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概率论与数理统计
2.2 连续型随机变量
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1.连续型随机变量的概率密度
例1 为了研究某种零件的长度,我们从大批零
件中,随机地抽取500件,测得零件长度的
500个数据(数据略)。假如这批数据都落
在96cm~104cm这个范围内。将这批数据分
为8个组,组距(组上限-组下限)为1。
得频数与频率统计表如下:
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组 频 数 频 率
96~97 6 0.012
97~98 25 0.050
98~99 72 0.144
99~100 133 0.266
100~101 120 0.240
101~102 88 0.176
102~103 46 0.092
103~104 10 0.020
总 计 500 1.000
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为了直观,
我们利用上表的
数据,将统计表
画成频率直方图
所谓频率直
方图就是以组距
为底,以(频率/
组距)为高所作
的长方形组。
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频率直方图有三个特点:
⑴ 每个小长方形的面积恰好等于该组的频率;
⑵ 因为各组频率的总和为1,所以,直方图中
所有小长方形的面积总和等于1;
⑶ 介于任何两条直线 之间的面积
近似地等于样品的长度落入区间 内的
频率。
为了能更精确地反映零件长度的统计规律,
抽样个数要更多,同时组要分得更细。当抽样
个数无限增大,同时组距不断缩小并趋向于零
x a x b= =与
( )a b,
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时,这个直方图的顶部的台阶型曲线就无限趋
向于一条光滑曲线 ( )y xϕ=
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由曲线 的形成过程可以看出: 位于
曲线的下方,x 轴上方的整个面积等于1;而在
区间 上曲线 下的面积恰好为长度
落在 上的概率。
由上面讨论可知,对于随机变量 X,可找
到一个函数 ,使得 X 落在任何区间
上的概率
且有
我们就可以利用函数 来描述随机变量
X 的概率分布。
( )y xϕ=
[ ]a b, ( )y xϕ=
[ ]a b,
( )xϕ [ ]a b,
( ) ( )d
b
a
P a X b x xϕ≤ ≤ = ∫
( ) 0xϕ ≥ ( )d 1x xϕ+∞−∞ =∫
( )xϕ
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定义1 设X是随机变量,如果存在定义在
上的非负可积函数 ,满足条件:
⑴
⑵ 对任意 都有
则称X为连续型随机变量,称 为 X 的概率
密度函数(简称概率密度)。
从几何上看,连续型随机变量 X 落入某一
区间 上的概率恰好等于 上的曲边梯
形的面积。
(−∞ + ∞, )
( )xϕ
( ) 0xϕ ≥ ( )d 1x xϕ+∞−∞ =∫
( )a b a b<,
( ) ( )d
b
a
P a X b x xϕ≤ ≤ = ∫
( )xϕ
[ ]a b, [ ]a b,
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在式 中,令b = a 得
连续型随机变量取任一特定值的概率等于零。
应当说明的是,概率为 0 的事件未必一定
是不可能事件。
即在计算连续型随机变量 X 落入某一区间的概
率时,不必考虑是否包括区间端点。
( ) ( )d 0
a
a
P X a x xϕ= = =∫
( ) ( )d
b
a
P a X b x xϕ≤ ≤ = ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )d
b
a
P a X b P a X b P a X b
P a X b x xϕ
< < = ≤ ≤ = < ≤
= ≤ < = ∫
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如果 在 x 点处连续,则
可见,概率密度的定义与物理学上细棒的线密度
的定义相似,这就是“概率密度”名词的来源。
( )xϕ
0 0
0
( )d( )lim lim
( )lim ( )
x x
x
x x
x
x xP x X x x
x x
x x
x
ϕ
ϕ ξ ϕ
+Δ
Δ → Δ →
Δ →
≤ ≤ + Δ =Δ Δ
Δ= =Δ
∫
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由式
知,当 充分小时,有
可见,概率密度的值反映了随机变量取 x 临近
值的概率的大小。概率密度的值越大的地方,
随机变量落在它附近的概率就越大。因此,利
用概率密度来描述连续型随机变量与利用分布
律来描述离散型随机变量是极为相似的。
0 0
( )d( )lim lim ( )
x x
x
x x
x xP x X x x x
x x
ϕ ϕ
+Δ
Δ → Δ →
≤ ≤ + Δ = =Δ Δ
∫
xΔ
( ) ( )P x X x x x xϕ≤ ≤ + Δ ≈ Δ
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例2 设连续型随机变量 X 的概率密度为
求:⑴ 常数C;
⑵ 。
解 ⑴ 由概率密度的性质 ,得
即有 。于是, X 的概率密度为
( ) ( )e xx C xϕ −= ∈ −∞ + ∞,
( 0) (0 1) ( 1)P X P X P X< < ≤ >, ,
( )d 1x xϕ+∞−∞ =∫( )0 01 ( )d e d e d e d 2x x xx x C x C x x Cϕ+∞ +∞ +∞− −−∞ −∞ −∞= = = + =∫ ∫ ∫ ∫
1
2
C =
1( ) e ( )
2
xx xϕ −= ∈ −∞ + ∞,
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⑵ 0
0
( 0) ( )d
01 1 1e d e
2 2 2
x x
P X x x
x
ϕ−∞
−∞
< =
= = =−∞
∫
∫
1 1
0 0
1
0
1(0 1) ( )d e d
2
1 e 0.31606
2
x
x
P X x x xϕ −
−
< ≤ = =
= − =
∫ ∫
1 1
1
1( 1) ( )d e d
2
1 1e e
2 1 2
x
x
P X x x xϕ+∞ +∞ −
− −
> = =
+∞= − =
∫ ∫
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2.几种常用的连续型随机变量
⑴ 均匀分布
定义2 如果随机变量 X 的概率密度为
则称 X 服从区间 上的均匀分布。记为
。
对于任意的 ,有
1 ( )
( )
0
a x b
x b aϕ
⎧ ≤ ≤⎪= −⎨⎪⎩
,
, 其它
[ ]a b,
~ [ ]X U a b,
( )c d a c d b≤ < ≤,
1( ) d
d
c
d cP c X d x
b a b a
−≤ ≤ = =− −∫
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即 X 在区间 内任一小区间取值的概率与
该小区间的长度成正比,而与该小区间的具体
位置无关。这就是均匀分布的概率意义。
例3 公共汽车每10分钟按时通过某一车站,一
乘客在任一时刻到达车站。求他等车的时间
在3到6分钟的概率。
解 设 X 表示他等车的时间,则
X 的概率密度为
于是
[ ]a b,
[ )~ 0 10X U ,
1 0 10
( ) 10
0
x
xϕ
⎧ ≤ <⎪= ⎨⎪⎩
,
, 其它
6 6
3 3
1 3(3 6) ( )d d
10 10
P X x x xϕ≤ ≤ = = =∫ ∫
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⑵ 指数分布
定义3 如果随机变量 X 的概率密度为
则称X服从参数为 的指数分布。记为
指数分布的无记忆性:设 ,则对于任
意的 ,有
这一性质称为指数分布的无记忆性。
e 0
( ) 0
0 0
x x
x
x
λλϕ λ
−⎧ ≥= >⎨ <⎩
,
,
λ ( )X E λ∼
0
( )d e d 1xx x xλϕ λ+∞ +∞ −−∞ = =∫ ∫
0 0s t> >, { } { }|P X s t X s P X t≥ + ≥ = ≥
( )X E λ∼
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证明:
而
所以有
{ } { }{ }
{ }
{ }
( )
( )( )
|
ee d
e d e
e e
e
x
x
s t
x x
s
s t
t
s
P X s t X s
P X s t X s
P X s
xP X s t s t
P X s x
s
λλ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
−+∞ −
+
+∞ − −
− +
−
−
≥ + ≥≥ + ≥ = ≥
+ ∞−≥ + += = = + ∞≥ −
= =
∫
∫
{ } e d ex t
t
P X t xλ λλ+∞ − −≥ = =∫
{ } { }|P X s t X s P X t≥ + ≥ = ≥
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如果 X 表示某一电子元件的寿命,则式
表明:在已知元件已经使用了s小时后,它还能
继续使用 t 小时(总共能使用 s+t 小时)的条件概
率,与从开始算起它能使用t 小时的概率相等。
(永远年轻)
指数分布在实践中有着广泛的应用。有许
多“寿命”分布,如电子元件的寿命,动物的寿
命,电话的通话时间,随机服务系统的服务时
间等都服从指数分布。
{ } { }|P X s t X s P X t≥ + ≥ = ≥
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例4 已知某电子管的寿命 X(小时)服从指数
分布,其概率密度为
求这种电子管能使用1000小时以上的概率。
解 所求概率为
10001 e 0( ) 1000
0 0
x
xx
x
ϕ
− ⎧ >⎪= ⎨⎪ ≤⎩
,
,
1000
1000
1000
1
1( 1000) e d
1000
e
1000
e 0.368
x
x
P X x
+∞ −
−
−
≥ =
+∞= −
= =
∫
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⑶ 正态分布 (Gauss分布)
定义4 如果随机变量 X 的概率密度为
其中 为常数。则称 X 服从参数为
的正态分布。记为
证 令 得
2
2
( )
21( ) e
2
x
x x
μ
σϕ πσ
−− = − ∞ < < +∞,
( 0)μ σ σ >,
μ σ, 2~ ( )X N μ σ,
( )d 1x xϕ+∞−∞ =∫
xy μσ
−=
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则
由于 ,故有 。
正态分布的概率密度曲线是一条以 x 轴为
渐进线,以直线 为对称轴的钟形曲线。
当 时,密度函数取得最大值。当 变化
时,曲线的形状也不同。 越小,曲线越陡峭,
越大,曲线越平坦。σ
2 2 2
22 2 2
0 0
1 1I e d d e d d 1
2 2
x y r
x y r r
π θπ π
++∞ +∞ +∞− −
−∞ −∞= = =∫ ∫ ∫ ∫
I 0> I ( )d 1x xϕ+∞−∞= =∫
x μ=
x μ= σ
σ
2 2
2
( )
2 21 1I ( )d e d e d
2 2
x y
x x x y
μ
σϕ πσ π
−− +∞ +∞ +∞ −
−∞ −∞ −∞= = =∫ ∫ ∫
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当 时对应的分布称为标准正态
分布。记为X~ 。这时,概率密度为
0 1μ σ= =,
(0 1)N ,
2
21( ) e
2
x
x xϕ π
− = − ∞ < < +∞,
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标准正态分布的概率密度函数 是偶
函数,其图形关于y 轴左右对称。在 处
取得最大值 ,曲线以 x 轴为其水平渐
近线。
( )xϕ
0x =
1
2π
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⑷ 分布
定义5 如果随机变量 X 的概率密度为
其中 。则称 X 服
从 分布,记为 X~
可以验证:
分布含有 两个参数,参数 决定其
密度函数的曲线形状。
Γ
1e 0
( ) ( )
0 0
xx x
x
x
α
α ββ
ϕ α
− −⎧ >⎪= Γ⎨⎪ ≤⎩
,
,
1
0
0 0 ( ) e dxx xαα β α +∞ − −> > Γ = ∫, ,
Γ ( )α βΓ ,
( )d 1x xϕ+∞−∞ =∫
Γ α β, α
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特别地, 当 时, 分布就是指数分布;
当 时, 就是自由度为 n 的
分布。
1
2 2
nα β= =, 1
2 2
n⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ ⎠,
2 ( )nχ
1α = Γ
2.几种常用的连续型随机变量
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