxm，为D的关联矩阵，记作M(D）4)有向图关联矩阵的性质（1）∑mij=0，j＝1，2，…，m，从而∑∑mij=0，这说明M(D)中所有元素之和为0．(2)M(D)中，负1的个数等于正1的个数，都等于边数m，这正是有向图握手定理的内容（入度之和等于出度之和）．（3）第i行中，正1的个数等于d+(vi)（结点的入度），负1的个数等于d-(vi)（结点的出度）．（4）平行边所对应的列相同关联矩阵
要求
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掌握：定义及性质5）有向图的邻接矩阵设有向图D＝，V＝{v1，v2，…，vn}，E＝{e1，e2…，em}令：aij为顶点vi邻接到顶点vj边的条数称(aij))nxn为D的邻接矩阵，记作A(D)邻接矩阵的性质每列元素之和为结点的入度，即∑aij＝d+(vi)，i＝1，2…，n所有列的和∑∑aij＝∑d+(vi)＝m，等于边数每行元素之和为结点的出度，所有行的和也等于边数邻接矩阵中元素aij反映了有向图中结点vi到vj通路长度为1的条数A(D)中所有元素之和为D中长度为1的（边）通路总条数。主对角线的元素值为图中结点vi长度为1的环的条数利用A(D)确定出D中长度为L的通路数和回路数,就需要用到邻接矩阵的幂次运算A2中的元素值bij是结点vi到vj长度为2的通路条数：A3矩阵中的Cij元素值，表示了从到长度恰为3的通路条数目A的L次幂AL(L≥1)中元素cij为D中vi到vj长度为L的通路数，其中cii为vi到自身长度为L的回路数设BL＝A+A2十…+AL(L≥1)，则BL中元素bij为D中长度小于或等于L的通路数，其中主对角线上元素值为D中长度小于或等于L的回路数主要掌握：对于给出的图能准确得到其邻接矩阵能计算邻接矩阵各次幂能利用邻接矩阵及其各次幂得出图的各结点到另外结点长度为d的通路（回路）条数各个结点的出度及入度习题：P2911、3、5、8、14、43、44、45、46、4711、欧拉图与哈密顿图1）欧拉图定义：给定一个无向图G=。(a)穿程图G中的每条边一次且仅一次的通路，定义为该图G的欧拉通路。(b)穿程图G中的每条边一次且仅一次的回路，定义为该图G的欧拉回路。(c)具有欧拉回路的图，称为欧拉图具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图2）性质每一个欧拉图都必定是个连通无向图连通无向图G中没有奇度结点，当且仅当图G是个欧拉图无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的且G中恰有两个奇度数结点3）哈密顿图定义：给定一个无向图G=(a)穿程图G中的每个结点一次且仅一次的通路，称为该图G的哈密顿通路(b)穿程图G中的每个结点一次且仅一次的回路，定义为该图G的哈密顿回路。(c)具有哈密顿回路的图。称为哈密顿图。具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图4）性质：每一个哈密顿图都必定是个连通无向图哈密顿通路是一条初级通路哈密顿回路是初级回路要求掌握：定义及其性质12、树1）定义：连通无回路（初级回路或简单回路）的无向图称为无向树，或简称树。常用T表示树，平凡图称为平凡树．在无向树中，悬挂顶点称为树叶，度数大于或等于2的顶点称为分支结点．树的等价定义(2)G中任意两个顶点之间存在惟一的路径．(3)G中无回路且m=n-1．(4)G是连通的且m=n-1．2）树的性质对于给定的无向图—树是边数最小的连通图（mn-1则有回路）结点的度：Σd(vi)=2m=2(n-1)设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶主要掌握：树的定义树的性质习题类型：p3182、4、13五、代数结构部分1、二元运算的一般性质对以下的各个性质要有四个实际的运算作为模型来理解１）交换律： 如果对于任意的x，y∈S都有x＊y=y＊x 则称运算＊在S上是可交换的，或者说运算＊在S上适合交换律。2）结合律设＊为S上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈S都有:(x＊y)＊z=x＊(y＊z)则称运算＊在S上是可结合的，或者说运算＊在S上适合结合律．3）等幂律设＊为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S都有x＊x＝x则称该运算＊适合幂等律． 如果S中的某些x满足x＊x=x，则称x为运算＊的幂等元． 如果S上的二元运算＊适合幂等律，则S中的所有元素都是幂等元．4）分配律（一种运算对另一种运算而言）设＊和o是S上的两个二元运算，如果对任意的x，y，z∈S有x＊(yoz)＝(x＊y)o(x＊z)(左分配律)(yoz)＊x=(y＊x)o(z＊x)(右分配律)则称运算＊对o是可分配的，也称＊对o适合分配律．5）吸收律（一种运算对另一种运算而言）设o和＊是S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x，y∈S都有x＊(xoy)＝xxo(x＊y)=x则称o和＊满足吸收律．对以上的各个公理要有四个实际的运算作为模型来6）单位元（幺元） 对任何x∈S都有:el＊x=x(或x＊er=x)则称el(或er)是S中关于＊运算的一个左单位元(或右单位元)． 若e∈S关于运算＊既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于＊运算的单位元． 性质：单位元的唯一性7）零元 设o为S上的二元运算，若存在元素θl(或θr)∈S使得对于任意的x∈S有：θlox=θl(或xoθr＝θr) 则称θl(或θr)是S上关于o运算的左零元(或右零元)．若θ∈S关于o运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于o运算的零元．性质:零元的唯一性8）可逆元设ㅇ为S上的二元运算，e∈S为ㅇ运算的单位元对于∀x∈S，如果存在yl∈S(或yr∈S)使得ylㅇx=e(或xㅇyr=e)则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元)．若y∈S既是又的左逆元又是x的右逆元，则称y是x的逆元．如果x的逆元存在，则称x是可逆的．9）消去律设＊为S上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈S满足以下条件(1)若x*y=x*z且x≠0，则y=z；(2)若y*x=z*x且x≠0，则y=z；那么称*运算满足消去律，注:被消去的x不能是运算的零元0．2、代数系统的同态与同构设U=和V=是两个同一类型的代数系统再设从U到V存在着一个函数f∶X→Y对于任何元素x1,x2∈X如果有f(x1△x2)=f(x1)*f(x2)（运算的象等于象的运算，该性质可将运算性质进行保持）则称函数f∶X→Y是从代数系统U到V的同态有时也说函数f运载△到*如果f是从U到V的单射，称f是U到V单一同态如果f是从U到V的满同态（f是满射）则称U和V同态，记为U～V如果f是个一对一映满的映射(双射函数)，则称f是从U到V的同构记为U≌V3、子代数系统设V＝是代数系统B⊆S，如果B对fl，f2，…，fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称是V的子代数系统，简称子代数．要注意子代数中的幺元与其母代数的幺元（零元、可逆元）相同能够按定义判断两个代数系统同态与同构，判断子代数1：设集合A＝｛1，2，3，4｝函f={<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,1>}并定义f0为恒等函数f◦f=f2f2◦f=f3f3◦f=f4=f0取F＝｛f0,f1,f2,f3｝运算为复合运算（运算表如右）如何进行复合运算要熟悉2、设集合N4＝｛[0],[1],[2],［3]｝定义运算＋4［i］+4[j]=[(i+j)mod4]该运算是N4上的运算其运算表为3、集合S={1，2}的幂集上的对称差运算表⊕Ф{1}{2}{1,2}ФФ{1}{2}{1,2}{1}{1}Ф{1,2}{2}{2}{2}{1,2}Ф{1}{1,2}{1,2}{2}{1}Ф◦eabceeabcaaecbbbceaccbae4、设G＝｛a,b,c,e｝◦为G上的二元运算(3)半群中元素的幂对于半群V=o是可结合的，元素的幂:∀x∈S规定：x1=x,xn+1=xnoxn∈Z+xnoxm=xn+m(xn)m=xnm（4）独异点中的元素的幂:独异点V=∀x∈S规定：x0=e,xn+1=xnoxn∈N4、半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统(1)设V=是代数系统，o为二元运算，如果o是可结合的，则称V为半群(2)设V=是半群，若e∈S是关于o运算的单位元，则称V是幺半群，也叫做独异点．有时也将独异点V记作(S，o，e)。5、群1）定义：设V=是代数系统，◦为二元运算．如果◦运算是可结合的，存在单位元e∈S，并且对S中的任何元素a都有a-1∈S，（也称元素可逆的）则称V为群(记作G）要准确掌握群中的各个结论（条件及其结论）2）特殊的群(1)若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群．群G的基数称为群G的阶．(2)只含单位元的群称为平凡群．(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群．3）群中元素的幂(群中元素可以定义负整数次幂)设G是群，a∈G，n∈Z则元素a的n次幂:en=0规定：an=an-1an>0(a-1)mn<0n=-m4）元素幂的性质设G为群则G中的幂运算满足：(1)∀a∈G，(a-1)-1=a(2)∀a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1(3)∀a∈Ganam=an+mn,m∈Z(4)∀a∈G(an)m=anmn,m∈Z(5)若G为交换群，则(ab)n=anbn5）群满足消去律（也称为可约的）设G为群，∀a,b，c∈G1)若ab=ac则b=c2)若ba=ca则b=c6）元素的阶设G是群，a∈G，使得等式:ak=e成立的最小正整数是称为d的阶(a的周期），记作｜a｜=k这时也称a为k阶元若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元几个结论：1）设G为群，∀a,b∈G，k∈Z+2）(a-1ba)k=a-1ba的充分必要条件是bk=b3）设G为群，∀a,b∈G有（ab)2=a2b2证明:ab=ba4）幺元是群中唯一的等幂元5）设G为群，a∈G，且|a|=r设k是整数，则ak=e当且仅当r|k|a-1|=|a|6、子群1）子群的判定设G为群，H是G的非空子集．H是G的子群当且仅当下面的条件成立：1）∀a,b∈H有ab∈H（运算封闭)2)∀a∈H有a-1∈H(存在逆元)设G为群，H是G的非空子集．则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab-1∈H设G为群，H是G的非空子集．如果H是有穷集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H2）设G是群对于任意的a∈G令S={an|n∈Z}则S是G的子群由a的各次幂构成的子群称为由a生成的子群，记为3）群的陪集分解1、设H是群G的子群，a∈G令Ha={ha|h∈H}称Ha是子群H在G中的右陪集，称a为Ha的代表元素2、右陪集的性质设H是群G的子群，则（1）He=H(2)∀a∈G有a∈Ha设H是G群的子群则∀a,b∈G有a∈Hb⇔ab-1∈H⇔Ha=Hb拉格朗日定理设G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H|[G:H]该定理说明：1）有限群的任何子群的阶均为G的阶的因子子群的阶整除G的阶2）质数阶的群没有非平凡子群推论1：设G是n阶群a∈G|a|是n的因子，则有an=e该定理在理论上非常重要推论2：设G是素数阶的群，则存在a∈G使得G=7、循环群设G为群，若存在a∈G使得G={ak|k∈Z}则称G是循环群记作G=,称a为G的生成元注:由群G中元素a生成的子群是循环群。1）循环群G＝根据元素a的阶可分为：n阶循环群和无限阶循环群。整数加群是无限阶循环群有两个生成元该部分掌握的要点是：常规的证明方法及其结论3）素数阶的群中除幺元以外的所有元素均为生成元结论：设G＝为循环群1）若G是无限阶群，则G只有两个生成元a和a-12）若G是n阶循环群，则G含有ψ（n）个生成元对于任何小于等于n且与n互素的正整数r，ar是G的生成元设G是以a为生成元的循环群，则1、若G是无限群，则G与整数加群同构2、若G是有限群，则G与同构3、设G=是循环群，则G的子群仍是循环群．4、若G=是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群．5、若G=是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d阶子群．问题：一个无限阶群是否可以与其真子群同构结论：1、无限阶的循环群有且仅有二个生成元2、阶数为素数的循环群，除幺元外的一切元素为生成元3、循环群的子群一定是循环群
浙公网安备 33021202002483