常微分方程数值解

常微分方程数值解nullnull第十章常微分方程数值解第一节求解初值问题数值方法的基本原理第二节高精度的单步法第三节线性多步法第四节一阶微分方程组的解法第五节边值问题的打靶法和差分法null考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:第一节求解初值问题数值方法的基本原理数值解(10-1)一、初值问题的数值解null求解(10-1)最基本的方法是单步法典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:例:求解常微分方程初值问题null由此可见...

nullnull第十章常微分方程数值解第一节求解初值问题数值方法的基本原理第二节高精度的单步法第三节线性多步法第四节一阶微分方程组的解法第五节边值问题的打靶法和差分法null考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:第一节求解初值问题数值方法的基本原理数值解(10-1)一、初值问题的数值解null求解(10-1)最基本的方法是单步法典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:例:求解常微分方程初值问题null由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值.null二、构造初值问题数值方法的基本途径以Euler法为例说明构造IVP问题数值方法的三种基本途径1. 数值微分法,用差商代替微商亦称为欧拉折线法 2. Taylor展开法null忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式3. 数值积分法区间null隐式欧拉法 /* implicit Euler method */由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。三、Euler法的改进及梯形公式null梯形公式 /* trapezoid formula */— 显、隐式两种算法的平均中点欧拉公式 /* midpoint formula */改进欧拉法 /* modified Euler’s method */null注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。一方面它有较高精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。nullnull四、单步法的误差分析和稳定性1. 整体截断误差和局部截断误差分析计算中的某一步,显式单步法的一般形式可写为:null定义　　　若某算法的局部截断误差为，则称该算法有p 阶精度。欧拉法的局部截断误差,由Taylor展开:欧拉法具有 1 阶精度。类似可以证明改进的Euler方法具有2阶精度2. 收敛性和整体截断误差　　　若某算法对于任意固定的 x = x0 + n h，当 h0 ( 同时 n  ) 时有 yn y( xn )，则称该算法是收敛的。定义null解：该问题的精确解为欧拉公式为关于整体截断误差与局部截断误差的关系,有如下定理null由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶于是有设L为f关于y的Lipschitz常数,则由上式可得限定h即可知Q满足Lipschitz条件,故而改进的Euler法收敛.null 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101 1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.76561041.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.76561011.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.05901073. 稳定性null定义　　　若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的 /*absolutely stable */。一般分析时为简单起见，只考虑试验方程 /* test equation */常数，可以是复数null可见绝对稳定区域为：注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。null第二节高精度的单步法在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法一、Runge-Kutta法的基本思想（1）nullnullRunge-Kutta法的基本思想（2）nullnullRunge-Kutta法的基本思想（3）null二、二阶龙格－库塔方法nullnullnullnull三、三阶龙格－库塔方法null四、四阶龙格－库塔方法nullnullnull两点说明:null五、变步长的龙格—库塔方法R-K方法的绝对稳定区域R-K方法的绝对稳定区域null

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