弦切角定理及练习

切线长定理及弦切角练习题 (一)填空 1.已知:如图7-143,直线BC切⊙O于B点,AB=AC,AD=BD,那么∠A=____. 2.已知:如图7-144,直线DC与⊙O相切于点C,AB为⊙O直径,AD⊥DC于D,∠DAC=28°侧∠CAB=____ . 3.已知:直线AB与圆O切于B点,割线ACD与⊙O交于C和D 4.已知:如图7-145,PA切⊙O于点A,割线PBC交⊙O于B和C两点,∠P=15°,∠ABC=47°,则∠C= ____. 5.已知:如图7-146,三角形ABC的∠C=90°,内切圆O与△ABC的三边分别切于D, E,F三点,∠DFE=56°,那么∠B=____. 6.已知:如图 7-147,△ABC内接于⊙O,DC切⊙O于C点,∠1=∠2,则△ABC为____ 三角形. 7.已知:如图7-148,圆O为△ABC外接圆,AB为直径,DC切⊙O于C点,∠A=36°,那么∠ACD=____. (二)选择 8.已知:△ABC内接于⊙O,∠ABC=25°,∠ACB= 75°,过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P,则∠APB等于 [ ] A.62.5°; B.55°; C.50°; D.40°. 9.已知:如图 7-149,PA,PB切⊙O于A,B两点,AC为直径,则图中与∠PAB相等的角的个数为 [ ] A.1 个; B.2个; C.4个; D.5个. 10.已知如图7-150,四边形ABCD为圆内接四边形,AB是直径,MN切⊙O于C点,∠BCM=38°,那么∠ABC的度数是 [ ] A.38°; B.52°; C.68°; D.42°. 11.已知如图7-151,PA切⊙O于点A,PCB交⊙O于C,B两点,且 PCB过点 O,AE⊥BP交⊙O于E,则图中与∠CAP相等的角的个数是 [ ] A.1个; B.2个; C.3个; D.4个. (三)计算 12.已知:如图7-152,PT与⊙O切于C,AB为直径,∠BAC=60°,AD为⊙O一弦.求∠ADC与∠PCA的度数. 13.已知:如图7-153,PA切⊙O于A,PO交⊙O于B,C,PD平分∠APC.求∠ADP的度数. 14.已知:如图7-154,⊙O的半径OA⊥OB,过A点的直线交OB于P,交⊙O于Q,过Q引⊙O的切线交OB延长线于C,且PQ=QC.求∠A的度数. 15.已知:如图7-155,⊙O内接四边形ABCD,MN切⊙O于C,∠BCM=38°,AB为⊙O 直径.求∠ADC的度数. 16.已知:如图7-156,PA,PC切⊙O于A,C两点,B点 17.已知:如图 7-157,AC为⊙O的弦,PA切⊙O于点A,PC过O点与⊙O交于B,∠C=33°.求∠P的度数. 18.已知:如图7-158,四边形ABCD内接于⊙O,EF切⊙O 19.已知 BA是⊙O的弦,TA切⊙O于点A,∠BAT= 100°,点M在圆周上但与A,B不重合,求∠AMB的度数. 20.已知:如图7-159,PA切圆于A,BC为圆直径,∠BAD=∠P,PA=15cm,PB=5cm.求BD的长. 21.已知:如图7-160,AC是⊙O直径,PA⊥AC于A,PB切⊙O于B,BE⊥AC于E.若AE=6cm,EC=2cm,求BD的长. 22.已知:如图7-161所示,P为⊙O外一点,PA切⊙O于A,从PA中点M引⊙O割线MNB,∠PNA=138°.求∠PBA的度数. 23.已知:如图7-162,DC切⊙O于C,DA交⊙O于P和B两点,AC交⊙O于Q,PQ为⊙O直径交BC于E,∠BAC=17°,∠D=45°.求∠PQC与∠PEC的度数. 24.已知:如图 7-163,QA切⊙O于点A,QB交⊙O于B 25.已知:如图7-164,QA切⊙O于A,QB交⊙O于B和C 26.已知:在图7-165中,PA切⊙O于A,AD平分∠BAC,PE平分∠APB,AD=4cm,PA=6cm.求EP的长. 27.已知;如图7-166,PA为△ABC外接圆的切线,A 为切点,DE∥AC, PE=PD.AB=7cm, AD=2cm.求DE的长. 28.已知:如图 7-167,BC是⊙O的直径,DA切⊙O于A,DA=DE.求∠BAE的度数. 29.已知:如图 7-168,AB为⊙O直径,CD切⊙O于CAE∠CD于E,交BC于F,AF=BF.求∠A的度数. 30.已知:如图7-169,PA,PB分别切⊙O于A,B,PCD为割线交⊙O于C,D.若 AC=3cm, AD=5cm,BC= 2cm,求DB的长. 31.已知:如图7-170, ABCD的顶点A,D,C在圆O上,AB的延长线与⊙O交于M, CB的延长线与⊙O交于点N,PD切⊙O于D,∠ADP=35°,∠ADC=108°.求∠M的度数. 32.已知:如图7-171,PQ为⊙O直径,DC切⊙O于C,DP交⊙O于B,交CQ延长线于A,∠D=45°,∠PEC=39°.求∠A的度数. 33.已知:如图 7-172,△ABC内接于⊙O,EA切⊙O于A,过B作BD∥AE交AC延长线于D.若AC=4cm,CD= 3cm,求AB的长. 34.已知:如图7-173,△ABC内接于圆,FB切圆于B,CF⊥BF于F交圆于 E,∠1=∠2.求∠1的度数. 35.已知:如图7-174,PC为⊙O直径,MN切⊙O于A,PB⊥MN于B.若PC=5cm,PA=2cm.求PB的长. 36.已知:如图7-175,AD为⊙O直径,CBE,CD分别切⊙ 37.已知:如图7-176,圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心,AD,BC的延长线相交于E,过C点的切线CF⊥AE于F.求证: (1)△ABE为等腰三角形; (2)若 BC=1cm,AB=3cm,求EF的长. 38.已知:如图7-177,AB,AC切⊙O于B,C,OA交⊙O于F,E,交BC于D. (1)求证:E为△ABC内心; (2)若∠BAC=60°,AB=a,求OB与OD的长. (四)证明 39.已知:在△ABC中,∠C=90°,以C为圆心作圆切AB边于F点,AD,BC分别与⊙C 切于D,E两点.求证:AD∥BE. 40.已知:PA,PB与⊙O分别切于A,B两点,延长OB到C, 41.已知:⊙O与∠A的两边分别相切于D,E.在线段AD,AE(或在它们的延长线)上各取一点B,C,使DB=EC.求证:OA⊥BC. ⊥EC于H,AO交BC于D.求证: BC·AH=AD·CE. *43.已知:如图7-178,MN切⊙O于A,弦BC交OA于E,过C点引BC的垂线交MN于D.求:AB∥DE. 44.已知:如图7-179,OA是⊙O半径,B是OA延长线上一点,BC切⊙O于C,CD⊥OA 于D.求证:CA平分∠BCD. 45.已知:如图7-180,BC是⊙O直径,EF切⊙O于A点,AD⊥BC于D.求证:AB平分∠DAE,AC平分∠DAF. 46.已知:如图7-181,在△ABC中,AB=AC,∠C= 2∠A,以 AB为弦的圆 O与 BC切干点 B,与 AC交于 D点.求证:AD=DB=BC. 47.已知:如图7-182,过△ADG的顶点A作直线与DG的延长线相交于C,过G作△ADG 的外接圆的切线二等分线段AC于E.求证:AG2=DG·CG. 48.已知:如图7-183,PA,PB分别切⊙O于A,B两点,PCD为割线.求证:AC·BD=BC·AD. BC=BA,连结AC交圆于点E.求证:四边形ABDE是平行四边形. 50.已知:如图7-185,∠1=∠2,⊙O过A,D两点且交AB,AC于E,F,BC切⊙O于D.求证:EF∥BC. 51.已知:如图7-186,AB是半圆直径,EC切半圆于点C,BE⊥CE交AC于F.求证: AB=BF. 52.已知:如图7-187,AB为半圆直径,PA⊥AB,PC切半圆于C点,CD⊥AB于D交PB 于M.求证:CM=MD. (五)作图 53.求作以已知线段AB为弦,所含圆周角为已知锐角∠α(见图7-188)的弧(不写作法,写出已知、求作,答出所求). 54.求作一个以α为一边,所对角为∠α,此边上高为h的三角形. 55.求作一个以a为一边,m为此边上中线,所对角为∠α的三角形(不写作法,答出所求). 切线长定理及弦切角练习题(答案) (一)填空 1.36° 2.28° 3.50° 4.32° 5.22° 6.等腰 7.54° (二)选择 8.C 9.D 10.B 11.C (三)计算 12.30°,30°. 13.45°.提示:连接AB交PD于E.只需证明∠ADE=∠AED,证明时利用三角形外角定理及弦切角定理. 14.30°.提示:因为PQ=QC,所以∠QCP=∠QPC.连接OQ,则知∠POQ与∠QCP互余.又∠OAQ=∠OQA与∠QPC互余,所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA.而它们的和为90°(因为∠AOC=90°).所以∠OAQ=30° 16.67.5°.提示:解法一连接AC,则∠PAC=∠PCA.又∠P=45°,所以∠PAC=∠PCA=67.5°.从而∠B=∠PAC=67.5°. 解法二? 连接OA,OC,则∠AOC=180°-∠P=135°,所以 17.24°.提示:连接OA,则∠POA=66°. 18.60°.提示:连接BD,则∠ADB=40°,∠DBC=20°.设∠ABD=∠BDC(因为AB//CD) =x°,则因∠B+∠D=180°,所以2x°+60°=180°,x°=60°,从而∠ADE=∠ABD=60°. 19.100°或80°.提示: M可在弦AB对的两弧的每一个上. 从而 22.42°.提示:∠ABM=∠NAM.于是显然△ABM∽△NAM, NMP,所以△PMB∽△NMP,从而∠PBM=∠NPM.再由∠ABM=∠NAM,就有 ∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM =180°-∠PNA=42°. 23.28°,39°.提示:连接PC. 24.41°.提示:求出∠QAC和∠ACB的度数. 25.100°. 以DB=9.因为2DP2=2×9,由此得DP2=9.又DP>0,所以DP=3,从而,DE=2×3=6(cm). 28.45°.提示:连接AC.由于DA=DE,所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE,但∠ABE=∠CAD,所以∠BAE=∠CAE.由于∠BAE+∠CAE=90°,所以∠BAE=45°. 29.60°.提示:解法一连接AC,则AC⊥BC.又AF⊥CE,所以∠ACE=∠F.又DC切⊙O于C,所以∠ACE=∠B.所以∠F=∠B.因为AF=BF,所以∠BAF=∠B=∠F.所以∠BAF=60°. 31.37°.提示:连接AC,则∠M=∠ACN=∠CAD. 32.17°.提示:连接PC,则∠QPC+∠PBC=90°. 45°=∠D=(∠BPQ+∠QPC)∠DCP =(∠BPQ+∠QPC)-∠PBC =[∠BPQ+(90°-∠PBC)]-∠PBC. 所以 2∠PBC-∠BPQ=45°. (1) 又 ∠PBC+∠BPQ=39°, (2) 从而∠PBC=28°,∠BPQ=11°.于是∠A=∠PBC-∠BPQ=17°. 34.30°.提示:连接BE,由∠1=∠2,可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC,而这三个角的和为90°,所以每个角为30°. 36.60°.提示:连接OB,则OB⊥CE,从而∠C=∠BOE= 60°. 37.(1)提示:连接OC,则∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE,所以△ABE为等腰三角形. 38.(1)提示:连接BE.只需证明∠ABE=∠DBE. (四)证明 39.提示:AC,BC各平分∠A,∠B.设法证出∠A+∠B=180°. 40.提示:连接OP,设法证出∠BPC=∠BPO. 42.提示:在△BCE和△DAH中,∠BCE=∠DAH(它们都与∠DCH互补).又A,D,C,H 共圆,所以∠CEB=∠ACB=∠AHD,从而△BCE∽△DAH.这就得所要证明的比例式. 43.提示:连接AC.先证明A,E,C,D四点共圆.由此得∠ADE=(∠ACE=)∠MAB,所以AB//DE. 44.提示:证法一延长AO交⊙O于点E,连接EC,则∠BCA=∠E,且∠ACD=∠E.所以∠BCA=∠ACD. 证法二? 连接OA,则∠BCA与∠OCA互余;又∠ACD与∠OAC互余,而∠OCA=∠OAC,所以∠BCA=∠ACD. 46.提示:由已知得∠A=36°,∠B=∠C=72°,∠DBC=∠A=36°,所以∠ABD=36°,从而AD=BD.又∠C=∠CDB=72°,所以BD=BC. 47.提示:过A作CD的平行线交BC于H,则AH=CG.然后证 AG2=DG·AH=DG·CG. 49.提示:因为BC=BA,所以∠A=(∠C=)∠D;又∠CED=∠DBF(BF是AB的延长线),所以它们的补角∠DEA=∠ABD.从而四边形ABDE是平行四边形. 50.提示:连接DE,则∠BDE=∠1=∠2=∠FED.所以EF//BC. 51.提示:连接BC,则∠ACB=90°=∠FCB.因为CE⊥BE,所以∠F=∠ECB.因为EC切半圆于C,所以∠ECB=∠A,所以∠A=∠F,因此AB=BF. 52.提示:连接AC,BC并延长BC交AP延长线于点N.首先 所以CM=MD. ?