二次型

第六章二次型§1.二次型的定义二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。一个系数取自数域F含有n个变量的二次齐次多项式：称为数域F上的一个n元二次型，简称二次型。令，则上述二次型可以写成对称的形式：把上式的系数排成一个n阶方阵：称这矩阵为二次型的矩阵。由于，所以矩阵A是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。由此二次型可以写成矩阵的形式：式中。定理1：若A、B为n阶对称方阵，且，则A=B。这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。例1：设，则它的矩阵为：例2：设，则它的矩阵为：例3：设二次型的矩阵，则对应的二次型为：和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。为此引入：定义1：设和是两组变量，它们之间有关系式：称这关系式为由到的一个线性替换，简称线性替换。可以用矩阵的形式表示这线性替换：如果系数行列式，则称线性替换为非退化的。经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型。下面研究替换后的二次型与原二次型之间的关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵之间的关系。设二次型经过非退化线性变换得到一个关于的二次型，下面寻找矩阵A、B之间的关系。把变换代入得到：=由此得：，这就是前后二个二次型的矩阵之间关系。为此引入定义2：设A、B为两个n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得则称矩阵A、B是 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 的，记作。合同是矩阵之间的一种关系，它具有以下性质：反身性：；对称性：；（由得）传递性：，；保秩性：若，则；保对称性：若，且A为对称矩阵，则矩阵B也是对称的；因此，经过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。这样把二次型的非退化线性变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。§2.化二次型为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型由于二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型：因此二次型的一个基本任务是通过一个非退化的线性替换把二次型化为只含平方项而不含混合项的二次型。一般称只含平方项而不含混合项的二次型为标准二次型。因为标准二次型对应的矩阵是对角矩阵，所以化一般的二次型为标准型相当于对一般的对称矩阵A，寻找一个可逆矩阵C，使得为对角矩阵。下面介绍三种化二次型为标准型的方法，并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 对实对称矩阵A，一定存在一个可逆矩阵C，使得为对角矩阵。一、正交变换法定理1：对任一个n元二次型，一定存在一个正交变换X=QY，使得式中是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列向量是矩阵A的对应于特征值的标准正交特征向量。例1：用正交变换法，化二次型为标准型，且写出正交变换。解：二次型的矩阵为，所以得，对应的特征向量分别为单位化得：记，则Q为正交矩阵，正交变换X=QY，且所得标准形为：下面看一下此题的几何背景。设平面上有一条有心曲线：，经过上述线性变换后得到标准形：，这表明把平面围绕坐标原点按顺时针方向旋转，在新坐标系下该二次曲线方程为：，这是一条双曲线。例2：用正交变换法，化二次型为标准型，且写出正交变换。解：二次型的矩阵为，所以得，对应的特征向量为对应的特征向量为由于已正交，所以将单位化得：记，则Q为正交矩阵，正交变换为X=QY，且所得标准形为：练习：用正交变换法，化二次型：为标准型，且写出正交变换。解：二次型矩阵为：得A的特征值为：求出属于的特征向量为，属于的特征向量为，,利用施密特正交化方法将正交化得：，所以相互正交，再将其单位化得：，，令，则正交变换为X=QY，且。所得标准形为：例3：已知二次型：可经正交线性替换X=QY化为，求的值和且正交变换矩阵Q。解：由题意可知矩阵与矩阵相似，所以0，1，4是矩阵A的特征值。从而，，解得对特征值0，得矩阵A的对应单位特征向量为对特征值1，得矩阵A的对应单位特征向量为对特征值4，得矩阵A的对应单位特征向量为从而所求的正交矩阵为Q=二、配方法配方法是用中学代数中配平方的方法来达到消去交叉项，最后只剩下平方项，从而化为标准形。下面通过二个具体例子说明。例4：用配方法化二次型为标准形，并写出所用的非退化线性变换。解：先对配方消去所有含的交叉项：再对配方消去所有含的交叉项：作线性替换：或得二次型的标准形为：例5：用配方法化二次型为标准形，并写出所用的非退化线性变换。解：作非退化线性变换：（1）得：由此可用上例方法，先对配方，再对配方，即作线性变换或（2）得二次型的标准形为：把（2）式代入（1）得线性变换为把上述二个例子的方法应用于一般的二次型可得如下结果：定理2：对任一个n元二次型，一定存在一个非退化线性变换X=CY，使得或：对任一个n阶实对称矩阵A，一定存在可逆阵C，使得§3.二次型的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 型和惯性定理虽然二次型的标准型不唯一，但这些不同的标准型有其共性。定理1：二次型的标准型中，系数不为零的平方项个数等于该二次型矩阵A的秩。证明：设二次型经过非线性变换X=CY化为标准型，即其中，所以这定理表明虽然二次型可化为不同的标准型，但这些标准型中不为零的平方项个数均为，与所作的非退化线性变换无关，由此称二次型矩阵A的秩为二次型的秩。设是秩为r的实二次型，则经过适当的非退化的线性替换可化为标准形。在标准型中不为零的r个平方项系数可正可负，再适当排列变量的次序可得到其中。再作一个非退化的实线性替换：得：称上式为实二次型的规范型。定理2：（惯性定理）任意一个秩为r的实二次型均可化为规范型，且不论用何种非退化的实线性变换得到的规范型是唯一的。用矩阵的语言惯性定理可表达为：任意一个秩为r的实对称矩阵A与矩阵合同。定义1：在秩为r的实二次型的标准型或规范型中，正平方项的个数称为正惯性指数，负平方项的个数称为负惯性指数，它们的差称为符号差。利用惯性定理可得到实对称矩阵合同的判别方法。定理3：设A、B均为阶实对称矩阵，则A、B合同的充要条件是A、B有相同的秩和相同的正惯性指数。例1：设，指出与矩阵A合同的矩阵，并说明理由。解：，正惯性指数为2，而，所以A与B、D不合同；而，正惯性指数为2，，所以A与C合同。例2：设，则矩阵，中哪个矩阵与A合同？解：∵∴矩阵A有一个正的和二个负的特征值，即，且正惯性指数为1由此可得A与D合同。例3：证明：秩为r的对称矩阵可表示为r个秩为1的对称矩阵之和。证明：设矩阵A是秩为r的对称矩阵，则存在一个可逆矩阵C，使得：所以容易验证是对称矩阵，且秩为1，由此即得结果。例4：设的秩为2，求。解：二次型对应的矩阵为因为二次型的秩为2，所以A的秩为2。又从而。§4.正定二次型和正定矩阵在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位，下面给出它的定义以及常用的判别条件。定义1：如果对任意的，有0，则称实二次型为正定二次型，矩阵A为正定矩阵。显然，二次型是正定的。不难验证，实二次型是正定二次型的充要条件是。定理1：设实二次型，则下列命题等价：实二次型是正定的；实二次型的正惯性指数为n；存在可逆矩阵P，使得；矩阵A的特征值均大于零。证明：（1）（2）由上节定理2得，存在一个可逆矩阵C，使得假设正惯性指数小于n，则至少存在一个，作变换X=CY，则不恒大于零，与（1）矛盾，从而实二次型的正惯性指数为n。（2）（3）由实二次型的正惯性指数为n，所以存在一个可逆矩阵C，使得即，所以。（3）（4）设存在可逆矩阵P，使得，则由可得从而。（4）（1）设矩阵A的特征值均大于零，则存在一个正交矩阵Q，使得由于矩阵A的特征值均大于零，所以正定。推论1：正定二次型的规范型为。推论2：正定矩阵A的行列式。推论3：正定矩阵A的主对角元。证明：∵正定，∴取，得。例1：证明若矩阵A是正定矩阵，则和也是正定的。证明：因为矩阵A是正定矩阵，所以A的所有特征值均大于零而的所有特征值是，从而的所有特征值也大于零所以矩阵是正定的。由于的所有特征值是，且所以的所有特征值也大于零，从而矩阵是正定的。例2：若矩阵A是正定矩阵，则。证明：∵A正定，∴A的所有特征值全大于零。从而A+I的所有特征值全大于1，因此。下面从二次型矩阵A的子式来判别二次型的正定型。定义2：设A为n阶矩阵，称为k阶顺序主子式，记为。定理2：实二次型为正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零。证明：以下仅证必要性，充分性略。设二次型为正定二次型，则对于每个k，令其中。则对于一组不全为零的实数，令有所以矩阵是正定的，即。例3：判别下列二次型是否正定：（1）（2）解：（1）它的顺序主子式分别为：5>0,,所以所给二次型是正定的。（2）它的顺序主子式分别为：1>0,,所以所给二次型是正定的。例4：t取何值时，二次型正定的？解：因为正定，所以它的顺序主子式都大于零，即：1>0,,从而当时所给二次型正定。练习：t取何值时，二次型正定的？解：因为正定，所以它的顺序主子式都大于零，即：1>0,,从而当时所给二次型正定。定理3：设A是正定矩阵，则当时，是正定矩阵；当时，是正定矩阵；当C是可逆矩阵时，是正定矩阵。证明：（1）因为A正定，所以A的所有特征值均大于零。而的所有特征值为，所以的所有特征值均大于零。所以是正定矩阵。（2）证明方法同（1）。（3）因为A是正定矩阵，所以存在一个可逆矩阵P，使得从而，且PC可逆，即得是正定矩阵。