江苏省南京市高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．．（分）函数（）（﹣）的定义域为．25fx=log21x3．（5分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．4．（5分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．5．（5分）若幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．6．（5分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．7．（5分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为．8．（5分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为．．（分）若，0.3，，则，，的大小关系用＜表示为．95a=log32b=2c=log2abc“”10．（5分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为_．11．（5分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为12．（5分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2017，8）是该函数图象上一点，则实数a的值为．．（分）设函数（）﹣2+，则使得（）＞（）成立的取值135fx=3x2f1flog3xx范围为．第1页（共14页）14．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为．二、解答题（共6题，90分）15．（14分）已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．16．（14分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．17．（14分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．（16分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．第2页（共14页）19．（16分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（）设（）（）+（），∈[﹣，]，若对任意，∈[﹣，]，|2hx=fxgxx22x1x222h（）﹣（）|≤恒成立，试求的取值范围．x1hx26a第3页（共14页）学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷2016-2017参考答案与 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B={0，1，2}．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．．（分）函数（）（﹣）的定义域为{|＜}．25fx=log21xxx1【解答】解：要使函数（）（﹣）有意义fx=log21x则1﹣x＞0即x＜1∴函数（）（﹣）的定义域为{|＜}fx=log21xxx1故答案为：{x|x＜1}3．（5分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．4．（5分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．5．（5分）若幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．第4页（共14页）【解答】解：幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．6．（5分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2．【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为：6×3=9．故答案为：9．7．（5分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为﹣．【解答】解：∵﹣与+共线，e14e2ke1e2∴，∴λk=1，λ=﹣4，∴，故答案为﹣．8．（5分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为5．【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：第5页（共14页）由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．故答案为：5．．（分）若，0.3，，则，，的大小关系用＜表示为95a=log32b=2c=log2abc“”c＜a＜b．【解答】解：∵∈（，），0.3＞，＜，a=log3201b=21c=log20∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．（5分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为1_．【解答】解：∵f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），即a=1，故答案为：111．（5分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为3第6页（共14页）【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，=（﹣1，2），=（1，2），则•的值：﹣1+4=3．故答案为：3．12．（5分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2017，8）是该函数图象上一点，则实数a的值为2．【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f（2017）=f（2×1008+1）=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，点P（2017，8）是该函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2．故答案为：2．第7页（共14页）．（分）设函数（）﹣2+，则使得（）＞（）成立的取值135fx=3x2f1flog3xx范围为（0，）∪（3，+∞）．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，f′（x）=﹣﹣6x，f（x）在（0，+∞）递减，∵（）＞（）f1flog3x∴||＞，log3x1∴0＜x＜或x＞3，∴使得（）＞（）成立的取值范围为（，）∪（，+∞），f1flog3xx03故答案为（0，）∪（3，+∞）．14．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，）．【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，可得f（x+1）=，作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得2m=1﹣2m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．故答案为：（0，）．第8页（共14页）二、解答题（共6题，90分）15．（14分）已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．（2）cos（﹣α）•cos（﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．16．（14分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．（2）+=（1，﹣3），cos＜，+＞===﹣．向量与+的夹角为135°．17．（14分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角第9页（共14页）上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．【解答】解：（1）由题意，V（x）=（2a﹣2x）（a﹣2x）x（0＜x≤1）；（2）y==（2a﹣2x）（a﹣2x）=，∵a＞2，0＜x≤1，∴x=1时，y最小，最小值为2（a﹣1）（a﹣2）．18．（16分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，=π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点P（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵x∈[﹣，0]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．第10页（共14页）（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，∴当k=0时，θ∈[，]．19．（16分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．第11页（共14页）【解答】解：（1）△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB2=CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AB=，即||=；（2）①λ=时，=，=，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴=+=+，=（+），∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ，∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=，使得⊥．第12页（共14页）20．（16分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（）设（）（）+（），∈[﹣，]，若对任意，∈[﹣，]，|2hx=fxgxx22x1x222h（）﹣（）|≤恒成立，试求的取值范围．x1hx26a【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得：|x|=x﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；又对任意，∈[﹣，]，|（）﹣（）|≤恒成立，x1x222hx1hx26则（）﹣（）≤，hx1maxhx2min6①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；第13页（共14页）∴（）（）﹣，又（﹣）﹣，（）+，hxmax=h0=ah2=a2h2=2a∴（）（﹣）﹣，hx2min=h2=a2∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，综上，﹣2≤a≤﹣1；②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，∴（）（）+，（）（﹣）﹣，hxmax=h2=2ahx2min=h2=a2由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴（）（）﹣；hxmin=h0=a又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴（）（）+，hxmax=h2=2a∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．第14页（共14页）