UPFC+状态反馈精确线性化潮流控制策略

第 32 卷 第 19 期 中 国 电 机 工 程 学 报 Vol.32 No.19 Jul.5, 2012 42 2012 年 7 月 5 日 Proceedings of the CSEE ©2012 Chin.Soc.for Elec.Eng. 文章编号：0258-8013 (2012) 19-0042-07 中图分类号：TM 76；TP 13 文献标志码：A 学科分类号：470·40 UPFC 状态反馈精确线性化潮流控制策略 阎博 1，汪可友 2，Mariesa L. CROW2，江道灼 1，甘德强 1 (1．浙江大学电气工程学院，浙江省 杭州市 310027； 2．密苏里科技大学，美国 罗拉市 MO 65401) UPFC Power Flow Control Strategy Based on Exact Linearization via Feedback YAN Bo1, WANG Keyou2, Mariesa L. CROW2, JIANG Daozhuo1, GAN Deqiang1 (1. College of Electrical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, Zhejiang Province, China; 2. Missouri University of Science and Technology, Rolla MO 65401, USA) ABSTRACT: The performance of the traditional linear controller applied to unified power flow controller (UPFC) may be deteriorated due to a large-range change of the operating condition. In order to solve this problem, a new nonlinear power flow control strategy for UPFC based on exact linearization via feedback was presented. A 5th-order UPFC nonlinear model was firstly linearized via selection of a Lyapunov-like output function, an appropriate nonlinear coordinate transformation and state variable feedback. Then pole placement was applied to the transformed linear system to design the UPFC internal controller. The simulation results on IEEE 118-bus system demonstrated that the proposed control overcomes the inherent drawback of traditional PI control, adapts to a wider range of operating conditions, and provides better performance on power system transient stability improvement than PI control. Furthermore, the design method of control strategy presented in this paper can be applied to other voltage source converter (VSC)-based FACTS devices. KEY WORDS: power systems; flexible AC transmission system (FACTS); unified power flow controller (UPFC); exact linearization via feedback; nonlinear control; transient stability 摘要：统一潮流控制器(unified power flow controller，UPFC) 传统线性控制器的性能可能因运行点的大范围变化而恶化， 针对该问题提出了一种基于微分几何状态反馈精确线性化 理论的 UPFC 非线性潮流控制策略。通过选择李雅普诺夫型 输出函数、适当的非线性坐标变换和状态反馈将 UPFC 的 5 阶非线性系统完全转化为一个线性系统，然后采用线性极点 配置 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 设计了 UPFC 内部潮流控制器。IEEE 118 节点系 统的仿真对比结果 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，所提 UPFC 潮流控制策略改进了传 基金项目：国家 863 高技术基金项目(2008AA05Z213)。 The National High Technology Research and Development of China 863 Program (2008AA05Z213). 统 PI 控制近似线性化的缺陷，有效适应了 UPFC 控制范围 的大幅度变化，在提高电力系统暂态稳定性方面的效果明显 优于传统 PI 控制。此外，该控制策略设计过程可以应用于 所有基于电压源型换流器(voltage source converter，VSC)的 柔性交流输电系统(flexible AC transmission system，FACTS) 装置。 关键词：电力系统；柔性交流输电；统一潮流控制器；状态 反馈精确线性化；非线性控制；暂态稳定 0 引言 在柔性交流输电系统(flexible AC transmission system，FACTS)控制器家族中，统一潮流控制器 (unified power flow controller，UPFC)[1-2]是目前公认 的综合功能最为强大的成员之一。UPFC 综合了串 联型和并联型 FACTS 装置的优点，可以快速调节 线路潮流并提高电力系统的各种动态性能。广义的 UPFC 控制系统包括外部控制、内部控制和门级控 制 3 个层级[3]。其中内部控制体现了将系统设定的 潮流运行点指令通过一定的算法精确转化为电压 源型换流器(voltage source converter，VSC)输出电 压指令的能力，是 UPFC 实现调节潮流和各种动态 功能的基础，因此成为了学术界研究的重点。 目前大多数 UPFC 内部控制策略都采用将非线 性模型在平衡点处近似线性化的方法[4-12]，但由于 电力系统和 UPFC 的非线性特性，当系统受到大扰 动时，运行点的大范围变化可能使 UPFC 控制器性 能恶化、可控参数域减小甚至失去稳定性[13-14]。 近年来，基于微分几何的状态反馈精确线性化 理论[15-17]的快速发展为解决非线性控制问题提供 了一条新途径，由于在坐标变换中不损失系统状态 第 19 期 阎博等：UPFC 状态反馈精确线性化潮流控制策略 43 信息，有效克服了传统近似线性化方法带来的本质 缺陷，因此被越来越多地应用于电力电子装置和 FACTS 控制器的设计中[18-24]。文献[18-19]应用精确 线性化方法分别设计了有源电力滤波器 (active power filter，APF)和 Boost 变换器的控制策略。文 献[20]将精确线性化方法引入 UPFC 控制器设计 中，但仅对 UPFC 4 个控制变量中的 1 个进行了精 确线性化，文献[21]仅对 UPFC 并联侧静止同步补 偿器(static synchronous compensator，STATCOM)采 用了精确线性化，而对串联侧静止同步串联补偿器 (static synchronous series compensator，SSSC)采用开 环控制；因此文献[20-21]本质上属于线性与非线性 混合控制方法。文献[22]采用精确线性化方法设计 了链式 D-STATCOM 的控制策略，但在建模中未考 虑直流电压的动态行为。文献[23]在对 UPFC 进行 精确线性化设计时将系统进行了降阶简化处理。文 献[24]仅对 UPFC 精确线性化控制在单机无穷大系 统中的稳态潮流控制进行了研究。综上，现有文献 在进行 FACTS 装置的精确线性化控制设计过程中 进行了不同程度的简化[20-23]，并且缺乏在大系统环 境中的验证和对系统动态特性的研究[24]。 本文对 UPFC 标准 5 阶非线性模型进行了完整 的状态反馈精确线性化控制策略设计。首先从数学 上证明了该系统满足可精确线性化的条件，然后通 过选择李雅普诺夫型输出函数和适当的坐标变换 将非线性系统线性化为 Brunovsky 标准型，最后采 用极点配置方法得出控制律。IEEE 118 节点系统的 仿真结果表明，本文所提 UPFC 控制策略在提高系 统暂态稳定性上的效果明显优于传统 PI 控制。此 外，本文的控制策略设计过程可以推广至所有基于 VSC 的 FACTS 装置(STATCOM、SSSC、M-UPFC、 IPFC、VSC-HVDC 等)，因此具有普适意义。 1 UPFC 非线性数学模型 UPFC 的单相等效电路如图 1 所示，其在 dq 坐 标系下的数学模型可以写为 L1 C IPsh, Qsh P, Q Tsh VSC1 L2 Pse, Qse Us Ur Tse VSC2 Udc e2 R2 I2e1R1 I1 图 1 UPFC 单相等效电路图 Fig. 1 UPFC equivalent circuit 1 1 1 1 1 1 1 s 1 1 1 1 1 1 1 s 2 2 2 2 2 2 2 s r 2 2 2 2 2 2 2 s r dc dc 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 dc 1 1 dc 1 1 dc d d d d d d d d d 3 ( ) d 2 cos d d q d d q q d q q d d q d d d q q d q q q d d q q d d q q d q iL R i L i e u t i L R i L i e u t iL R i L i e u u t i L R i L i e u u t UCU e i e i e i e i t e k U u U e k U ω ω ω ω δ = − + + − = − − + − = − + + + − = − − + + − = − + + + = = = 1 2 dc 2 2 dc 2 3 dc 2 2 dc 2 4 dc sin cos sin d q u U e k U u U e k U u U δ δ δ ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =⎪⎪ = =⎪⎪ = =⎩ (1) 式(1)中前 5个方程描述了UPFC的交流和直流 侧动态过程；后 4 个方程中 e1d、e1q、e2d、e2q分别 为 2 个 VSC 输出电压的 d、q 分量，k1、k2和 δ 1、 δ 2为 2个VSC的脉宽调制的调制比和相角。将式(1) 整理为仿射非线性系统的标准形式[17]，即 ( ) ( )= +x f x g x u� (2) 式中：x = [x1 x2 x3 x4 x5]T = [i1d i1q i2d i2q Udc]T； u = [u1 u2 u3 u4]T= [k1cosδ 1 k1sinδ 1 k2cosδ 2 k2sinδ 2]T； 1 1 2 1 s 1 1 2 1 s 2 3 4 2 rs 3 2 4 2 rs ( ) 0 d q d q a x x b u x a x b u a x x b u x a x b u ω ω ω ω + −⎡ ⎤⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥= + −⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ f x ， a1 = −R1 / L1 ， a2 = −R2 / L2，ursd = urd − usd，ursq = urq − usq；g(x) = [g1 g2 g3 g4] = 1 5 1 5 2 5 2 5 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b x b x b x b x cx cx cx cx ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ，b1 = 1 / L1， b2 = 1 / L2，c = −3 / (2C)。 由式(2)可见，UPFC 的非线性特性主要体现在 模型中存在状态变量与控制量的相乘项，这种仿射 非线性系统也称为双线性系统[24]。 2 状态反馈精确线性化条件 式(2)所示非线性系统精确线性化的条件可以 表达如下[16-17]： 1）矩阵 G = [g1 g2 g3 g4 [f, g1]]是非奇异的。 2）5 个向量场集合 D1 = {g1}、D2 = {g1, g2}、 D3 = {g1, g2, g3}、D4 = {g1, g2, g3, g4}、D5 = {g1, g2, g3, g4, [f, g1]}中的每一个都是对合的。 44 中 国 电 机 工 程 学 报 第 32 卷 Lie 括号[f, g1]的定义和上述条件的证明过程见 附录 A。经证明，式(2)所示 UPFC 非线性系统在所 有可行的平衡运行点均满足可精确线性化的条件。 3 状态反馈精确线性化控制设计 3.1 输出函数选择 式(2)所示 5阶 4输入系统满足可精确线性化的 条件，则必存在 4 个输出函数 h1(x)—h4(x)，使得它 们对系统的关系度之和满足[16-17] 1 2 3 4 5r r r r n+ + + = = (3) 亦即输出函数对系统的关系度集合为 1 2 3 4{ , , , } {2,1,1,1}r r r r r= = (4) 根据多输入多输出系统关系度的定义，若 r1 = 2，则 h1(x)需满足以下偏微分方程组 1 2 3 4 1 1 1 1 5 1 1 5 1 1 1 1 5 2 2 5 1 1 1 2 5 3 3 5 1 1 1 2 5 4 4 5 ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 g g g g h hL h b x cx x x h hL h b x cx x x h hL h b x cx x x h hL h b x cx x x ∂ ∂⎧ = + =⎪ ∂ ∂⎪ ∂ ∂⎪ = + =⎪ ∂ ∂⎪⎨ ∂ ∂⎪ = + =⎪ ∂ ∂⎪ ∂ ∂⎪ = + =∂ ∂⎪⎩ x xx x xx x xx x xx (5) 式(5)存在一个类似于李雅普诺夫函数的解 2 2 2 2 21 1 1 2 2 3 4 5 3 3 1( ) ( ) ( ) 4 4 2 h L x x L x x Cx= + + + +x (6) 式(6)的物理意义为 UFFC 滤波电感和直流电 容中储存的能量。实际上如果从耗散系统和能量储 存函数[17,25]的角度出发可以得到相同的结果。 原则上其他3个输出函数h2(x)—h4(x)的选择有 很大的自由度[24]，但考虑到 UPFC 的主要功能为串 联侧控制有功和无功潮流、并联侧补偿无功，为了 简化计算，选择 2 2 1 3 3 2 4 4 2 ( ) ( ) ( ) q d q h x i h x i h x i = =⎧⎪ = =⎨⎪ = =⎩ x x x (7) 3.2 坐标变换与反馈线性化 选择从 x 空间到 z 空间的坐标变换如下 11 12 3 2 4 3 5 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f hz L hz z h z h z h ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x z x x x x Φ (8) 对式(8)求导可得 1 4 2 1 1 11 4 2 2 2 13 4 4 3 3 5 1 4 4 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j f f g f j j f g j j f g j j f g j j L h L h L L h u z z L h L h u z z L h L h uz L h L h u = = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ x x x x x z x x x x � � � � � � (9) 定义新的控制向量 ( ) ( )= + =v a x b x u 4 1 1 2 4 11 2 122 4 3 3 3 4 14 4 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j g f j j f g j jf f g j jf g j j L L h u L hv L h u L hv v L h L h u v L h L h u = = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ x x x x x x x x (10) 则原非线性系统(2)已被精确线性化为如下所示的 Brunovsky 标准型： = +z Az Bv� (11) 式中： 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ A ； 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ B 。 矩阵[B AB]的秩为 5，所以该线性系统可控。 设线性反馈控制律为 = −v Kz (12) 若令反馈增益矩阵 K 具有如下形式 1 2 1 2 3 4 5 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ λ λ λ λ λ λ − +⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ K (13) 则线性系统(11)的特征方程为 det( ( ))s − − =I A BK 1 2 3 4 5( )( )( )( )( ) 0s s s s sλ λ λ λ λ− − − − − = (14) 即系统的 5 个特征根为 λ 1—λ 5。这样就可以通过极 点配置的方法来确定反馈增益矩阵 K 和线性系统 的控制律 v，随后根据式(10)可求出原非线性系统的 控制律 u。 第 19 期 阎博等：UPFC 状态反馈精确线性化潮流控制策略 45 1( ) ( ( ))−= −u b x v a x (15) 式中： 2 T1 2 3 4( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]f f f fL h L h L h L h=a x x x x x ； 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g f g f g f g f g g g g g g g g g g g g L L h L L h L L h L L h L h L h L h L h L h L h L h L h L h L h L h L h ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ x x x x x x x x b x x x x x x x x x 。 式(18)中矩阵a(x)与b(x)中相关Lie导数的计算 过程以及 b(x)的可逆性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 参见附录 B。 3.3 控制系统平衡点 控制系统的目标是使状态变量收敛至平衡点 (即控制参考值)，因此实际上线性反馈控制 v 应是 状态变量差值的函数，即式(12)应改写为 ( )∗= − Δ = − −v K z K z z (16) 平衡点 z*是由原非线性系统平衡点 x*按照式(8)变 换后得来。 UPFC 的典型控制模式为：串联侧控制线路潮 流 P、Q，并联侧控制无功电流 i1q 和直流电压 Udc。 x2*(i1*q)和 x5*(Ud*c)由上一层的外部控制直接给出， x3*(i2*d)和 x4*(i2*q)可以根据瞬时功率理论由潮流指令 P*、Q*算出[10]： r r 3 2 2 2 r r r r 4 2 2 2 r r 2( ) 3( ) 2( ) 3( ) d q d d q q d q d q P u Q u x i u u P u Q u x i u u ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎧ += =⎪ +⎪⎨ −⎪ = =⎪ +⎩ (17) 剩余的一个平衡点 x1*(i1*d)可由系统的平衡状态 方程组求出。在式(2)中令 =x� 0可得 ( ) ( )= + =x f x g x u� 0 (18) 将 x2*—x5*代入式(18)所示的 5 阶方程组中即可 解出最后一个平衡点 x1*(i1*d)： 2 1 1 4 2d x i β β γ∗ ∗ − + −= = (19) 式中：β = −b1usd / a1；γ = x2*2 + a2b1(x3*2 + x4*2) / (a1b2) − b1(usq x2* + ursd x3* + ursq x4*) / a1。 4 算例仿真 本文提出的状态反馈精确线性化控制策略示 意图如图 2 所示。为了验证该控制策略在大系统环 境中的有效性，采用 IEEE 118 节点系统进了仿真分 析，并和传统 PI 控制策略[12]的效果进行了对比。 系统的详细结构和参数可通过文献[26]所示网址在 线获取。UPFC 安装于线路 37-40 中靠近节点 37 的 UPFC 模型 + − u 线性控制 v Δz 坐标变换 z* z x* x x5*(Ud*c) x3*(i2*d) x2*(i1*q) x4*(i2*q) P* Q* 控制指令 式(19) 式(2) ( ) ( )= +x f x g x u� u = b−1(v − a) 式(15) v = − KΔz 式(16) z = Φ (x) 式(8) z = Φ (x) 式(8) 式(17) 图 2 UPFC 状态反馈精确线性化控制框图 Fig. 2 UPFC feedback linearization control scheme 位置，UPFC 参数和控制参数参见附录 C。 t = 0.1 s 时节点 37 发生三相短路故障，0.1 s 后 切除故障，UPFC 暂态响应如图 3 所示，图中两曲 t/s (a) i1*d i 1d /p u −0.25 0.0 −0.20 −0.10 0.10 0.00 0.4 0.8 1.0 −0.15 0.05 −0.05 0.2 0.6 PI FBLC t/s (b) i1*q i 1q /p u −0.15 0.0 −0.10 0.10 0.00 0.4 0.8 1.0 0.05 −0.05 0.2 0.6 PI FBLC t/s (c) i2*d i 2d /p u −0.1 0.0 0.0 0.2 0.6 0.4 0.4 0.8 1.0 0.1 0.5 0.3 0.2 0.6 PI FBLC t/s (d) i2*q i 2q /p u −0.1 0.0 0.0 0.2 0.6 0.4 0.4 0.8 1.0 0.1 0.5 0.3 0.2 0.6 PI FBLC 46 中 国 电 机 工 程 学 报 第 32 卷 t/s (e) 直流电压 Udc U dc /p u 0.93 0.0 0.94 0.96 1.00 0.98 0.4 0.8 1.0 0.95 0.99 0.97 0.2 0.6 PI FBLC t/s (f) 交流电压 Us U s/p u 0.93 0.0 0.94 0.98 0.96 0.4 0.8 1.0 0.97 0.95 0.2 0.6 PI FBLC −0.1 0.0 0.2 0.6 0.4 0.1 0.5 0.3 t/s (g) 线路有功功率 P P/ pu 0.0 0.4 0.8 1.00.2 0.6 PI FBLC t/s (h) 线路无功功率 Q Q /p u −0.4 0.0 −0.3 0.1 −0.1 0.4 0.8 1.0 0.0 −0.2 0.2 0.6 PI FBLC 图 3 系统故障后 UPFC 暂态响应 Fig. 3 UPFC transient response after fault 线分别代表 PI 控制和反馈线性化控制(feedback linearization control，FBLC)。 图3(a)—(e)所示为UPFC模型的5个状态变量， 可见本文提出的 FBLC 控制在故障后可以使 UPFC 状态变量平稳快速地恢复初始值，基本无波动和震 荡，响应速度明显优于 PI 控制。由图 3(f)—(h)可见， 2 种控制策略都能使故障后的系统电压和潮流恢复 至设定值，在 PI 控制下存在较大的振荡和超调，而 在 FBLC 控制下波形平滑，无超调和波动，故障后 的恢复时间亦远小于 PI 控制。 5 结论 本文提出了一种新的 UPFC 非线性控制策略。 基于微分几何的状态反馈精确线性化理论，通过选 择适当的输出函数、坐标变换和状态反馈将UPFC 5 阶非线性模型完全转化为一个可控的 Brunovsky 标 准型，再通过极点配置法完成控制设计。IEEE 118 节点系统的仿真结果表明，与传统 PI 控制相比，该 控制策略可以更好地适应系统运行点的大范围变 化，更显著地提高系统故障后的暂态稳定性。该控 制策略的设计过程同样适用于所有基于 VSC 的 FACTS 装置(STATCOM、SSSC、M-UPFC、IPFC、 VSC-HVDC 等)，具有典型意义。 本文所提 UPFC 内部控制策略可以与外部控制 (系统级)相结合以便为电力系统提供更多支持，如 抑制低频振荡等；此外，如何克服 UPFC 和系统参 数的不确定性对控制的干扰也是值得研究的问题。 这些将是今后研究的关注点。 参考文献 [1] Gyugyi L，Schauder C D，Williams S L，et al．The unified power flow controller ： a new approach to power transmission control[J]．IEEE Trans. on Power Delivery， 1995，10(2)：1085-1097． [2] Hingorani N G，Gyugyi L．Understanding FACTS： concepts and technology of flexible AC transmission systems[M]．New York：IEEE Press，2000：297-333． [3] Guo J，Crow M L，Sarangapani J．An improved UPFC control for 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⎥⎪⎪ ⎢ ⎥⎨ = ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪ = ≠⎩ g gg g g g x x g g g g (A5) 由式(A5)可见，矩阵[g1 g2]与其增广矩阵[g1 g2 [g1,g2]] 的秩都为 2，D2 = {g1, g2}是对合的。 采用类似步骤计算相关 Lie 括号并检验增广矩阵的秩， 可依次验证 D3、D4、D5的对合性，在此限于篇幅不再赘述。 条件 2 得证。 附录 B 式(15)中矩阵元素涉及的 Lie 导数的定义和计算过程为 11 1 ( )( ) ( ) 0, 1,2,3,4 jg j j hL h h j∂= = ∇ = =∂ xx g x g x (B1) 式中 ∂h1(x) / ∂x = ∇h1(x)为标量函数 h1(x)的梯度向量。 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 3 4 s 1 s 2 rs 3 rs 4 1 1 1 1 1 s 1 5 1 1 2 s 1 5 ( ) 1.5[ ( ) ( ) ] ( ( )) ( ) 1.5(2 ) ( ) 1.5(2 ) f d q d q f g f d g f q L h R x x R x x u x u x u x u x L h L L h R x u b x L L h R x u b x ⎧ = − + + + + +⎪ + +⎪⎪⎨ ∂= = − +⎪ ∂⎪ = − +⎪⎩ x x x g x x (B2) 3 4 1 2 3 rs 2 5 1 2 4 rs 2 5 12 1 T 1 1 s 1 1 2 1 s 1 2 s 1 1 2 1 s 2 3 rs 2 3 4 2 rs 2 4 rs 3 2 ( ) 1.5(2 ) ( ) 1.5(2 ) ( ( )) ( ) ( ) 2 2 1.5 2 2 0 g f d g f q f f d d q q d d q L L h R x u b x L L h R x u b x L h L h R x u a x x b u R x u x a x b u R x u a x x b u R x u x a x ω ω ω ω = − + = − + ∂= =∂ + + −⎡ ⎤⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + + −⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ x x x x f x x 2 3 4 4 2 rs 2 1 5 2 3 2 5 2 4 2 5 2 2 1 1 2 1 s 3 2 3 4 2 rs 4 3 2 4 2 rs 0 ( ) , ( ) 0, 1,3,4 ( ) , ( ) 0, 1,2,4 ( ) , ( ) 0, 1,2,3 ( ) ( ) ( ) j j j q g g g g g g f q f d f q b u L h b x L h j L h b x L h j L h b x L h j L h x a x b u L h a x x b u L h x a x b u ω ω ω ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦ = = = = = = = = = = − + −