重难点38平行四边形综合题第186天对称转化便逢春1.如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且，连接并延长交于点.过点作的垂线，垂足为，交于点.（1）若，求的面积；（2）若，求证：.1.（1）解：∵，∴，又∵在中，，∴；（2）证明：小鹿给个思路，作辅助线，证明全等，然后求值，辅助线小鹿都帮你们作好了，剩下的，就由鹿宝们完成.过点作于点，过点作于点与交于点，连接，作图就交给你了.∵，∴.∵，∴.又∵，∴.∵，设交于点，∴.设，则，∵，∴.∴，∴.∵，∴，∴.在等腰中，，∴，∴.∵是的中点，∴.∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴.第187天构造特殊三角形2.如图①，在等腰中，，点在上(且不与点重合)，在的外部作等腰，使，连接，分别以为邻边作平行四边形，连接.（1）请判断线段的数量关系，并说明理由；（2）如图②，将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，连接，请判断线段的数量关系，并证明你的结论.2.解：（1）.理由：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴.∵，∴.∵，∴是等腰直角三角形，∴；（2）.理由：小鹿在这里保证，不难不难，完全在小宝贝的能力范围内.连接，记与的交点为.动动手吧.∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴.怎么样呢，小鹿是不会诓小可爱们的.第188天隐藏三角有惊喜3.如图，在平行四边形中，于点，将平行四边形沿所在直线折叠，使点落在点的位置，点落在点的位置.(1)求证:;(2)若，求的度数;(3)在（2）的条件下，连接，探究线段与的数量关系，并说明理由.3.(1)证明:全等条件，哪个好用，我们就用哪个.设交于点，∵四边形是平行四边形，，，，由折叠的性质可知，，，，垂直平分，∴，.又∴分别是和的中位线，点分别平分线段，.所以，∵∴（2）解解:理由如下:连接.由折叠的性质可知，，，四边形是平行四边形，.，由得，，在中，，第189天动点最值情意浓4.如图①，在平行四边形中，，，，平分交于点，点从点出发，沿方向以的速度运动，连接，将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，连接.（1）求证：是等边三角形；（2）如图②，当点在线段上运动时，的周长是否存在最小值?若存在，求出周长的最小值;若不存在，请说明理由;(3)如图③，当点在射线上运动时，是否存在以点，，为顶点的直角三角形?若存在，求出此时的值;若不存在，请说明理由.4.(1)证明:从角出发证明等边三角形会更简单哟.由旋转的性质得，，，∴为等边三角形；（2）解：存在，理由如下：平分，∴.在平行四边形中，，为等边三角形，.由旋转的性质得，∴，，∴为等边三角形，.，∴时，周长最小，当时，，，周长最小为;(3)解:存在.①当点与点重合时，点，，不能构成三角形；②时，易得为等边三角形，∵,又，∴，可能为直角.当时，为等边三角形，，∵，，③当时，;④当时，，,可能为当时，，，综上所述，为或时，以点，，为顶点的三角形是直角三角形.第190天坐标遇见四边形5.如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在轴的负半轴，且.（1）求直线的解析式；（2）如图②，已知点在直线上，其横坐标为，点，分别是直线和轴上的动点，当的值最小时，求此时点，(2)的结论下，点，分别是直线，上的动点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点，的坐标.5.解：（1）直线交轴于点，交轴于点，令，则，∴点，令，则点，点在轴的负半轴且，点，点，设直线的解析式为，代入点，，直线的解析式为;(2)由知，点，，是直角三角形，.点，点关于直线的对称点，点在直线上，其横坐标为，∴点，∴点关于轴的对称点，如解图，连接交直线于点，交轴于点，此时，的值最小，直线的解析式为①，令点.直线的解析式为③，联立①②解得，，，所以点；(3)由知，直线，设点，直线，设点，由知，点，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，①当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得:，，，，∴点，.②当为对角线时，同理得,,③当为对角线时，同理得，,∴点即:以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点或，或综合强化练381.如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动.动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点，同时停止运动.设运动时间为过点作于点，连接交边于点，以，为边作平行四边形.（1）为何值时，为直角三角形；（2）求的长；（3）取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得，连接，当为何值时，的值最小?并求出最小值.解：（1）∵是等边三角形，∴，∴当时，，∴，解得，即时，是直角三角形；（2）如解图①，过点作交于点，是等边三角形，，，，是等边三角形，.，，，；（3）如解图②，连接，，的最小值为，此时平分，则点到，的距离相等，，又，解得，即当时，的值最小，最小值为.
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