欧式空间习题
第九章 欧式空间习题
1((填空)设为n维欧氏空间V中的基,在此基下向量坐标分别为,,,,?,,,,,12n
n
与 ,则内积的充分必要条件是 。(a,a,?,a)(b,b,?,b)(,,,),ab12n12n,ii,1i
(是V的
标准
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正交基) ,,,,?,,12n
2((填空)是有限维欧氏空间的子空间,存在,使得的V,V,,V,,,0,,V1221充分条件是子空间的维数之间满足 。( 维(V),维(V)123(对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是 (对角线上的元素为?1)。
,,V4((
证明
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)设A与B是欧氏空间V的两个线性变换,并且对任意有
,证明AV与BV作为欧氏空间是同构的。 (A(,),A(,)),(B(,),B(,))
证明:AV与BV均是欧氏空间V的子空间,因而对于V的内积来说作成欧氏空间。令,则是一个映射; f:A(,),B(,),,,,Vf
因为任取, 若 得 ,,,,VA(,),A(,),A(,,,),0,
,从而有 ?(A(,,,),A(,,,)),0,(B(,,,),B(,,,))B(,,,),0,即可证是单射,又是满射,现证是线性的; B(,),B(,),ff
,有 ,A(,),A(,),A(V),,k,Rf(A(,),A(,)),f(A(,,,),B(,,,)
,B(,),B(,),f(A(,)),f(A(,))
,再证保持内积不变; f(kA(,)),f(A(k,),B(k,),kB(,),kf(,)f
,,,,,V,有A(,,,),A(,,,)),(A(,),A(,)),2(A(,),a(,)),(A(,),A(,)) ,B(,,,),B(,,,)),(B(,),B(,)),2(B(,),B(,)),(B(,),B(,))
(A(,),A(,)),(B(,),B(,))所以
即,从而是同构映射,AV与(f(A(,),f(A(,)),(B(,),B(,)),(A(,),A(,))fBV作为欧氏空间是同构的。
5((证明)设V是实数域R上的n维欧氏空间,是V的一组基,,,,,?,,12n
是R中的n个数。证明:存在唯一向量使得内积C,C,?,C,,V,12n
。 (,,,),Ci,1,2,?,nii
证明:设内积关于基下的度量矩阵为A,且设 ,,,,?,,12n
0,,,,k,,1,,?,,k,,2,,(,,,),(k,?,k)A1i,i,1,2,?,n (); 则, ,,,,?,,,,i1n12n,,,,?,,?,,,,kn,,,,0,,所以
10?0,,,,01?0,, ((,,,),,(,,),?,(,,,)),(k,k,?,k)A,(k,k,?,k)A,(C,?,C)12n12n12n1n,,???,,,,00?1,,
,1从而(k,?,k)=,所以满足条件的是存在的。 ,(C,C,?,C)A1nn12
(,,,),Ci,1,2,?,n再证唯一性;设存在,也有, ,,Vii
(,,,),C,(,,,)i,1,2,?,n(,,,,,),0i,1,2,?,n则,从而有,iiii可推出即。 (,,,,,,,),0,,,
,,,,?,,,,,,?,,6((证明)设,,是欧氏空间中的两组向量,如果 12m12m
(,,,),(,,,),i,j,1,2,?,mV,L(,,,,?,,)V,L(,,,,?,,),则与同ijij112m212m
构。
dimV,dimVdimV,r,,,,?,,证明:先证;设且为V的基,设112112r
,因为, (,,,),(,,,),i,j,1,2,?,mk,,k,,?,k,,0ijij1122rr
,,,,(,)?(,),,k,,rr1,11rr,,,,,,所以 (k,k)(k,?k)????,,,,,,,iiiir1i,i,11,,,,(,,,)?(,,,)krrrr1,,,,
,,,,(,)?(,),,k,,rr1,11rrr,,,,==,。 (k,?k)????(k,,k,)k,,0,,,,r,,,iiiiii1i,1i,1i,1,,,,,(,,)?(,,,)krrrr1,,,,
由线性无关,得 同理可证,,,,,?,,dimV,r,即dimV,dimVdimV,dimV12r21221
所以,即与同构。 dimV,dimVVV1212
,7(若对于n个非零数二次形 都k,0,k,0,?,k,0f(x,x,?,x),XAX12n12n
,有 则二次形是正定二次形。 f(k,k,?,k),0f(x,x,?,x),XAX12n12n
8(求证:在欧氏空间中,两个向量的模相等当且仅当。 (,,,,,,,),0,,,
2k,19(若A为n阶实对称矩阵,且,证明:存在A为n阶正交矩阵U,A,E(k,N)
,UAU,E.使得
10(证明:欧氏空间V的每一个子空间W,都有唯一的正交补。 证明:如果W={0},那么W的正交补就是空间V,唯一性显然成立; 设W?{0};欧氏空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧氏空间,在W中取一组正交基
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• 【唯美句子】 走累的时候,我就到升国旗哪里的一角台阶坐下,双手抚膝,再闭眼,让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。
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• 【唯美句子】 一个人踮着脚尖,在窄窄的跑道白线上走,走到很远的地方又走回来。阳光很好,温暖,柔和。漫天的安静。
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• 【唯美句子】 清风飘然,秋水缓淌。一丝云起,一片叶落,剔透生命的空灵。轻轻用手触摸,就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去,是眷恋,是装点,瞬间回眸,点亮了生命精彩。
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• 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子,轻盈的飞来飞去,“几处早莺争暖树,谁家新燕啄春泥,”其乐融融的山林气息,与世无争的世外桃源,让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2
【唯美句子】 流年清浅,岁月轮转,或许是冬天太过漫长,当一夜春风吹开万里柳•
时,心情也似乎开朗了许多,在一个风轻云淡的早晨,踏着初春的阳光,漫步在碧柳垂青的小河边,看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌, 清澈见底的的河水,可以数得清河底的鹅软石,偶尔掠过水面的水鸟,让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装,刚刚睡醒的各种各样的花花草草,悄悄的露出了嫩芽,这儿一丛,那儿一簇,好像是交头接耳的议论着些什么,又好象是在偷偷地说着悄悄话。
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• 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开,不仅仅是因为我喜欢看海,还喜欢诗人笔下的意境,每当夜深人静时,放一曲纯音乐,品一盏茶,在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时,身着一身素衣,站在清风拂柳,蝶舞翩跹的百花丛中,轻吹一叶竖笛,放眼碧波万里,海鸥,沙滩,还有扬帆在落日下的古船,在心旷神怡中,做一帘红尘的幽梦。
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• 【唯美句子】 繁华如三千东流水,你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由,置身置灵魂于旷野,高声吟唱着属于自己的歌,悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。
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• 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间,你选择了淡泊明志,持竿垂钓碧泉绿潭;
权力富贵和草舍茅庐之间,你选择了宁静致远,晓梦翩跹姹紫嫣红。 顶 2 收藏 3
• 【唯美句子】 那是一株清香的无名花,我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样,可突如其来的秋雨,无情的打落了它美丽的花瓣,看着它在空谷中独自凋零,我莫名其妙的心痛,像针椎一样的痛。秋雨,你为何如此残忍,为何不懂得怜香惜玉,我伸出颤抖的双手,将散落在泥土里的花瓣捧在手心。
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• 【唯美句子】 滴答滴答,疏疏落落的秋雨,赶着时间的脚步,哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗,不知不觉,我像是被催眠了一样,渐渐的进入了梦乡。
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• 【唯美句子】 在这极致的悲伤里,我看到了世间最美的爱,可谁又能明白,此刻的我是悲伤还是欢喜,也许只有那拨动我心弦的秋季,才知道潜藏在我心中的眼泪。 顶 4 收藏 3
• 【唯美句子】 看着此情此景,我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃,秋风的柔软,在这极短的瞬间,他们一起诉说着最美的爱恋,演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地,露出幸福的模样,你看,它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现,秋风并非是想象中的刽子手,原来它只是在叶子生命的最后一刻,让它体会到爱的缠绵,飞翔的滋味。 顶 1 收藏 1
【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人,公交上那个姐姐,还有那位大叔,我不•
知道他们是不是本地人,但我们遇到的一个交警协管,一位头发花白的大姐,她是上海本地人,很和善,并不像有些人说的上海人很排外。事实上,什么都不是绝对的。 顶 2 收藏 0
• 【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔,却也被那种陌生呛了一鼻。也许,我却不知道,那时的感受了。那里没有那么美好,没有安全感,归属感。我想要的自由呢,不完全地体验到了。
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• 【唯美句子】 那些繁华的都市,车水马龙,灯红酒绿,流光溢彩,却充斥着一种悲哀,浮夸。我看到各种奢华,却也看到各种卑微,我看到友善亲和,也看到暴躁粗鲁,我看到金光熠
• 【优美语句】 踏过一片海,用博识的学问激起片片微澜;采过一丛花,正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻;无过一个梦,决定从那里启程。
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• 【优美语句】 人生如一本书,应该多一些精彩的细节,少一些乏味的字眼;人生如一支歌,应该多一些昂扬的旋律,少一些忧伤的音符;人生如一幅画,应该多一些亮丽的色彩,少一些灰暗的色调。
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• 【优美语句】 母爱是一滴甘露,亲吻干涸的泥土,它用细雨的温情,用钻石的坚毅,
期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点,而是一条流动的河,这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。
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• 【优美语句】 生活如海,宽容作舟,泛舟于海,方知海之宽阔;生活如山,宽容为径,循径登山,方知山之高大;生活如歌,宽容是曲,和曲而歌,方知歌之动听。 顶 0 收藏 0
• 【优美语句】 母爱就是一幅山水画,洗去铅华雕饰,留下清新自然;母爱就象一首深情的歌,婉转悠扬,轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风,吹去朔雪纷飞,带来春光无限。
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• 【优美语句】 努力奋斗,天空依旧美丽,梦想仍然纯真,放飞自我,勇敢地飞翔于梦想的天空,相信自己一定做得更好。
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• 【优美语句】 品味生活,完善人性。存在就是机会,思考才能提高。人需要不断打碎自己,更应该重新组装自己。
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• 【优美语句】 母爱是一缕阳光,让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉,让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0
【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的•
沃土;母爱是美化心灵的彩虹。
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• 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面,夕阳将最后的辉煌撒向了大海,海平面波光潋滟,金光闪闪,夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝,我张开双臂拥抱最温馨的时刻„„我爱大海宽广的胸怀,无论多大的风浪,她都可以揽入怀中;无论多少风雨,都无法将她击垮;无论多少河流,她都可以容纳;我愿做一只填海的燕,填平她的波涛翻滚,填平她的汹涌愤怒,只留下平静、柔和的海面。