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调几算方不等式CompanyDocumentnumber：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998调几算方不等式均值不等式均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。中文名均值不等式外文名meaninequality表达式Hn≤Gn≤An≤Qn应用学科数学适用领域范围不等式定义被称为均值不等式。·即不超过，几何平均数不超过，算术平均数不超过，简记为“调几算方”。其中：，被...

CompanyDocumentnumber：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998调几算方不等式均值不等式均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。中文名均值不等式外文名meaninequality 表达式Hn≤Gn≤An≤Qn应用学科数学适用领域范围不等式定义被称为均值不等式。·即不超过，几何平均数不超过，算术平均数不超过，简记为“调几算方”。其中：，被称为。，被称为。，被称为。，被称为。证明关于均值不等式的证明方法有很多，（第一数学归纳法或反向归纳法）、、法、法、法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。原题等价于：,当且仅当时取等号。当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即,当且仅当时取等号。那么当n=k+1时，不妨设是、......中最大者，则设，，根据引理，当且仅当且时，即时取等号。利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。推广一般形式设函数()；。是上的连续单调递增函数。时，。可以注意到，min{an}≤Hn≤Gn≤An≤Qn≤max{an}仅是上述不等式的特殊情形。特例⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）⑵对非负a,b，有，即⑶对非负实数a,b，有⑷对非负实数a,b，a≥b,有⑸对非负实数a,b，有⑹对实数a,b，有⑺对实数a,b,c，有⑻对非负数a,b，有⑼对非负数a,b,c，有在几个特例中，最着名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：当n=2时，上式即：当且仅当时，等号成立。根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。

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