压轴大
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
突破练压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B在直线l：x＝－1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)过(1)中轨迹E上的点P(1,2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x，y)，D(x，y)两点．试1122探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解(1)依题意，得MA＝MB.∴动点M的轨迹E是以A(1,0)为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，∴动点M的轨迹E的方程为y2＝4x.(2)∵P(1,2)C(x，y)D(x，y)y2＝4x上，，11，22在抛物线y2＝4x，①11∴y2＝4x，②22由①－②得，(y＋y)(y－y)4(x－x)1212＝12，y－y4∴直线CD的斜率为k＝12＝.③CDx－xy＋y1212设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，则直线PC方程为y－2＝k(x－1)，y2＝4x，由得ky2－4y－4k＋8＝0.y＝kx－k＋2，44由2＋y＝，求得y＝－2，1k1k4同理可求得y＝－－2.2k44∴k＝＝＝－1，CD44y＋y－2＋－－212kk第1页共5页∴直线CD的斜率为定值－1.2．(2016·)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l，l分别课标全国丙12交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．1由题意知，0，F2设l：y＝a，l：y＝b，则ab≠0，12a2b211且，a，，b，－，a，－，b，A2B2P2Q21a＋bR－，.22记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k，FQ的斜率为k，12a－ba－b1ab则k＝＝＝＝－11＋a2a2－abaab－0＝－b＝＝k.112－－22所以AR∥FQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x0)1,，111则S＝|b－a|·FD＝|b－a|x－，△ABF2212|a－b|S＝.△PQF21|a－b|由题意可得|b－a|x－＝，122所以x＝1，x＝0(舍去)．11设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由k＝kABDE第2页共5页2y可得＝(x≠1)．a＋bx－1a＋b而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．2当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.所以所求轨迹方程为y2＝x－1.x2y223．椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右焦点为F，离心率e＝.设动直线l：y＝a2b2122kx＋m与椭圆E相切于点P且交直线x＝2于点N，△PFF的周长为2(2＋1)．12(1)求椭圆E的方程；(2)求两焦点F、F到切线l的距离之积；12(3)求证：以PN为直径的圆恒过点F.2(1)解F(c,0)F(c,0)设1－，2，c2＝，则a22a＋2c＝22＋1，解得a＝2，c＝1.∴b2＝a2－c2＝1，x2∴E＋y2＝1.椭圆的方程为2x2＋y2＝1，2(2)解由y＝kx＋m⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0.设直线l与椭圆E相切于点P(x，y)00，则Δ＝0，化简2k2＋1＝m2，焦点F，F到直线l的距离d，d分别为1212|－k＋m||k＋m|d＝，d＝，12k2＋1k2＋1m2－k2k2＋1则d·d＝＝＝1.12k2＋1k2＋1第3页共5页2km2k(3)证明∵x＝－＝－，01＋2k2m2k2m2－2k21∴y＝kx＋m＝－＋m＝＝，00mmm2k1∴P(，)－mm．又联立y＝kx＋m与x＝2，得到N(2,2k＋m)，→2k1→PF＝(1＋，－)，FN＝(1,2k＋m)．2mm2→→2k1∴PF·FN＝(1＋，－)·(1,2k＋m)22mm2k1＝1＋－(2km)mm＋2k2k＝1＋－－1＝0.mm→→∴PF⊥FN，22∴PNF.以为直径的圆恒过点2x2y224．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，过点M(2,0)的直线l与椭圆a2b22C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；→→(2)求OA·OB的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．c2(1)解b1e＝，由题意知＝，＝a2得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.x2故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.2(2)解设l：y＝k(x－2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.1由Δ>0得0≤k2<.2设A(x，y)B(x，y)11，22，8k28k2－2则x＋x＝，xx＝，121＋2k2121＋2k2第4页共5页→→∴OA·OB＝xx＋yy＝xx＋k2(x－2)(x－2)12121212＝(1＋k2)xx－2k2(x＋x)4k21212＋10k2－27＝＝5－.1＋2k21＋2k2177∵0≤k2<，∴<≤7，221＋2k23故所求范围是[－2，)2．(3)证明N(x，－y)x由对称性可知22，定点在轴上，y＋y直线AN：y－y＝12(x－x)．1x－x112yx－xxy＋xy令y＝0得：x＝x－112＝12211y＋yy＋y12122kxx－2kx＋x2xx－2x＋x＝1212＝1212kx＋x－4x＋x－4121216k2－416k2－1＋2k21＋2k2＝＝1，8k2－41＋2k2故直线AN恒过定点(1,0)．第5页共5页
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