2009年第 12期 数学教学 12-35
从一个问题开始，以一个问题结束
737100甘肃省金昌市第一中学 董安林
《数学教学》2009年第6期数学问题与解答
第768题：已知a、b、c是满足a2+6。+c。=1的
正数，求证： 十 + ≥兰( 一
1)．
笔者证明如下：因为3(a 十b2+C )≥(a+
b+c) 且a +b2+52=1(a、b、c∈R+)，
所以a+b+c≤ ．
( + + )．【( +
b)+(b +c)+(c +n)】=
_[ )2+ )2+ 2]
= 9．
+ 1
·
2
所以 +
( 1)2+ ≥
(罔 2+(闻 ]．【(一
· 一
= 9(柯西不等式)．
所以 + +
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．! ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一
(a0+b)+(b2+c)+(c +a)
= ≥ =兰(451 a b C 1 -1)， =一 — ———————：=一 一l，． +(++) ／+ 2 ’
当且仅当0=b=c= 时等号成立．
问题到此证毕．
但是很明显，这是一个很有趣的问题，我们
有必要再做进一步的探究．
那么从哪里开始呢?对了，我们可以尝试着
加一个小参数试试!
已知a、b、c是满足a2+b2+C2=1的正数，
>0，考虑：—a2+
LAb+ 十南 ?
我们用同样的方法，有
(n2+1入6+ 1+ _=} )．【(。2+入6)
+(62+Ac)+(c2+Aa)】
(a2+ 6)+(6 +Ac)+(c +Aa)
9
l+A(a+b+c)
≥ ：，Q 俪 一1)，3A2" 丽 ==：’ -1(、／ ^ 一 J'
即丽 1 + 1 十
≥ (俪 一1)·⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 一(1)
看来加一个小参数可以得到一个更为一般
的结论．
那么，我们能不能作进一步的探究呢?
问题中前一个字母的指数为2，后一个为1，
前者比后者大一点．我们可不可以在这方面做
做文章呢?也就是在指数上下下功夫．
已知a、b、c是满足a +b“+C．n= 1的正
数， > 0，n> m ≥ 1且几、m ∈Z，考虑：
1 an+ Abm + + ≥?
依然用前面的方法，
( + + )
·【(n珏+Abm)+(bn+Ac )+(c +Aam)】
[( 2+( Acm) +
(Icn lAam) ]
2一筘 数学数学 2009年第12期
≥( · +
·
+ 1
‘州
= 9．
所以 + 1 十 1
可 丽
= l(a—m 两 ．⋯ ⋯ ⋯ ⋯ -·(2) =～ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯’I l 1+ +6 +cm) 、
又因为a +b +C =(am) +(bm) +
(c ) ，
令t厂( )= ，(0< <1，他>m≥1且
礼、m∈z)，则f(x)为下凸函数，
所以
≥
即
≤
(Tam+bm+c"~
(Tam+bm+cm
a -4-b“-4-an
一
3
)
n
)丽
，
所以。m+6m+cm≤3．( )百=31一罟．
因此(2)式可化为
an Abm + 一A
cm
+ A
am + 6 + 。cn+
≥再 ≥ ．⋯(3)
J．． — L ．一 ．
9
一
n + Ab 。b2-4-Ac C2-4-Aa 1+ 一
(、／／3入一1)，即为(1)式．
如此我们得到了一个更为一般的结论：
定理 如果a、b、c是满足a“+b“+Cn=
1的正数， >0，Tt>m≥1且n、Tn∈Z，那么
． — 一 I一
1
一 I
1
一 一
an+Abm 。6“+Acm 。an十Aam ，／ 1+入．3 一鲁 ‘
问题到此似乎可以说已经解决得令人较为
满意了，但是我记着张景中院士曾经说过：“问题
解决前要进一步想，问题解决后则要退一步想．”
那么怎么退呢?我们把限制条件退一下，改
成1次的．
已知a、b、c是满足a+b+c：1的正数．
考虑：南 + +赤 ≥?
我们有理由猜测当a=b=c= 1时，就是
最小值．如此我们得到问题：
已知a、b、c是满足a+b+c=1的正数，求
、 一 1 ． 1 1 、 27 让
： + + ’
我们的探究是从 《数学教学》2009年第6期
的数学问题与解答第768题开始的，那么我们还
是以上面的问题作为结束吧!希望有兴趣的读
者能从这里开始，作出更漂亮的结果．
参考文献
[1]张景中．新概念几何(最新版)[M】'北京：
中国少年儿童出版社，2002．
【2】宋庆．数学问题与解答 【J]．数学教学，
特别地，当n=2，'tTt=1时，上式为 2009(6)：48
(上接第12—34页)
地面移动的速度也是口吗?为什么?
P P
图 12 图 13
【答案及提示】由题意设小明由 点走到
点，A C 代
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
其影长(如图13)，连结BB ，并延
长B B交PO于点H．根据原题的另解2的方法
可得 AA '= BB '= PH =
，设小明行
走的时间为t，影子顶端C移动的速度为 ，则
参 = vt= V，于是 = ，．·． ：
u> ，从而小明的影子顶端C在地面移
动的速度不是 ，这也告诉我们灯光下人的运动
速度和影子的速度不一样．
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