矩阵合同与相似及其等价条件汇总

矩阵的 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 与相像及其等价条件汇总矩阵的合同与相像及其等价条件汇总PAGE/NUMPAGES矩阵的合同与相像及其等价条件汇总矩阵的相像与合同及其等价条件研究（ 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 与统计学院09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶前言矩阵的相像与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的观点，在线性代数的学习中，矩阵的相像与合同作为研究工具，获得宽泛的应用[1-10]，起着特别重要的作用，能够把要办理的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相像进行了简单的介绍并对其鉴别方法给了详细的例子进行解说说明，对矩阵的应用学习有必定的帮助.矩阵的等价与相像及其合同的基本观点1.1矩阵等价的定义[1]定义1.1假如矩阵A能够有矩阵B经过有限次初等变换获得，称A与B是等价的.因为要与矩阵的相像，合同进行比较，上述观点能够拘束条件获得：定义1.2假如n阶矩阵A能够由n阶矩阵B进过有限次初等变换获得，则称A与B是等价的.依据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充足必需条件，能够用数学语言描述：定义1.3设矩阵A,B为n阶矩阵，假如存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQB,则称矩阵A与B等价，记作A∽B.1.2矩阵相像的定义[2]定义1.4设矩阵A，B为n阶矩阵，假如存在一个是n阶可逆矩阵P，使得P1APB,则称矩阵A与矩阵B相像，记作A～B.1.2.1n阶矩阵的相像关系，拥有以下性质[3]:性质1.1反身性，即任一n阶矩阵A与自己相像.性质1.2对称性，即假如A～B，则B～A.性质1.3传达性，假如A～B，B～C，则A～C.性质1.4P1(k1A1k2A2)Pk1P1APk2A2P.（是随意常数）k1,k21宿州学院毕业 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 矩阵的相像与合同及其等价条件研究性质1.5P1(A1A2)P(P1A1P)(P1A2P).性质1.6若矩阵A与矩阵B相像，则Am与Bm相像.（m为正整数）存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么mBmP1AmP，故 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 P1AP能够获得Am与相Bm相像.性质1.7假如矩阵A、B都是满秩，则A～B，那么B1～A1.证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP1B1P1A1P，故能够获得B1～A1.性质1.8假如矩阵A～B，那么AB.证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，又因为P1APB，P1P1，故能够获得AB.性质1.9相像矩阵或许都可逆，或许都不行逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相像.证明设BP1AP，若矩阵B可逆，B1P1AP11P，进而B1和A1P1A也相像.若B不行逆，则P1AP不行逆，即A也不行逆.性质1.10相像矩阵有同样的特点值.证明设BP1AP，EBPP11EPP1APEAPEA故矩阵A的特点值与矩阵B有同样的特点值.性质1.11相像矩阵有同样的迹.证明能够设矩阵A与矩阵B相像，那么存在一个可逆矩阵P,使得P1APB，trBtrP1AP2宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究trP1PAtrA2030例1A，B0，求分别求矩阵A、B的特点多项式，特点值秩,032迹，队列式，矩阵A与B能否相像，它们之间有什么关系？解从已知可知A206，Rank(A)2,tr(A)503对于A的特点多项式EA20(2)(3)03故A的特点值为2和3.306，Rank(B)2,tr(B)5对于矩阵B,B20矩阵B的特点多项式B30(2)(3).02故矩阵B的特点值是2和3.存在一个可逆矩阵P01使得P1APB，从定义矩阵B与矩阵A相像.10从结果看到相像矩阵有同样的特点多项式、同样的特点值、相等的队列式的值、相等的迹[2-4].124例2设实数域上的3级实对称矩阵A242，对角矩阵421500B050.求矩阵A、B的特点值，特点多项式并且矩阵A与矩阵B相像吗？如004果相像求出可逆矩阵P.124124解由矩阵A的特点多项式为242242421021013宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究124242001(5)2(4)故矩阵A的特点值为5和—4.简单知道矩阵B的特点多项式和矩阵A的同样，154525153故矩阵B的特点值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P,P252515153015233考证获得P1APB，那么矩阵A与矩阵B相像，它们有同样的特点值和特点多项式.1.3矩阵合同的定义[2]定义1.5设A，B为n阶矩阵，假如存在一个n阶可逆矩阵C，使得CTACB，则称A与B合同，记作AB.n阶矩阵的合同关系拥有以下性质：⑴反身性:即任一n级矩阵与自己合同.⑵对称性:即如A与B合同，则B与A合同.⑶传达性:A与B合同，B与C合同，则A与C合同.⑷合同的两矩阵有同样的二次型标准型.⑸任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.⑹两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，并且正惯性指数相等.合同矩阵与相像矩阵的关系2.1矩阵的相像与合同的同样点[5].⑴从上边能够看到，相像关系知足反身性、对称性、传达性；合同关系也拥有反身性、对称性、传达性.⑵相像、合同矩阵均有同样的秩.4宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究若矩阵A相像与矩阵B，则Rank(A)Rank(B)，若矩阵A合同于矩阵B，则Rank(A)Rank(B).可见，假如两个矩阵相像或合同，那么它们的秩同样.⑶相像与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A于矩阵B相像，则要求A、B都是方阵；若A合同与B，则要求A、B都方阵.就是说相像与合同的矩阵要求是同型矩阵，并且都是方阵.2.2矩阵的相像与合同的不一样点[5].矩阵的相像与合同有一些不一样之处，如A～B，则AB，A与B有同样的特征值.但若AB，那么A与B的队列式的值不必定相等；A与B也不必定有同样的特征值.2212225453100例1设A254142,B010,,T45324550010052453不难考证：TTATB，有AB.我们能够知道上边的矩阵等式知足矩阵的合同同时知足矩阵的相像，能够知道矩阵T为正交矩阵，故A～B，矩阵A的队列式能够等于B的队列式，下边举出合同可是队列式不等的状况.121410例2A3，B12，C.2402经过考证能够知道A1，B4，但是CTACB，AB，能够获得矩阵A合同于B，可是队列式能够不等.我们知道矩阵相像拥有同样的特点值，这是因为相像矩阵有同样的特点多项式.我们设A～B，则有可逆矩阵P，使得BP1AP，于是EBEP1APP1(E)PP1AP=P1(EA)P5宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究=EA故特点值同样.但是对于矩阵A合同与矩阵B，可是它们的特点值不必定同样:1101例311设A2，B03，C2140112不难考证CTACB,即AB，可是A的特点值为1和3，B的特点值为1和3224明显，矩阵的相像与矩阵的合同是不一样的观点.2.3矩阵等价、合同与相像的联系[7].结论2.1相像矩阵必定是等价矩阵，等价矩阵未必为相像矩阵.证明设n级矩阵A、B相像，从定义知道存在n阶矩阵P，使得P1APB，从等价的定义AB.100，B121，A与B等价，可是A与B其实不相反过来，对于矩阵A100100似.结论2.2合同矩阵必定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.证明设n阶方阵A,B合同，由定义1.5有，存在n阶可逆矩阵P1，使得PTAP1B，若记PP1T,QP1,则有PAQB所以由定义1.3获得n阶方阵A,B等价.反过来对于矩阵A10,B12等价，可是A与B其实不合同，即等价0101矩阵未必合同．2.4矩阵合同与相像的关系[7]结论2.3假如M与N都是n级对称矩阵，且有同样的特点值，则M与N既合同又相像.证明设M、N的特点值均为1、2、n，因为M与N都是n级实对称矩阵，则必定存在n阶正交矩阵P，使得：6宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究1P1MPn同理，能够找到一个正交矩阵Q，使得：1Q1NQn从上边两式有：P1MPQ1NQ将上式两边分别左乘Q和又乘Q1，得：NQP`1MPQPQ1`11MPQ因为PPTE,QQTE故PQT可逆，又因为：（PQ1)(PQ1)PQ1(Q1)TPTPQTQPTE所以PQ1是正交矩阵故M～N,MN结论2.4若n阶矩阵A与B中只需有一个正交矩阵，则AB与BA相像且合同．证明不如A是正交矩阵,则A可逆取,PA,有P1ABPA1ABAA1ABABA，则AB与BA相像，又A是正交阵，所以AB与BA既相像又合同.结论2.5若A～B,且AB，C～D且CD，则A0B0A0B00～0，0C0DCD7宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究证明从已知，C～B,C～D，故存在可逆矩阵P1，P2使得P1APB11P21CP2D令P10PP20则P1P11010P2且P1A0PP11AP100C0P21CP2B00D故A0B00C～D0又因为AB，CD，，故存在可逆矩阵T1，T2，使得T1TAT1B,T2TCT2D令TT100T2则TTT1T00T2T但是TTA0T1T0A0T10T0T2T0C0T20CT1T0T100TT0T22T1TAT10B00T2TCT20D故A0B00C0D8宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究相像矩阵的应用3.1相像矩阵的简单应用[8]在矩阵Am的求解过程中，很难获得它的值，但是能够找到与矩阵A相像的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得AP1BP，此中P为可逆矩阵,B对角矩阵，可知矩阵A与矩阵B相像，那么AmmP1BPP1BmP，进而能够使得不宜求的矩阵简单化。利用相像的关系把矩阵化简为对角矩阵，但其实不是全部的矩阵都能够对角化.例1求Am（m是任一个正整数）：A1214解由已知矩阵A的特点多项式为EA故EA0(1)(4)22560故有特点值为:2，或3.能够看到2阶矩阵A有两个不一样的特点值，故能够对角化.当2时,12X0，x12x20，获得特点向量（2，1）.12当3时,22X0，同理能够获得特点向量（1，）111.存在T21，求得T111，T1AT201112033即AmT120T03Am2m13m2(3m2m)2m3m2(3m2m1)3.1.1实对称矩阵必定相像于对角矩阵.9宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究222例2设A254，求正交矩阵T，使得TTAT为对角矩阵.245解计算可得EA(1)2(10)，所以121,310.1,2,5T当1时,获得特点向量a12,1,0T,a221T当10时,获得特点向量a31,1,222115453将特点向量单位化，得1，24，3245350524531令T1,2,3，则T为正交矩阵，且TTAT110即A正交相像与对角矩阵.3.1.2矩阵不能够化为对角矩阵的状况[9].640例3设矩阵B262，能够获得EB0.10142获得特点值12，24(2重).当当12时,获得特点向量时,获得特点向量12222411只有两个特点向量,故矩阵B不能够对角化.3.2矩阵合同的应用[10]10宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究矩阵的合同主要应用在二次型，二次型的标准型，求矩阵的合同标准型.下边介绍几种务实对称矩阵合同标准型的方法：3.2.1非退化线性替代例1用正交替代把实二次型f(x1,x2,x3)2x125x224x1x24x1x38x2x3化为标准型.25x15解令x2155x30则15153y142y25315y311533f(x,x2,x)y2y210y2131233.2.2利用配方法把二次型化成标准型.例2二次型fx1,x2,x3x222x322x1x32x2x3解fx1,x2,x3(x12x22x322x1x22x1x32x2x3)(x12x322x1x3)2x32x1x2x32x1x322x32y1x1x2x3令y2x2x3y32x3则f(x1,x2,x3)y12y222y323.2.3经过矩阵成对的初等行、列变换法.例3用矩阵的成对初等行、列变换法把数域K上二次型化成标准形，gx1,x2,x3x222x322x1x32x2x3001解gx1,x2,x3的矩阵是A011，那么A,E.经过成对的初等队列变换112获得:11宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究100110对角矩阵矩阵D010，可逆矩阵C011，令XCY，00220012得g(x1,x2,x3)y12y222y32结论鉴于对矩阵有关知识观点的认识.本文对矩阵的等价、矩阵的相像、矩阵的合同的观点的掌握,同时论述了矩阵的等价、相像、合同的三者的关系.赐予了矩阵的相像的应用,矩阵合同的应用.特别在线性代数中，运用矩阵的相像标准型和合同标准型把矩阵对角化使问题简单化.再者,对求解矩阵的合同标准型几种方法分别是非线性替代,配方法和成对的初等队列变换.经过一些实例使我们更清楚的认识矩阵的相像于合同及其等价三者的联系，对此后的学习供给的帮助和进一步认识.12宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究参照文件[1]智婕.矩阵等价、相像、合同联系[J].牡丹江师范学院报.2006,(3):6.张禾瑞.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育第一版社.1983:190-202.丘维声.高等代数(第二版).北京:高等教育第一版社.2002:192-199.卢刚.线性代数[M].北京:高等教育第一版社.2005:101-179.[5]耿秀荣.观点辨析过程数学变式教课[D].山东师范大学数学系硕士学位论文.2001,32-42.王晓玲,候建文.矩阵三种关系间的联系[J].山西农业大学学报.2004,(2):188-190.[7]马蔚华.矩阵的相像与合同之等价条件的研究[J].湖南广播电视大学学报.2000,(4):70-71.[8]李样明，金玲玲.对于矩阵合同关系的几个问题[J].广东教育学院学报.1995,(2):25-27.吴赣昌.线性代数[M].北京:中国人民大学第一版社.1994:198-224.同济大学教研室.线性代数[M].北京:高等教育第一版社.2003:215-243.13宿州学院毕业论文矩阵的相像与合同及其等价条件研究致谢我所撰写的学位论文是在导师王晶晶仔细指导下达成的.她严格地要求我，仔细的的指导.老师渊博的知识仔细的态度也使我得益匪浅，这对于我此后的工作学习都拥有很好的示范作用.我的论文的撰写和校正过程中，还获得了很多同学的帮助，同学和老师都赐予我很大的帮助,使我熟习了撰写论文的一般格式和很多注意事项,对论文的写作又有了深刻的认识.最后感谢王老师的勤劳指导.14