关于二阶混合偏导数的几个定理
义的.现将这6个定理抄录于下:
定理):(1)函数f(x,’y)定义于开域G;
(2)在G中存在一阶偏导数{
’(.)存在,且 (3】在点P(xo,Yo)的某邻域中,仅知混合偏导数之一,例如
重极限
“m,,)一A
一
+
存在,则在点P(xo,yo)另一个混合偏导数,,’y)也存在.且
厶(,Y0)一(0,Y0)
定理):设,和丘在点P(xo,)的某邻域内存在,,在P(x.,yo)ff:~,则(..
)也存在,且:
(z0,Y0)=.(o,0)
定理(c):若’(z,Y),,(,’y)都在点P(x.,Y.)连续,则
,(zo,.)一.,(zo,Yo)
定理(D):设,在点P(zo,Yo)的某邻域内存在,且在点P(x.,弘)可徽.则
(如,Y0)一(z0,Y0)
定理)[2]:若f(x,j,)满足:
(1)’,’y),,,)在点尸(z.,Y.)某邻域内存在;
(2),,’y)在点P(x.,o)对z连续,,’y)在点P(x..Yo)关于Y连续,则:
(zo,Y.)=(.,)
定理):若函数f(x,’y)满足:(1),及’)
同样.若丘0,)在点P1(1,M)?U1(Po)不连续,则对某>o,在点P1(,Y1)无论多么小
的邻域(P)CU()中,必有点(,Y),使得
I(:,Y2)一(z1,Y2)l>(2)
若,,jr)在Po(,Yo)连续,对任何0<e<min(,,2),存在d>0,使对邻域U(P..d):
一
o)+(y一)<中任何点P(x,),有
l(z.)一(.,Y.)l<‚’
现用反证法设丘(z.)在点Po不连续,于是在邻域u()CU(P.,d)中,存在点P
使不等式(1)成立,而由于?U(P.,d),故
l(z1,Y)一’(,Y.)l<‚(3)’
又根据定理条件及定理,有
l丘(而,y1)一厶(xo,Yo)l=l(Y)一丘(Yo)I>,1>,
故与不等式(3)比较,知
‘(,y)?,(而,y)
根据定理知厶(z,)在点P(,y1)必不连续.故在点P1(,y1)的邻域u(P1)CU(P.)
中,存在点P:(xz,y:).使得不等式(2)成立
又由于Pz(x,,)?U(Po,
当xy?0时
当一0且z?0时
当=0且Y?0时
当z—O且一O时
易得:,)=』2船1COS{当?.时
{0其它
,)一f2sin1一c.s了1当?.时
I一0其它
它们在原点都间断,因而,在原点不可微.然而,)一(z,)=0,包括原点在
内是
连续的,因而混合偏导数,)连续,不蕴含,可微,即定理A(B,c)不包含定
理D,从
而定理E,F更不可能包含定理D.
例2:设f(x,y)一?’+.in南当+?.时
‘0当.T-+Y;0时
易证:(z,),(z,(毋,C).
例3;设,,)』sin1当?0时
l0其它
容易计算:
,)一{.yZsin专当?.时
l0其它
山东建筑工程学院1995拉
,当时
.,)=4sin一2一s当?.时
0.0)=0.o)一0
现在取x:veO.;O,剥在点(口.o)
lim(z.O)=(.o)
一
所以,,0)在点(o一0)关于一元连续一而在点(o,o),lim丘(“)不存在,从
而(
)关于Y在点.,0)不连续,因而有:
(0)定理F的条件.不包含定理E的条件,故定理F确实比定理E优越
从文献5及倒1.可以知道:
(10)定理E(F)与定理D是相互独立的.
倒4;设m;j)()8高?o时
l0当一+=0时
z城n一努cosY?+?+?+
()(..+xz+2x)丽1,丽y(x-}-y)cos丽1
(x,y)=2(x-}-y)sin一cos秀
一
x~y
可-}-yZxcos南(+)一F
由丘,y)的
表
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选式可见:,,o)关于在原点是不连续的,恩理丘(0,)在原点
关于Y也
不连续.然而,
(o—o)一(o.0)
都成立可[标签:快照]
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