AP-内射环与连续环

AP-内射环与连续环 第28卷第3期 2005年8月 浙江师范大学(自然科学版) JournalofZhejiangNormalUniversity(Nat.Sci.) Vo1.28,No.3 Aug.2005 文章编号:i001—5051(2005)03—0250—04 AP一内射环与连续环 杨春兰,陈淼森 (浙江师范大学数理学院,浙江金华321004) 在AP一内射环满足C:条件的基摘要:主要研究了AP内射环成为连续环的条件. 础上,结合Baer环,duo 环,半完全环,MI环等,探索了何时AP_内射环也满足C条件,从而成为连续环,得到了一些相关结果:(1)设 R是左AP一内射,左duo环,若R又是局部Baer环,则R是左连续环;(2)设R一0R是左AP-内射环,其中 iEI R是一致左理想,若R是Baer环且左duo,则R是左连续环;(3)设R是左AP-内射,左duo环,若R又是半 完全的Baer环,则R是左连续环;(4)设R是左AP一内射环,R是弱内射的,则R是左连续环;(5)设R是左 AP一内射,左MI环,则R是左连续环. 关键词:AP一内射环;Baer环;duo环;连续环 中图分类号:O153.3文献标识码:A 1998年,文献[1]首先提出了AP一内射环的定义.易知P_内射环是AP一内射环,但AP一内射环不一 定是P一内射环;文献E23对P_内射环成为连续环作了讨论.那么,讨论AP一内射环何时为连续环是有意 义的.笔者给出了AP-内射环成为连续环的一些结果. 文中的环均指有单位元的结合环,所有的模均指酉模.对环R的一个子集X,z(X)一{r?RIrX一 0}(r(X)一{rffRIXr=0})代表X在R中的左零化子(右零化子),特别地,当X一{口}时,l(a)一{r? RI7"a一0}称为特殊左零化子.Z(R)表示R的左奇异理想.JR表示J是R的左理想,JR表示J 是R的本质左理想,J0R表示J是R的直和项左理想.文中所有相关定义均可参见文献[3,4]. 环R称为左AP-内射环,如果对于V口?R,存在R的右理想x,使得rl(口)一aR?x.….称R满 足C条件,如果R的每个左理想是R的某个直和项的本质左理想.称R满足C:条件,如果同构于R 的直和项的左理想也是R的直和项.如果R满足C和C:条件,则称R是左连续环[4]. 引理1rs若R是左AP-内射环,则R满足C条件. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 设R0R,R.R且R.兰R,我们要证明R.固R. 事实上,令R1=Re,e一e?R,:RP—R.为左R模同构,再令(P)一6,则R.一Im~o=R6.因 :Re一(P),I一(P) 是R模同构,z(P)一z((P))一z(6),于是b?rl(b)一rl(P)一rl(eR)一r(R(1一P))一eR,b—eb.又由于R 是左AP一内射环,rl(b)一bR?x,xR,即有eR—bR?x.于是e=6d+z,其中dER,zEx.因此 有6一eb=bdb+xb,而xb=b--bdb=b(1一db)?bRnX6—0,故有b=bdb.令g=db,则g一g?R,R3一 Rb=Rg,这就表明了R.0R,从而R满足C:条件. 环R称为Baer环,如果对于任意的非空集合XR,r(X)由幂等元生成;环R称为左duo环,如果 收文日期:2004—12—14;修订日期:2005—03—02 基金项目:浙江省自然科学基金资助项目(Y604015) 作者简介:杨春兰(1981一),女,浙江萧山人,硕士研究生,研究方向;环论 第3期杨春兰,等:AP一内射环与连续环251 每个左理想都是(双边)理想;称R是一致的,如果对于V0?jR,0?-,R,有jn-,?0,也就是 说R是一致的当且仅当R的每个非零左理想都是本质的.易知,若R是一致的,则R满足C条件.从 而可以得出,若左AP一内射环R是一致的,则R是左连续环. 定理1设R是左AP一内射,左duo环,若R又是局部Baer环,则R是左连续环. 证明只要证明尺是一致的,那么由引理1知,R满足C.条件,自然可以得到R是左连续环. 事实上,对于V0?R,0?JRR,取0?&E,0?bEJ,则Ra,R6-厂.假设RanRb一0,则 有直和Rao尺6.令 :Ra?Rb斗R,r1口+r2b卜+r1&,Vr1,r2?R, 若ra+r:6—0,则r&一一r:bERanRb=0,因此的定义是合理的,且易知是左R模同态. 由于R是左AP一内射环,对VaER,有r(口)一aRox,x.R.又由于?(a)R,R是Baer环, 故rl(a)一eR,e一eER,且n=ell,即有eR—aR?x.于是jr?R,工Ex,使得e—nr+z,n—en一 &r&+z&,a(1一r&)=z&EaRClX=0,因此&一&r&. 对于t一&+6?R口?R6,同样存在r?尺,使得t—trt,故有口一(&+6)一(t)一(trt)一(rt)一 (口+6)(rt),由r,?R口oR6知(r,)?R,于是&(1—(rt))一6(rt)?R口n尺6— 0(因为R左duo, R口,R6都是双边理想).由尺的局部性知1一()或()可逆,即a一0或b一0,矛盾.所以R&nR6? 0,从而也有jnJ?0,所以R是一致的,因此R是左连续环. 引理2若R是左AP一内射,左duo和Baer环,?A是R的主左理想的直和,则对VBR,有 Bn(?A)=?(BnA). 证明显然有(BnA)BnA)?只需证Bn(Az)(BnAr)? 事实上,V&EBn(ClA),&一r+r2口+…+rnE?A,其中rEA一Ra.设 l?』iE』 巩:?Ra?Ra女 是标准投射,即有(&)一不(r&+r:&.+…+r&)一&.由于R是左AP一内射Baer环,从定理1的 证明过程中知,jbER使得a=a6a.于是a女一7r女(a)一7r女(aba)一n7r女(ba).由R是左duo环知左理想 B是理想,因此&不(ba)EB,即&^一&不^(ba)EBnRa^一BnA^,故&一rlal+r2&2+…+rE o(BClA).?J 定理2设R—oR是左AP一内射环,其中R是一致左理想,若R是Baer环且左duo,则R是左 连续环. 证明VKRR,由引理2知 K—KnR—Kn(R)一@(KnR)一(KnR),J,KnR?0. 由于R是一致左理想,KnRR,于是K一(KnR)R,而R是R一尺的直和项, 因此R满足了C条件,从而R是左连续环. 引理3设R是左duo环,R是R的直和项左理想,则 (1)Rl也是左duo的; (2)若R又是Bear环,则R1也是Bear环. 证明(1)设R—RoR:,是R的左理想,由R是左duo环知左理想R,R:是理想,于是对 VrER,r—r1+r2,r】?R1,r2?尺2,有rI=(ri+r2)—r1+r2—r1(因为r2R2nR1:0),因此 也是R的左理想从而是理想,故是R的理想,R是左duo环. (2)对于R的非空集合X,X也是R的非空集合,故由R是Baer环知r(X)一{rERfr一0)一 eR,e.一eER.由R:Rl?R2知P—e1+P2,el?Rl,e2?R2.于是el+e2一P—e一(e1+2)(e1+e2)一e+ 252浙江师范大学(自然科学版)2005芷 P2P1+P1e2+P;一P;+P;(因为由R是左duo环知e2e1,e1e2?R1nR2一O),则e}一el—e;一e2?R1nRz一 0,e{一e1?R1,e!一e2?R2.令r1(X)一{rER1lXr=0}r(X),显然有e1R1PR1T"1(X).对于Vr? (X),有r?r(X)一eR—eR1+eR2一e1R1+e2R1+e1R2+e2R2.于是r—elT-1+e2T-1+elT-2+e2T-2一 e1r1+P2r,r1,r?R1,r2,r?R2(因为e2r,e1T-2?R1nR2一o),则T'--e1r1一e2r?R1nR2—0,因此r— e1r1?e1R1,即有r1(X)P1R1,从而r1(X)=P1R1,e.一e?R1,故R1也是Baer环. 定理3设R是左AP一内射,左duo环,若R又是半完全的Baer环,则R是左连续环. 证明只需证R满足c条件.因为R是投射的,且又是半完全的,那么由文献E63知R一@R., R为左理想子环,且对Vi?J,R./tad(R)是单的,rad(R.)在R中极大,由于每个R.也是投射且半完 全的,rad(R)《R.,因此R不可分解.由文献[7]中定理11.4.1知End(R.)是局部环,而R.~'--End(R), 因而R.也是局部的.由引理3知,每个R也是左duo的Baer环,又因为左AP一内射Baer环的直和项 仍是左AP一内射的,由定理1知R.一致,再由定理2知R是左连续环. 设E(M)是R_模M的内射包,M称为弱内射的,如果对于任意有限生成子模NE(M), 存在 RX兰M,且RNRXE(M)L8j. 引理4E设R是左AP一内射环,若RX兰R(X是左R一模),则有X=R. 证明令是R到X的同构,妒(1)一6?X,则有Imq~=X=Rb.因为1?RX,U?R,使得1一 "6,从而R=R1一Rub,且(")(ub)一0,即有R—rl("),由于R是左AP一内射环,rl(U)一uR?X, XRR,因此R—uR?X,?R,z?X,使得1一"+z,U—urn+XU,z"一"(1一vu)?XnuR一0, 从而U—urn,令P—VU?R,则e.一e且Ru=Re,所以有R—Rub=Reb,但X—Rb一(Re?R(1一P))b— Reb+R(1一e)b,若z?RebnR(1一e)b,则r1,r2?R,使得z—r1一r2(1一P)b,于是妒(z)一r1e— r2(1一P),r1P—r1e.一r2(1一P)e一0,即z一0.因此,X—Rb—Reb?R(1一P)b,而Reb—R,X,所以 R(1一P)6—0,X—Reb—R. 定理4设R是左AP一内射环,R是弱内射的,则R是左连续环. 证明Vn?E(R),由于R+RnE(R),R弱内射,XE(R),使得R+RaX,且X兰R, 又因为R是左AP一内射环,由引理5知X一R,于是n?R+RaX—R,从而E(R)一R.对于R的任 意左理想J,存在补左理想.,,使得J?JR.于是R—E(R)一E(1~J)一E(J)?E(J),而JE(J), E(J)是R的直和项,这就说明了R满足C条件,从而R是左连续环. 环R称为左MI环,如果R包含了一个内射极大左理想[9]. 定理5R是左AP一内射,左MI环,则R是左连续环. 证明由于R是左MI一环,e.一e?R,使得R—M?L,其中M—Re是内射极大左理想,L— R(1一P)是极小左理想.若?O,则可以断言L是内射的. 事实上,U?L,使得Mu=/=O,且M"L.由L的极小性知L—Mu.从而有左R-模满同 态妒:M— L,(z)zXU.因为L—R(1一P)是投射的,则存在M的子模T,使得M—Kerq~T且T兰L.由M的内 射性知L兰T也是内射的,从而R—M?L是内射的,即有E(R)一R,于是从定理4的证明中可知R是 左连续环. 若ML=O,则M—(L)是R的双边理想,令厂一1一e,V0?U?fR,U—fu且由M的极大性知 (")一M—(厂).因为R是左AP一内射环,rl(U)一uR?X,XR.于是有fR—rl(厂)一rl(U)= uR?X,rER,z?X,使得f—UT"+z,U—fu—UT'U+XU,U(1一T'U)一XU?uRnX.一0.即有 (厂一"r)厂一0,厂一urf,从而fR~uR,这就表明了(1一e)R—fR是R的极小右理想,从而eR是R的极 大右理想.因为M=Re是双边理想,由的极大性得M—RP—eR,于是(R/M)兰(1一e)R是投射的, 因此也是平坦的.设L是R的左理想,:L一(R/M)是非零的左R-模同态.因为(R/M)平坦,所以有 第3期杨春兰,等:AP一内射环与连续环253 ML—LnM.若LM,则L=LnM=ML,从而f(L)一f(ML)一M厂(L)一0,这与厂?0矛盾,因此L M,从而由M的极大性知L+M—R.于是了口EL,bEM,使得1—日+b,VEL,一.Ta+xb, x--xa=xbELnM—ML.因此f(x—xa)Ef(ML)一Mf(L)一0,这说明了厂()一xf(a),于是L兰 (R/M)是内射的,所以R—M?L也是内射的,即有E(R)一R,从定理4的证明中可知R是左连续环. 参考文献: [1]PageSS,ZhouYQ.GeneralizationsofprincipallyIniectiveRings[J].JAlgebra,1998,206 (2):706—721. 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AP—injectiveringsandcontinuousrings YANGchun—lan.CHENMiao—sen (CollegeofMathematicsandPhysics,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China) Abstract:ItisaimedtofindoutconditionsofanAP— injectiveringtobecontinuous.Basedonthefact thatanAP—injectiveringsatisfiestheC2condition,conditionsforanAP— injectiveringtosatisfyCl conditionwerefound,thenitscontinuitywasdeducedbycombiningwithBaerring,duoring,semi— perfectring,MI— ringandsoon.Mainresultsobtainedreadasfollowing:(1)LetRbealeftAP-injec- tiveringandleftduoring,ifitisalsoalocalBaerring,thenitisaleftcontinuousring;(2)LetR一 ?王jR.bealeftAP— injectivering,inwhichRisanuniformleftideal,ifRisaBaerringandleftduo ring,thenRisaleftcontinuousring;(3)LetRbealeftAP— injectiveringandleftduoring.ifRisa semiperfectBaerring,thenRisaleftcontinuousring;(4)LetRbealeftAP— injectivering,ifRRis weakinjective,thenRisaleftcontinuousring:(5)LetRbealeftAP—injectiveringandleftMI—ring. thenRisaleftcontinuousring. Keywords:AP—injectivering;Baerring;duoring;continuousring (责任编辑陶立方)