考点22 等差数列与等比数列-2018版典型高考数学试题解读与变式（解析版）

典型高考数学试题解读与变式2018版考点22等差数列、等比数列【考纲要求】1．掌握等差数列、等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．2．掌握等差数列、等比数列的判断方法，求和的方法．【命题规律】等差数列、等比数列的性质与运用是高考必考的，一般是在选择题或填空题、解答题中考查.【典型高考试题变式】（一）基本量的计算例1.【2015新课标1】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.【变式1】【改变结论】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则.【答案】【解析】因为公差，，所以，解得=，所以.【变式2】【改变结论】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则.【答案】50【解析】因为公差，，所以，解得=，所以.（二）求项数例2.【2015新课标1】数列中为的前n项和，若，则.学-科网【答案】6[来源:Zxxk.Com]【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.【变式1】【改变条件】设为等差数列的前项和，若，公差，，则(　　)A．8B．7C．6D．5【答案】D【解析】，解得.【变式2】【改变条件】数列中，，若，则.【答案】10【解析】因为，所以数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以，因为，所以，所以，解得.（三）数列中的最值问题例3.【2016新课标卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则的最大值为．【答案】【解析】设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.【变式1】【改变条件】设递减等比数列满足,,则的最大值为．【答案】【解析】依题意，把、看作方程的二根，解得，，因为为递减等比数列，所以，，设等比数列的公比为，所以，易得，即，所以,于是当或时,取得最大值.【变式2】【改变结论】设递减等比数列满足,,则的最大值为．【答案】2（四）等差数列、等比数列的判断例4.【2017新课标1】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6．[来源:学科网ZXXK]（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．【变式1】【2014新课标Ⅰ】已知数列的前项和为，，，，其中为常数，学-科网（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.【解析】（1）由题设，，．两式相减得，．由于，所以．（2）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，．所以，．因此存在，使得为等差数列．【变式2】已知等比数列是递增数列，EMBEDEquation.3，数列满足，且（），证明：数列是等差数列.【数学思想】①分类讨论思想:对分奇数、偶数进行讨论．②转化与化归思想.【温馨提示】①要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．②注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．③由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．④由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.⑤在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．【典例试题演练】1.已知为等差数列，为其前项和，若，，则（）A.4B.6C.15D.24【答案】B[来源:学,科,网Z,X,X,K]【解析】因为是等差数列，所以，，，，所以，故选B．2．【2018届河南省许平汝联考】在等差数列中，，则的前13项和为（）A.91B.156C.182D.246【答案】C3．已知等差数列的公差为2，且，则（）A.12B.13C.14D.15【答案】C【解析】由等差数列的通项公式可知，结合题意可得，解得.故选C.4.【2018届辽宁省鞍山市第一中学模拟】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则（）A.8B.C.1D.【答案】D【解析】因为成等比数列，所以，即，解得，故选D.5.【2018届辽宁省凌源二中联考】已知数列为等比数列，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即.故选B.6.【百校联盟2018届高三开学摸底联考】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（）A.4B.5C.6D.7【答案】C[来源:Z&xx&k.Com]7.【百校联盟2018届高三开学摸底联考】等差数列的公差，且，若是与的等比中项，则（）A.5B.6C.9D.11【答案】C【解析】等差数列的公差，由得,可得，则，若是与的等比中项，则有，即为，由不为，可得，解得舍去），故选C.8.【河南省郑州一中2017-2018测试】设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D9．已知各项不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则为()A.4B.8C.16D.64【答案】C【解析】因为，所以，又因为，，.故选C.10.【2018届浙江省温州市测试】已知数列是公差不为0的等差数列，，数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为是公差不为0的等差数列，所以是以公比不为1的等比数列，由等比数列的性质，可得，，成等比数列，所以可得，故选D.11．【2017广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考】已知等差数列满足：，求__________．【答案】21【解析】等差数列中，=2,则.12．【2018届江西省赣州市红色七校联考】已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则等于__________．[来源:学科网ZXXK]【答案】3【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，因为，，构成等比数列，所以，所以，解得，所以EMBEDEquation.KSEE3.13.【2018届湖南省益阳市、湘潭市调研】已知等比数列中，，则的值为__________．【答案】25【解析】设等比数列的公比为，则.所以..学-科网14.【2018届江苏省南京市调研】记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为__________．【答案】6【解析】因为是等差数列，所以，可得.15.【2018届河南省漯河市高级中学模拟】已知等比数列的前项和为，且，．（1）求；（2）若，数列的前项和为，证明:数列是等差数列．_1234568017.unknown_1234568081.unknown_1234568113.unknown_1234568145.unknown_1234568161.unknown_1234568169.unknown_1234568177.unknown_1234568181.unknown_1234568185.unknown_1234568187.unknown_1234568189.unknown_1234568191.unknown_1234568192.unknown_1234568190.unknown_1234568188.unknown_1234568186.unknown_1234568183.unknown_1234568184.unknown_1234568182.unknown_1234568179.unknown_1234568180.unknown_1234568178.unknown_1234568173.unknown_1234568175.unknown_1234568176.unknown_1234568174.unknown_1234568171.unknown_1234568172.unknown_1234568170.unknown_1234568165.unknown_1234568167.unknown_1234568168.unknown_1234568166.unknown_1234568163.unknown_1234568164.unknown_1234568162.unknown_1234568153.unknown_1234568157.unknown_1234568159.unknown_1234568160.unknown_1234568158.unknown_1234568155.unknown_1234568156.unknown_1234568154.unknown_1234568149.unknown_1234568151.unknown_1234568152.unknown_1234568150.unknown_1234568147.unknown_1234568148.unknown_1234568146.unknown_1234568129.unknown_1234568137.unknown_1234568141.unknown_1234568143.unknown_1234568144.unknown_1234568142.unknown_1234568139.unknown_1234568140.unknown_1234568138.unknown_1234568133.unknown_1234568135.unknown_1234568136.unknown_1234568134.unknown_1234568131.unknown_1234568132.unknown_1234568130.unknown_1234568121.unknown_1234568125.unknown_1234568127.unknown_1234568128.unknown_1234568126.unknown_1234568123.unknown_1234568124.unknown_1234568122.unknown_1234568117.unknown_1234568119.unknown_1234568120.unknown_1234568118.unknown_1234568115.unknown_1234568116.unknown_1234568114.unknown_1234568097.unknown_1234568105.unknown_1234568109.unknown_1234568111.unknown_1234568112.unknown_1234568110.unknown_1234568107.unknown_1234568108.unknown_1234568106.unknown_1234568101.unknown_1234568103.unknown_1234568104.unknown_1234568102.unknown_1234568099.unknown_1234568100.unknown_1234568098.unknown_1234568089.unknown_1234568093.unknown_1234568095.unknown_1234568096.unknown_1234568094.unknown_1234568091.unknown_1234568092.unknown_1234568090.unknown_1234568085.unknown_1234568087.unknown_1234568088.unknown_1234568086.unknown_1234568083.unknown_1234568084.unknown_1234568082.unknown_1234568049.unknown_1234568065.unknown_1234568073.unknown_1234568077.unknown_1234568079.unknown_1234568080.unknown_1234568078.unknown_1234568075.unknown_1234568076.unknown_1234568074.unknown_1234568069.unknown_1234568071.unknown_1234568072.unknown_1234568070.unknown_1234568067.unknown_1234568068.unknown_1234568066.unknown_1234568057.unknown_1234568061.unknown_1234568063.unknown_1234568064.unknown_1234568062.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568058.unknown_1234568053.unknown_1234568055.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568050.unknown_1234568033.unknown_1234568041.unknown_1234568045.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568046.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568042.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568035.unknown_1234568036.unknown_1234568034.unknown_1234568025.unknown_1234568029.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568030.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568026.unknown_1234568021.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568022.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568018.unknown_1234567953.unknown_1234567985.unknown_1234568001.unknown_1234568009.unknown_1234568013.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568014.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568010.unknown_1234568005.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568006.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568002.unknown_1234567993.unknown_1234567997.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234567998.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567994.unknown_1234567989.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567990.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567986.unknown_1234567969.unknown_1234567977.unknown_1234567981.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567982.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567978.unknown_1234567973.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567974.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567970.unknown_1234567961.unknown_1234567965.unknown_1234567967.unknown_1234567968.unknown_1234567966.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_1234567962.unknown_1234567957.unknown_1234567959.unknown_1234567960.unknown_1234567958.unknown_1234567955.unknown_1234567956.unknown_1234567954.unknown_1234567921.unknown_1234567937.unknown_1234567945.unknown_1234567949.unknown_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567950.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567930.unknown_1234567925.unknown_1234567927.unknown_1234567928.unknown_1234567926.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567922.unknown_1234567905.unknown_1234567913.unknown_1234567917.unknown_1234567919.unknown_1234567920.unknown_1234567918.unknown_1234567915.unknown_1234567916.unknown_1234567914.unknown_1234567909.unknown_1234567911.unknown_1234567912.unknown_1234567910.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567906.unknown_1234567897.unknown_1234567901.unknown_1234567903.unknown_1234567904.unknown_1234567902.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567898.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567894.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown