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[人教版] 9.3-9.4 双曲线及其性质 一．考纲
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： 掌握双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单性质；感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 二． 要点精讲 1．双曲线的定义 平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值等于常数2a，即 (*) (0<2a<｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c
表
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示. 注意：①（*）式中是差的绝对值，在 条件下； 时为双曲线的一支（含 的一支）； 时为双曲线的另一支（含 的一支）； ②当 时， 表示两条射线； ③当 时， 不表示任何图形；④两定点 叫做双曲线的焦点， 叫做焦距。 2.双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上: ,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0), . (2)焦点在y轴上: ,焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c), . 统一形式: （ ）.当 时表示焦点在 轴上的双曲线；当 时表示焦点在 轴上的双曲线。(由方程确定焦点位置:看正负) 3.双曲线的性质:以标准方程 为例. ①范围：双曲线在两条直线 的外侧,由 ， ,即x≥a,x≤-a. ②对称性：关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。双曲线和 轴有两个交点 ，他们是双曲线 的顶点。 令 ，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 叫做双曲线的半实轴长。 虚轴：令B1(0,b),B2(0,b),则线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 叫做双曲线的半虚轴长。 ④渐近线：y= x.从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 注:若焦点在y轴上,则渐近方程为：y= x. ⑤离心率:e= ,e>1. ⑥等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 2）性质: ;渐近线方程为： ；两条渐近线互相垂直;离心率e= . 注意以上几个性质与定义式彼此等价。 3）注意到等轴双曲线的特征 ，则等轴双曲线可以设为： ，当 时焦点在 轴，当 时焦点在 轴上。 4.椭圆和双曲线比较： 椭 圆 双 曲 线 定义 方程 焦点 注意：如何由方程确定焦点的位置?椭圆:看大小;双曲线:看正负. 三 、基本训练 1．(金榜P117自测1)双曲线 的焦距为（ ） A. B. C. D. 2.如果 分别是双曲线 的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且 ，则 的周长是___________． 3.(金榜P119自测1)已知双曲线9y2－m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则m=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.(金榜P119自测3)已知双曲线 的离心率为2，则实数m= 12 ． 四．典例解析 题型1：双曲线的概念及方程 例1．求双曲线的标准方程 （1）焦点 ，双曲线上的一点 到 的距离差的绝对值等于 ； （2）(金榜P117例1)设双曲线与椭圆 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程. （3）焦点在 轴上，并且双曲线上两点 坐标分别为 . 解析：（1）因为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 ， ∵ ，∴ ，∴ 。 所以所求双曲线的方程为 ； （2） （3）因为双曲线的焦点在 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 ①； ∵点 在双曲线上，∴点 的坐标适合方程①。 将 分别代入方程①中，得方程组： 将 和 看着整体，解得 ， ∴ 即双曲线的标准方程为 。 点评：利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给出的独立条件建立a,b,c之间的等量关系，再利用c2=a2+b2运用方程的思想来求解，从而得到a,b的值.但需注意首先应判断焦点的位置，以便于采用哪种形式的方程. 练习: 1.(1）若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是__________。 (2)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为 ，则双曲线的标准方程是____________________. 解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为 ，即 ，解得 ，则双曲线的标准方程是 ； 2．(金榜P118体验)已知圆C:x2+y2－6x－4y+8=0．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的 一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为___________． 3.(课时作业P319 1)已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，·＝2，则该双曲线的方程是( ) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4.(金榜P118变式1)求与双曲线 有公共焦点，且过点 的双曲线方程. 5.(金榜P118变式1)方程 表示曲线C，给出以下命题： ①曲线C不可能为圆；②若1
4； ④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为（ ） A.2 B. C. D. 解:双曲线 (a>)的两条渐近线的夹角为，则 ，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D。 8.(金榜P120体验高考1)设双曲线 的虚轴长为2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9.(金榜P120体验高考2)设双曲线 的两个焦点, 若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ ） A. B.2 C. D.3 10.课时作业P320 1,2,3,4,5,6,7,8,9 五．思维总结 1.本课时的重点是双曲线的定义、方程.难点是理解参数a、b、c、e的关系，关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数与方程的思想及等价转化的思想. 2.双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点： 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在. 3.参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2+b2. 4.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.若已知渐近线方程是 ，则可把双曲线方程表示为 再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程. 六.课外练习 1.平面内有两个定点 和一动点 ，设命题甲， 是定值，命题乙：点 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）条件 A．充分但不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2.与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的方程； 解:椭圆 的焦点为 ，可以设双曲线的方程为 ，则 。 又∵过点 ，∴ 。 综上得， ，所以 。 3.（06福建卷）已知双曲线 (a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 解:双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ， ∴ ≥ ，离心率e2= ，∴ e≥2，选C。
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