湘教版七年级数学下册第二章整式的加减PPT课件全套

第二章整式的乘法2.1整式的乘法2.1.1同底数幂的乘法思考22×24=a2·am=；；（m是正整数）a2·a4=am·an=；.（m、n均为正整数）22×24=（2×2）×（2×2×2×2）=2×2×2×2×2×2=26.2个24个2（2+4）个2a2·a4=（a·a）·（a·a·a·a）=a·a·a·a·a·a=a6.2个a4个a（2+4）个aa2·am=（a·a）·（a·a·…·a·a）=a·a·…·a=a2+m.2个am个a（2+m）个a通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即am·an=（a·a·…·a）·（a·a·…·a）m个an个a底数不变，指数相加.=a·a·…·a（m+n）个am+n=a（m，n都是正整数）.am·an=am+n（m，n都是正整数）.所以，我们得到：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【例1】计算：（1）105×103；535+38解：（1）10×10=10=10；（2）x3·x4.（2）x3·x4=x3+4=x7.【例2】计算：（1）-a·a3；（2）yn·yn+1（n是正整数）.解：（1）-a·a3=-a1+3=-a4；（2）yn·yn+1=yn+n+1=y2n+1.讨论当三个或三个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示运算的结果呢？【例3】计算：（1）32×33×34；（2）y·y2·y4.解法一：（1）32×33×34=（32×33）×34=35×34=39；（2）y·y2·y4=（y·y2）·y4=y3·y4=y7.解法二：（1）32×33×34=32+3+4=39；（2）y·y2·y4=y1+2+4=y7.练习1.计算：（1）106×104；4（3）a·a；（2）x5·x3；44（4）y·y.108答案：（1）10；（2）x；58（3）a；（4）y.2.计算：（1）2×23×25；（3）-a5·a5；（2）x2·x3·x4；（4）am·a（m是正整数）；m+1m-1（5）x·x（其中m＞1，且m是正整数）.答案：（1）29；（2）x9；（3）-a10；（4）am+1.（5）x2m.我思我进步通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。第二章整式的乘法2.1整式的乘法2.1.2幂的乘方与积的乘方思考(22)3=(a2)m=；；（m是正整数）(a2)3=(am)n=；.（m、n均为正整数）(22)3=22·22·22=22+2+2=22×3=26.(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a2×3=a6.m个2(a2)m=a2·a2·…·a2=a2+2+…+2=a2×m=a2m.m个a2通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？同样，我们把上述运算过程推广底数不变，指数相乘.到一般情况，即(am)n=am·am·…·amn个am(am)n=amn（m，n都是正整数）.可以得到：幂的乘方，底数不变，n个m=am+m+…+m=amn（m，n都是正整数）.指数相乘.【例1】计算：（1）(105)2；525×210解：（1）(10)=10=10；（2）-(a3)4.（2）-(a3)4=-a3×4=-a7.【例2】计算：（1）(xm)4；m4m×44m解：（1）(x)=x=x；（2）(a4)3·a3.（2）(a4)3·a3=a4×3·a3=a15.练习1.填空：（1）(105)2=1010；35（3）-(x)=（2）(a3)3=232（4）(x)·x=a9x8；.-x15；2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(a4)3=a7；（2）(a3)2=a9.答案：（1）、（2）均不对；（1）(a4)3=a12；（2）(a3)2=a6.思考(3x)2=(ab)3=；；2)=9x.(4y)3=(ab)n=3(ab)=(ab；.)·(ab)·(ab)乘方的意义和结合律2(3x)=3x·3x=(3·3)·(x·x(4y)3=(4y)·(4y)·(4y)=(a·a·a)·(b·b·b)使用交换律=a3b3.=(4·4·4)·(y·y·y)=64y3.通过观察，你能推导出第四个式子吗？(ab)n=anbn（n是正整数）.(ab)n=(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab所以，我们得到：积的乘=(a·a·…·a)·(b·b·…·b)n个an个b方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的=anbn（n是正整数）.幂相乘.讨论(abc)n=？（n是正整数）【例3】计算：（1）(-2x)3；（3）(xy2)3；解：（1）(-2x)3=(-2)3·x3=-8x3；（2）(-4xy)2；1?23?（4）??xyz??2?4（2）(-4xy)2=(-4)2·x2·y2=16x2y2；（3）(xy2)3=x3·(y2)3=x3y6；44括号内每一个因式都要乘方.14812?123??1?42434（4）??xyz??????x??y???z??xyz16?2??2?【例4】计算：2(a2b2)3-3(a3b3)2223332解：2(ab)-3(ab)6666=2ab-3ab=-a6b6.练习1??1.计算：（1）?x?；?2?（3）(-2m2n)3；13答案：（1）x；（2）x4y4；8634812（3）-8mn；（4）81abc.3（2）(-xy)4；（4）(-3ab2c3)4.2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(ab3)2=ab6；（2）(2xy)3=6x3y3.答案：（1）、（2）均不正确；（1）(ab3)2=a3b6；（2）(2xy)3=8x3y3.3.计算：-(xyz)4+(2x2y2z2)2.答案：3x4y4z4.我思我进步通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。第二章整式的乘法2.1整式的乘法2.1.3单项式的乘法思考怎样计算4xy与-3xy2的乘积？4xy???3xy2?2??4??3x?xy?y???????????12xy23一般地，单项式与单项式相乘，把他们的系数、同底数幂分别相乘.【例1】计算：（1）(-2x3y2)·(3x2y)；（3）?2xn?1（2）(2a)3·(-3a2b)；?1n2?y????xy??n是正整数?.?4?解：（1）（-2x3y2）（3x2y）322=[（-2）·3]（x·x）（y·y）（2）(2a)3·(-3a2b)332=[2·（-3）]（a·a）b=-6x5y3.（3）?2xn?1=-24a5b.12n?13?1n2???1??n?1n2y????xy???2??????x?x??y?y???xy.2?4???4??【例2】天文学上计算星球之间的距离用“光年”做单位的，1光年就是光在1年内所走过的距离.光的速度约为3×108m/s，1年约3×107s.计算1光年约多少米.解：根据 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意，得3×108×3×107=（3×3）×（108×107）=9×1015（m）.15答：1光年约9×10m.练习1.计算：?12??1??2xy???xyz?;?4?2?2???2x2y??4xy.2213354?16xy.答案：（1）?xyz；（2）22.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）4x2·3x3=12x6；（2）-x2·（2x）2=4x4.答案：（1）、（2）均不对；（1）4x2·3x3=12x5；（2）-x2·（2x）2=-4x4.3.计算（其中n是正整数）：（1）（-2xn+1）·3xn?1n?2（2）??xy??4xy?2?答案：（1）-6x2n+1；（2）-2xn+1y3.我思我进步通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。第二章整式的乘法2.1整式的乘法2.1.4项式的乘法思考怎样计算单项式2x与多项式3x2-x-5的积？可以运用乘法对加法的分配律.2x·（3x2-x-5）2=2x·3x+2x·（-x）+2x·（-5）=6x3-2x2-10x.【例1】计算：1??（1）2x??4xy?x?1?；2??2212?2?（2）.b?4a??4ab?????2?1???122?解：（1）（2）2x??4xy?x?1??b?4a????4ab?2???2?1?122?222?2x?4xy?2x???x??2x?1?b???4ab??4a???4ab??2?2?8xy?x?2x.332??2ab?16ab.331222【例2】求?x??2xy?4y??4x???xy?的值，其中2x=3，y=-1.1222解：?x??2xy?4y??4x???xy?212?12?22???x??2xy?x???4y??4x???xy?2?2?=-x3y+2x2y2+4x3y322=3xy+2xy.当x=2，y=-1时，原式=3×23×（-1）+2×22×（-1）2=-24+8=-16.练习1.计算：2（1）-2x·(x-5y)；2（2）(3x-x+1)·4x；（3）（2x+1）·（-6x）；（4）3a·（5a-3b）.答案：（1）-2x3+10x2y；（2）12x3-4x2+4x；（3）-12x2-6x；（4）15a2-9ab.?11???222.先化简，再求值：?2xy?3xy?x?4y?x??；其中2?2???1y?.x=-2，2答案：1.思考有一套居室的平面图如图所示，怎样用代数表示它的总面积呢？N南北向总长为a+b，东西向总长为m+n，所以居室的总面积为：(a+b)·(m+n).①abmn北边两间房的面积和为a（m+n），南边两间房的面积和为b（m+n），所以居室的总面积为：a(m+n)+b(m+n).②四间房的面积分别为am，an，bm，bn所以居室的总面积为：am+an+bm+bn.③上面的三个代数式都正确表示了该居室的总面积，因此有：(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn.撇开上述式子的实际意义，想一想，这几个代数式为什么相等呢？它们利用了乘法运算的什么性质？事实上，由代数式①到代数式②，是把m+n看成一个整体，利用乘法分配律得到a(m+n)+b(m+n)，继续利用乘法分配律，就得到结果am+an+bm+bn.这个运算过程可表示为：ⅠⅡⅢ(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.Ⅳ一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【例3】计算：（1）(2x+y)(x-3y)；（2）(2x+1)(3x2-x-5)；（3）(x+a)(x+b).解：（1）(2x+y)(x-3y)=2x·x+2x·（-3y）+y·x+y·（-3y）=2x2-6xy+yx-3y2=2x2-5xy-3y2.（2）(2x+1)(3x2-x-5)=6x3-2x2-10x+3x2-x-5=6x3+x2-11x-5.（3）(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab.x第（3）小题的直观意义axx2babbxax如右图所示.【例4】计算：（1）(a+b)(a-b)；（2）(a+b)2；（3）(a-b)2.解：（1）(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2.（2）(a+b)2=(a+b)(a-b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.（3）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2.练习1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(3a-b)(2a+b)=3a·2a+(-b)·b=6a2-b2.（2）(x+3)(1-x)=x·1+x·x+3-3·x=x2-2x+3.答案：（1）、（2）均不对；（1）(3a-b)(2a+b)=6a2+3ab-2ab-b2=6a2+ab-b2；2（2）(x+3)(1-x)=x·1-x·x+3-3·x=-x-2x+3.2.计算：（1）(x-2)(x+3)；（3）(x+4)(x-5)；答案：（1）x2+x-6；（2）x2+6x-5；（3）x2-x-20；（4）x2-6x+9.（2）(x+1)(x+5);（4）(x-3)2.3.计算：（1）(x+2y)2；（2）(2a+b)(3a-2b)；（2）(m-2n)(2m+n)；（4）(3a-2b)2.答案：（1）x2+4xy+4y2；（2）2m2-3mn-2n2；22（3）6a-ab-2b；22（4）9a-12ab+4b.我思我进步通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。第二章整式的乘法2.2乘法公式2.2.1平方差公式思考计算下列各式，你能发现什么规律：(a+1)(a-1)=a2-a+a-12=22(a+2)(a-2)=a-2a+2a-2=a2-12，a2-22a2-32a2-42，我们用多项式乘法来推导一般，情况：.(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.(a+3)(a-3)=a2-3a+3a-32=(a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42=我们把(a+b)(a-b)=a2-b2.叫做平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.讨论如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2）所示的长方形，你能用这两个图解释平方差公式吗？aaa-bbb（1）（2）图（2）中的面积为：(a+b)(a-b)，图（1）中的剩余部分的面积为a2-b2.由题可知，图（2）的面积为图（1）剩余部分的面积，所以(a+b)(a-b)=a2-b2.对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.【例1】运用平方差公式计算：（1）(2x+1)(2x-1)；解：（1）(2x+1)(2x-1)=(2x22)-1（2）(x+2y)(x-2y)（2）(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y2.=4x2-1.【例2】运用平方差公式计算：1??1??（1）；?2x?y?2x?y????2??2??1??1??解：（1）??2x?y???2x?y?2??2??（2）(4a+b)(-b+4a).（2）(4a+b)(-b+4a)=(4a+b)(4a-b)?1????2x???y??2?122?4x?y.422=(4a)2-b2=16a2-b2.将括号内的式子转化为平方差公式形式.【例3】计算：1002×998.解：1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002-22运用平方差公式可以简化一些运算.=999996.练习1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(x-2)(x+2)=x2-2；（2）(-2x-1)(2x-1)=4x2-1.答案：（1）、（2）均不对；（1）(x-2)(x+2)=x2-4；（2）(-2x-1)(2x-1)=1-4x2.2.运用平方差公式计算：（1）(m+2n)(m-2n)；（3）(0.5x-y)(0.5x+y)；答案：（1）m2-4n2；（2）9a2-b2；（3）0.25x2-y2；（4）1-25a2.（2）(3a+b)(3a-b)；（4）(-1+5a)(-1-5a).3.计算：（1）202×198；（2）49.8×50.2.答案：（1）39996；（2）2499.96.我思我进步通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。第二章整式的乘法2.2乘法公式2.2.2完全平方公式思考计算下列各式，你能发现什么规律：(a+1)2=(a+1)(a+1)=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12，22222(a+2)=(a+2)(a+2)=a+2a+2a+2=a+2·a·2+2，(a+3)2=(a+3)(a+3)=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32，(a+4)2=(a+4)(a+4)=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42.我们用多项式乘法来推导一般情况：(a+b)2=(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.讨论(a-b)2=?把(a+b)2=a2+2ab+b2中的“b”换做“-b”，试试看.(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.我们把(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.都叫做完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.讨论把一个边长为a+b的正方形按如图分割成4块，你能用这个图来解释完全平方公式吗？由图可知，大正方形的面积为：(a+b)2；分割成的四块的面积和为：a2+ab+ab+b2，即22a+2ab+b.aba2ab2abbba由题可知，大正方形的面积与四个小正方形的面积相等，所以有(a+b)2=a2+2ab+b2.【例1】运用完全平方公式计算：（1）(3m+n)2；1??（2）?x??.2??1??（2）?x???2?222解：（1）(3m+n)2=(3m22)+2·3m·n+n=9m2+6mn+n2.1?1??x?2?x????2?2?12?x?x?.42练习1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(x+2)2=x2+4；（2）(-a-b)2=a2-2ab+b2.答案：（1）、（2）均不对；（1）(x+2)2=x2+4x+4；（2）(-a-b)2=a2+2ab+b2.2.运用完全平方公式计算：（1）(x+4)2；（2）(2a-3)2；21?（3）5m??.??2??12225m?5m?.答案：（1）x+8x+16；（2）4a-12a+9；（3）42讨论(a-b)2与(b-a)2，(a+b)2与(-a-b)2相等吗？为什么？相等.因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2，所以(a-b)2=(b-a)2；又因为(-a-b)2=[-(a+b)]2=(a+b)2，所以(a+b)2=(-a-b)2.也可用完全平方公式将它们分别展开，也可得到相等.【例2】运用完全平方公式计算：（1）(-x+1)2；解：（1）(-x+1)2（2）(-2x-3)2.（2）(-2x-3)2.=(-x)2+2(-x)·1+12=x2-2x+1.=[-(2x+3)]2.=(2x+3)2.=4x2+12x+9.【例3】计算：（1）(a+b)2-(a-b)2；解：（1）(a+b)2-(a-b)2（2）(a+b+1)2.（2）(a+b+1)2=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)=4ab.=(a+b)2+2(a+b)+1=a2+2ab+b2+2a+2b+1.【例4】计算：（1）1042；（2）1982.（2）1982=(200-2)2解：（1）1042=(100+4)2=1002+2×100×4+42=10000+800+16=2002-2×200×2+22=40000-800+16=10816.=39204.练习1.运用完全平方公式计算：（1）(-2a+3)2；（3）(-x2-4y)2；（2）(-3x+0.5)2；（4）(1-2b)2.答案：（1）4a2-12a+9；（2）9x2-3b+0.25；（3）x4+8x2y+16y2；（4）1-4b+4b2.2.计算：（1）(x+2y)2-(x-2y)2；（2）(a-b+1)2.答案：（1）8xy；（2）a2-2ab+b2+2a-2b+1.3.计算：（1）1032；（2）2972.答案：（1）10609；（2）88209.我思我进步通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。第二章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算思考（1）(x+1)(x2+1)(x-1)=？（2）(x+y+1)(x+y-1)=?对于问题（1），如果直接按从左至右的运算顺序进行计算，计算过程很繁琐而且容易出错.通过观察，发现(x+1)与(x-1)可以凑成平方差公式，然后再与(x2+1)相乘可以化简运算.(x+1)(x2+1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x2+1)（交换律）=(x2-1)(x2+1)=x4-1.对于问题（2），通过观察，发现可以把x+y看作一个整体，这样就可以用平方差公式来计算.(x+y+1)(x+y-1)=[(x+y)+1][(x+y)-1]=(x+y)2-1=x2+2xy+y2-1.遇到多项式的乘法时，我们要首先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的.【例1】运用乘法公式计算：（1）[(a+3)(a-3)]2；2解：（1）[(a+3)(a-3)]22=(a-9)（2）(a-b+c)(a+b-c).（2）(a-b+c)(a+b-c)=[a-(b-c)][a+(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)222=a-b+2bc-c.=(a2)2-2a2·9+92=a4-18a2+81.【例2】一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还多1m，它的面积就增加到原来的4倍还多21m2，求这个正方形花圃原来的边长.解：设正方形花圃原来的边长为xm.由数量关系，得化简，得即解得(2x+1)2=4x2+21，4x2+4x+1=4x2+21，4x=20，x=5.答：这个正方形花圃原来的边长为5m.练习1.运用乘法公式计算：（1）(x-2)(x+2)(x2+4)；（3）(2m+n-1)(2m-n+1)；（2）(a+2b-1)(a+2b+1)；（4）(x+1)2(x-1)2.答案：（1）x4-16；（2）a2+4ab+4b2-1；（3）4m2-n2+2n-1；（4）x4-2x2+1.2.计算：(a-b-c)2.答案：a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc.3.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加16cm2，求这个正方形原来的边长.答案：5cm.我思我进步通过本节课，你有什么收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。