巧用平面几何知识找中点证明线面平行 苏保明证明线面平行是高考命题的重要内容之一，也是常考不衰的重要题型，深受命题专家的青睐，其原因是此类题错综复杂，能很好地考查考生的思维水平.本文根据初高中几何连接点的内在联系，从以下四个方面找线段的中点，进而顺利证明线面平行.方法一：利用“对角线互相平分”找中点例1如图l，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2.（Ⅰ）证明：A1C∥平面AB1D.（Ⅱ）（略）（Ⅰ）证明：如图2，连接A1B，交AB1于点O，连接OD.由于ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以四边形A1B1BA是矩形.故A1O=OB（此结论用到了初中数学知识，即“矩形对角线互相平分”）.由于BD=DC，所以OD是△A1BC的中位线，可知OD//A1C.又OD平面AB1D，A1C平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.小结由于涉及矩形A1B1BA的对角线AB1，联想到矩形A1B1BA的另一条对角线A1B，所以连接A1B，这样就可构造三角形的中位线，找到线线平行，从而顺利地证明线面平行.值得注意的是，凡是涉及平行四边形、矩形、菱形、正方形的一条对角线，往往需要连接另一条对角线，这样可根据对角线互相平分找到边的中点.方法二：利用“等腰三角形三线合一”找中点例2如图3，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，点M在边BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（Ⅰ）证明：直线A1B∥平面AMC1.（Ⅱ）（略）（Ⅰ）证明：如图4，连接A1C，交AC1于点N，连接MN.由于ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，四边形A1C1CA是矩形.又AM平面ABC，所以CC1⊥AM.由于AM⊥MC1，CC1MC1=C1，CC1平面BB1C1C，MC1平面BB1C1C，所以AM⊥平面BB1C1C.又BC平面BB1C1C，所以AM⊥BC.在△ABC中，由AB=AC，AM⊥BC，可知BM=MC（此结论用到了初中数学知识，即“等腰三角形三线合一”）.由于点N是矩形A1C1CA的两条对角线的交点，所以A1N=NC，则MN是△A1BC的中位线，MN∥A1B.又MN平面AMC1，A1B平面AMC1，所以A1B∥平面AMC1.小结题目涉及对角线AC1，就需要想到另一条对角线，所以连接另一条对角线A1C，得到中点N.另外又涉及点M，所以可想到“如果M是BC的中点，那么MN就是△A1BC的中位线”.这样一来，问题就迎刃而解了.其实也是如此，由AB=AC，AM⊥BC，可得M是BC的中点，这就用到了初中平面几何的知识“等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合”.由此可见，熟练掌握初中数学知识，对解高中数学题很有帮助.方法三：利用平行线分线段成比例定理找中点例3如图5，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，PD⊥CD，AB∥CD，AB=BC=AD=PD=1，CD=2，且点E，F，G分别是BC，AD，PB的中点.（Ⅰ）證明：PD∥平面EFG.（Ⅱ）（略）（Ⅰ）证明：如图6，连接BD，交EF于点H，连接GH.由于AB∥CD，AB≠CD，所以四边形ABCD是梯形.又E，F分别是BC，AD的中点，所以AB∥EF∥CD.由AF=FD，可知BH=HD（此结论用到了初中数学知识中的平行线分线段成比例定理）.由PG=GB，可知GH∥PD.由于PD平面EFG，GH平面EFG，所以PD∥平面EFG.小结此题的证明用到了初中平面几何的平行线分线段成比例定理.由此找出三角形的一边的中点H，构造出三角形的中位线，进而较为轻松地证明了线面平行.方法四：利用平行线分线段成比例定理的推论找中点例4如图7，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=1/2AD=1，CD=，M是棱PC的中点.（Ⅰ）证明：PA∥平面MQB.（Ⅱ）（略）（Ⅰ）证明：如图8，连接AC，交BQ于N，连接MN.由于AQ=QD=1/2AD，BC=1/2AD，所以BC=QD.又BC∥QD，所以四边形BCDQ是平行四边形，BQ∥CD.在△ACD中，AQ=QD，NQ∥CD，所以AN=NC[此结论用到了初中数学知识中的平行线分线段成比例定理的推论，即“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”].由于PM=MC，所以MN是△ACP的中位线，则MN∥PA.又MN平面MQB，PA平面MQB，所以PA∥平面MQB.小结此题证明的关键点AN=NC，就是用到了初中平面几何的平行线分线段成比例定理的推论.由此找出三角形一边的中点Ⅳ，从而一目了然地找到了三角形的中位线，使证明过程明朗化，初中平面几何的相关知识是解决高中立体几何问题的关键点.因此，考生务必熟练掌握，在解题中熟练运用，不断提高自己的思维水平和解题能力. -全文完-
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